[理學(xué)]中南大學(xué)隨機(jī)過(guò)程第七章-在線瀏覽
2024-12-06 00:36本頁(yè)面
【正文】 鏈 {X(n),n=0,1,2,…} ，稱(chēng) pi(n)＝ P{X(n)=i} i?E， 即 X(n)概率分布，為齊次馬氏鏈的 絕對(duì)分布 。)Ei),n(p(P~ in ??)Ej()n(pp)n(pEi ijij?? ??或記為 。 ■ 2021/11/10 胡朝明 37－ 17 齊次馬氏鏈的性質(zhì) 4 齊次馬氏鏈的有限維分布由初始分布和轉(zhuǎn)移概率確定，且滿足 證明 P{X(n1)=i1,X(n2)=i1,…,X(n k)=ik} P{X(n1)=i1,X(n2)=i1,…,X(n k)=ik} )nn(p)nn(p)n(pp 1kkiiEi 12ii1iii k1k211 ????????? ?? ?其中 P{X(n1)=i1,X(n2)=i1,…,X(n k)=ik}為齊次馬氏鏈的 k維概率分布。 ■ 2021/11/10 胡朝明 37－ 18 遍歷性、極限分布 設(shè) {X(n),n=0,1,2,…} 為 齊次馬氏鏈 ，如果對(duì) 一切狀態(tài) i和 j，存在與 i無(wú)關(guān)的極限 )Ej,i(0)n(plim jijn ??????則稱(chēng)此馬氏鏈具有 遍歷性 。 2021/11/10 胡朝明 37－ 20 推論 設(shè) 齊次馬氏鏈 {X(n),n=0,1,2,…} 具有遍歷性，則 Ej,)n(plim jjn ?????即遍歷的齊次馬氏鏈的絕對(duì)分布與轉(zhuǎn)移概率有相同的極限。 ■ 2021/11/10 胡朝明 37－ 21 齊次馬氏鏈的性質(zhì) 6 設(shè) {X(n),n=0,1,2,…} 為 齊次馬氏鏈 ，若存在一個(gè)分 布 V=(vj,j?E)滿足下列條件 。1v)2(。 性質(zhì) 6 遍歷的齊次馬氏鏈的極限分布是平穩(wěn)分布。 ■ 2021/11/10 胡朝明 37－ 22 齊次馬氏鏈的性質(zhì) 7 設(shè) {X(n),n=0,1,2,…} 的平穩(wěn)分布為 {vj,j?E}，則有 V＝ VPn， n=0,1,2,… 證明 由平穩(wěn)分布的定義和 CK方程得 ?? ?? ???? ?? ??????EkkjkEkijEikikEiijEkkikEiijij)2(pvppvp)pv(pvv即有： V＝ VP2。 ■ 2021/11/10 胡朝明 37－ 23 齊次馬氏鏈的性質(zhì) 8 如果齊次馬氏鏈 {X(n),n=0,1,2,…} 的初始分布 {pj,j?E}恰好是平穩(wěn)分布，則對(duì)一切 n有 pj(n)＝ pj， n=0,1,2,… ， j?E 即 0n P~P~ ?證明 設(shè)初始分布 {pj,j?E}是平穩(wěn)分布，由性質(zhì) 3和性質(zhì) 7得 Ej,2,1,0n,p)n(pp)n(p jEiijij ???? ???。 2021/11/10 胡朝明 37－ 24 重要推論 設(shè) 齊次馬氏鏈 {X(n),n=0,1,2,…} 的狀態(tài)空間 有 限 E={1,2,…,s} ，若存在正整數(shù) n0,對(duì)任意 i,j?E， n0步轉(zhuǎn)移概率 pij(n0)0，則此鏈?zhǔn)潜闅v的，且極限分布等于平穩(wěn)分布。 2021/11/10 胡朝明 37－ 25 齊次馬氏鏈例 3 在傳送數(shù)字 0和 1的通訊系統(tǒng)中，每一傳送數(shù)字必須經(jīng)過(guò)若干級(jí)。 {X(n)， n=0,1,2,…} 是狀態(tài)空間 E＝ {0,1}的齊次馬氏鏈。 (1)轉(zhuǎn)移概率矩陣 1qp1p0pqqpP?????????????(2)n步轉(zhuǎn)移矩陣 為求 Pn，先求 P的特征值和特征向量 0pq qpPI ???? ??????求得特征值 ?1=1和 ?2=pq， 特征向量 ???????? ?????????????11,11212021/11/10 胡朝明 37－ 26 齊次馬氏鏈例 3(續(xù) 1) 正交，將其單位化得 ?????????????????????????????2121,212121得正交矩陣 ???????????????????????????? ?21212121B,21212121B 111 BBP,qp001PBB ?? ?????????? ????1nn BBP ?????????????????????????????????????????????????????????? ??nnnnn)qp(
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