[理學(xué)]中南大學(xué)隨機(jī)過(guò)程第七章(編輯修改稿)
2024-11-15 00:36 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ??? Ei iji )n(pp 。 ■ 2021/11/10 胡朝明 37－ 17 齊次馬氏鏈的性質(zhì) 4 齊次馬氏鏈的有限維分布由初始分布和轉(zhuǎn)移概率確定，且滿(mǎn)足 證明 P{X(n1)=i1,X(n2)=i1,…,X(n k)=ik} P{X(n1)=i1,X(n2)=i1,…,X(n k)=ik} )nn(p)nn(p)n(pp 1kkiiEi 12ii1iii k1k211 ????????? ?? ?其中 P{X(n1)=i1,X(n2)=i1,…,X(n k)=ik}為齊次馬氏鏈的 k維概率分布。 ?? ????? Ei kk2211 }i)n(X,i)n(X,i)n(X,i)0(X{P ??? ?????? Ei 11 }i)0(X|i)n(X{P}i)0(X{P????? ?}i)n(X,i)0(X|i)n(X{P 1122}i)n(X,i)n(X,i)0(X|i)n(X{P 1k1k11kk ?? ????? ??? ?????? Ei 11 }i)0(X|i)n(X{P}i)0(X{P}i)n(X|i)n(X{P}i)n(X|i)n(X{P 1k1kkk1122 ?? ??????? ?)nn(p)nn(p)n(pp 1kkiiEi 12ii1iii k1k211 ????????? ?? ?。 ■ 2021/11/10 胡朝明 37－ 18 遍歷性、極限分布 設(shè) {X(n),n=0,1,2,…} 為 齊次馬氏鏈 ，如果對(duì) 一切狀態(tài) i和 j，存在與 i無(wú)關(guān)的極限 )Ej,i(0)n(plim jijn ??????則稱(chēng)此馬氏鏈具有 遍歷性 。 如果 ?j0, j?E且 ＝ 1，則稱(chēng) (?j,j?E)為齊次馬氏鏈 {X(n),n=0,1,2,…} 的 極限分布 ，或稱(chēng) 最終分布 ，記為 ?＝ (?j,j?E) ???Ejj2021/11/10 胡朝明 37－ 19 齊次馬氏鏈的性質(zhì) 5 設(shè) 齊次馬氏鏈 {X(n),n=0,1,2,…} 的狀態(tài)空間 E={1,2,…,s} 為有限，若存在正整數(shù) n0,對(duì)任意 i, j?E，有 pij(n0)0，則此馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的，且極限分布是方程組 s,2,1j,ps1iijij ????? ??在滿(mǎn)足條件 1,0s1jjj ???? ??下的唯一解。 2021/11/10 胡朝明 37－ 20 推論 設(shè) 齊次馬氏鏈 {X(n),n=0,1,2,…} 具有遍歷性，則 Ej,)n(plim jjn ?????即遍歷的齊次馬氏鏈的絕對(duì)分布與轉(zhuǎn)移概率有相同的極限。 證明 由絕對(duì)分布的性質(zhì) ???Eiijij )n(pp)n(p兩邊對(duì) n取極限 )Ej(pp)n(plimp)n(plimjEiijEijiEiijnijn??????????????????。 ■ 2021/11/10 胡朝明 37－ 21 齊次馬氏鏈的性質(zhì) 6 設(shè) {X(n),n=0,1,2,…} 為 齊次馬氏鏈 ，若存在一個(gè)分 布 V=(vj,j?E)滿(mǎn)足下列條件 。pvv)3(。1v)2(。Ej,0v)1(EiijijEjjj ????????則稱(chēng)此馬氏鏈?zhǔn)?平穩(wěn)的 ，稱(chēng) V=(vj,j?E)為此馬氏鏈的 平穩(wěn)分布 ，即 V＝ VP。 性質(zhì) 6 遍歷的齊次馬氏鏈的極限分布是平穩(wěn)分布。 證明 設(shè) 齊次馬氏鏈 {X(n),n=0,1,2,…} 具有遍歷性，即 Ej,)n(pl i m jijn ?????故 {?j,j?E}為極限分布，由 CK方程 ????Er rjirijp)n(p)1n(p令 n→ ?有： ?????Errjrj p則 (?j,j?E)為馬氏鏈 {X(n),n=0,1,2,…} 的平穩(wěn)分布。 ■ 2021/11/10 胡朝明 37－ 22 齊次馬氏鏈的性質(zhì) 7 設(shè) {X(n),n=0,1,2,…} 的平穩(wěn)分布為 {vj,j?E}，則有 V＝ VPn， n=0,1,2,… 證明 由平穩(wěn)分布的定義和 CK方程得 ?? ?? ???? ?? ??????EkkjkEkijEikikEiijEkkikEiijij)2(pvppvp)pv(pvv即有： V＝ VP2。 容易由數(shù)學(xué)歸納法證得： ????Eiijkj )n(pvv即證得： V＝ VPn。 ■ 2021/11/10 胡朝明 37－ 23 齊次馬氏鏈的性質(zhì) 8 如果齊次馬氏鏈 {X(n),n=0,1,2,…} 的初始分布 {pj,j?E}恰好是平穩(wěn)分布，則對(duì)一切 n有 pj(n)＝ pj， n=0,1,2,… ， j?E 即 0n P~P~ ?證明 設(shè)初始分布 {pj,j?E}是平穩(wěn)分布，由性質(zhì) 3和性質(zhì) 7得 Ej,
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