畢業(yè)論文泰勒展開(kāi)式及其應(yīng)用偉(編輯修改稿)
2025-07-16 18:09 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 例1． 求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.解 ：由于,所以的拉格朗日余項(xiàng)為，顯見(jiàn) ,它對(duì)任何實(shí)數(shù)x，都有 ,因而，所以有. 1）.利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計(jì)算式和一些數(shù)值的近似計(jì)算,用麥克勞林展開(kāi)得到函數(shù)的近似計(jì)算式為,其誤差是余項(xiàng).例 1. 計(jì)算lg11的值,準(zhǔn)確到 . 解: ,因?yàn)? ,要使 取，故 .例2 . 估計(jì)下列近似公式的絕對(duì)誤差：解： 當(dāng)時(shí)， . 2）.泰勒公式在外推上的應(yīng)用 外推是一種通過(guò)將精度較低的近似值進(jìn)行適當(dāng)組合，產(chǎn)生精度較高的近似值的方法，它的基礎(chǔ)是泰勒公式，其原理可以簡(jiǎn)述如下.若對(duì)于某個(gè)值，按參數(shù)算出的近似值可以展開(kāi)成 （*）（這里先不管的具體形式），那么按參數(shù)算出的近似值就是 (**)和與準(zhǔn)確值的誤差都是階的. 現(xiàn)在，將后(**)式乘2減去（*）式，便得到也就是說(shuō)，對(duì)兩個(gè)階的近似值化了少量幾步四則運(yùn)算進(jìn)行組合之后，.若進(jìn)行了一次外推之后精度仍未達(dá)到要求，則可以從出發(fā)再次外推，，直到，因此是一種非常重要的近似計(jì)算技術(shù).例 1. 單位圓的內(nèi)接正邊形的面積可以表示為，這里,按照泰勒公式因此，其內(nèi)接正邊形的面積可以表示為，用它們作為的近似值，誤差都是量級(jí)的.現(xiàn)在將這兩個(gè)近似的程度不夠理想的值按以下方式組合：,那么通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以知道項(xiàng)被消掉了！也就是說(shuō)，用近似表示，其精度可以大大提高.. 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值如果泰勒公式已知,其通項(xiàng)中的加項(xiàng)的系數(shù)正是,從而可反過(guò)來(lái)求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導(dǎo).例 1. 設(shè) 求由得泰勒公式：…可得 …， …， 所以 . 利用泰勒公式求行列式的值若一個(gè)行列式可看做的函數(shù)（一般是的n次多項(xiàng)式）,記作,按泰勒公式在某處展開(kāi),用這一方法可求得一些行列式的值.例 1. 求n階行列式 D= （1）解： 記,按泰勒公式在處展開(kāi)： （2）易知 = （3）由（3）得, 時(shí)都成立.根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有.于是在處的各階導(dǎo)數(shù)為,，… … … …，把以上各導(dǎo)數(shù)代入（2）式中,有+，若, 有；若, 有. 利用泰勒公式證明與某階導(dǎo)數(shù)的中間值，證明在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使.證明：分別把在展開(kāi)成泰勒公式，由題設(shè)得：,之間，由連續(xù)函數(shù)的中值定理知，對(duì)任意的 . . 利用泰勒公式解經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題 我們知道泰勒公式在解定積分中有著廣泛的應(yīng)用，而定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中是
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