【文章內容簡介】 i m))(),(())(),((L i m)])([)]()([L i m)]()([0000泛函 (11/14)— 例 73 ? 此引理 ,可將求泛函的變分化為求函數的微分 ,因此可以利用函數的微分法則 ,方便地計算泛函的變分。 ? 例 73 求如下泛函的變分。 ? 解 1 20 ( )dJ y x x? ?120α 0 α 011200α 0δ [ α δ ]( α δ )dα α( α δ ) d 2 ( ) δ ( ) dαJ J y y y y xy y x y x y x x?????? ? ? ??? ? ?????泛函 (12/14)— 定理 72 ? 由上述例子可以看出 ,根據引理 71,計算泛函的變分如同計算函數的微分一樣簡單。 ? 基于上述泛函變分的定義和計算方法 ,有如下泛函 J[y(x)]的極小值定理。 ? 定理 72 若可微泛函在 y0(x)上達到極小 (極大 )值 ,則在 y=y0(x)上有 ? 證明 對于任意給定的 ?y來說 ,J[y0+??y]是實變量 ?的函數。 ? 根據定理的假設可知 ,變量 ?的函數 J[y0+??y]在 ?=0上達到極值。 0J? ?泛函 (13/14) ? 由函數極值的必要條件 ,有 ? 由引理 71可知 ,上式的左邊等于泛函 J[y(x)]的變分 ,即 ?J。 ? 因此 ,考慮到變分 ?y的任意性 ,從而定理得證 。 ??? α 0[ α δ ]0α J y y?? ???泛函 (14/14) ? 泛函的變分實際上就是關于其宗量變分 ?y(x)的線性連續(xù)泛函 ,因此 ,在實際求解過程中 ,可以通過求泛函對其所有宗量的一階偏微分得到泛函的變分 。 ? 泛函 J[y1(x),y2(x),… ,ym(x)]的變分為 ? 在本書后面的部分 ,將經常使用上述計算式計算變分。 ? 利用上式重新計算例 73,可以得到相同的結論。 1212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) mmJ J JJ y x y x y xy x y x y x? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?歐拉方程 (1/4) 歐拉方程 ? 從容許函數類中求某一函數 x(t),使積分型泛函 取極小的變分問題 ,通常稱為拉格朗日問題。 ? 它是古典變分學中 3個基本問題之一。 ? 前面討論的最短弧長問題即屬于拉格朗日問題。 ? 此外 ,三個變分基本問題還有麥耶爾 (Mayer)問題和波爾扎 (Bolza)問題。 ?? ftt ttxtxtFJ 0 d))(),(,( ?歐拉方程 (2/4) ? 所謂麥耶爾問題 ,是指使末值型泛函 取極小的變分問題。 ? 波爾扎問題是指使復合型泛函 取極小的變分問題。 ? 容易看出 ,拉格朗日問題和麥耶爾問題可以看成波爾扎問題的一種特例 ,波爾扎問題是最一般形式的變分問題。 ? 可以證明 ,上述 3個問題可以互相轉換。 ( ( ) , )ffJ x t t????? fttf ttxtxtLttxSJ 0 d))(),(,()),(( ?歐拉方程 (3/4) ? 比如 ,若令 假定初值 S(x(t0),t0)恒定不變 ,則波爾扎問題就可以化為一個等價的拉格朗日問題 。 ? 若引進一個新的變量 x0(t),使 ? 令 則又可把波爾扎問題化為一個等價的麥耶爾問題 。 F S L??0 0 0( ) ( , ( ) , ( ) ) ( ) 0x t L t x t x t x t??0( ( ) , ) ( ( ) , ) ( )f f f f fx t t S x t t x t? ??歐拉方程 (4/4) ? 某些實際的變分問題 ,其原始形式可能不屬于這 3個基本變分問題中的一個 ,但都可經數學變換將其化為 3個基本變分問題之一。 ? 因此 ,研究 3個基本變分問題的任何一個都具有普遍意義。 ? 下面就分別介紹 ? 變分法的基本預備定理 ? 拉格朗日極值問題的必要條件 歐拉方程 。 變分法的基本預備定理 (1/4)— 定理 73 1. 變分法的基本預備定理 ? 定理 73 如果函數 F(t)在區(qū)間 [t0,tf]上是連續(xù)的 ,而且對于只滿足某些一般條件的任意選定的函數 ?(t) ? 如 ,?(t)為一階或若干階可微函數 ,在 [t0,tf]上的端點處?(t0)=?(tf)=0,并且 |?(t0)|?,或 |?(t0)|?且 |?’(t0)|?)。 有 則有 F(t)?0 t?[t0,tf] 0() η ( ) d 0ftt F t t t ??變分法的基本預備定理 (2/4) ? 證明 由于函數 ?(t)是任意選定的 ,因此 ,可以取 ?(t)=W(t)F(t) 式中 ,W(t)是任一滿足條件 的函數 ,其中 c(t)為某個任意函數 ,它在區(qū)間 [t0,tf]上各點的函數值及其導數值可以選得任意小 。 ? 因此 ,這樣的 ?(t)滿足定理所要求的一切條件 。 ? 將函數 ?(t)代入式 (728),得 0200()()fft t t tWtc t t t t?????? ????和0 () η ( ) d 0 ( 7 28 )ftt F t t t ???? ?ftt ttWtF0 0d)()(2變分法的基本預備定理 (3/4) ? 上述積分式中的被積函數 F2(t)W(t)是非負的。 ? 因此 ,上述積分式成立的充要條件為被積函數 F2(t)W(t)恒等于零 ,而 W(t)是滿足某些簡單條件的任意函數。 ? 要上式成立 ,必有 F(t)?0 t?[t0,tf] ? 上述定理可推廣至多函數問題 ,即有如下推論。 02 ( ) ( ) d 0ftt F t W t t ??變分法的基本預備定理 (4/4)— 推論 71 ? 推論 71 若函數 Fi(t)(i=1,2,…, n)在區(qū)間 [t0,tf]上是連續(xù)的 ,而且對于只滿足基本預備定理要求的任意選定的 ,互相獨立的函數 ?i(t)(i=1,2,…, n),有 則有 Fi(t)?0 t?[t0,tf], i=1,2,…, n 0 1() η ( ) d 0f nt iitiF t t t????歐拉方程 (1/10) 2. 歐拉方程 ? 下面將從拉格朗日泛函極值問題著手 ,導出泛函極值的必要條件 歐拉方程 ,或歐拉 拉格朗日 (EulerLagrange)方程。 ? 考慮如下積分型的拉格朗日泛函極值問題 :有 式中 ,x(t)至少是 t的二次可微函數 , 是變量 t,x(t)和 的連續(xù)函數 ,并且有二階連續(xù)偏導數。 ? 曲線 x(t)的端點時間 t0和 tf是固定的 ,且滿足如下邊界條件 x(t0)=x0, x(tf)=xf ( , ( ), ( ))F t x t x t0( , ( ) , ( ) ) dfttJ F t x t x t t? ?()xt歐拉方程 (2/10) ? 該問題中 ,t0,tf,x(t)和 為泛函的宗量 ,為積分變量 。 ? 求該泛函極值問題 ,須先求該泛函的一階變分 ?J。 ? ?J是泛函對其所有宗量的一階變分 ,為 其中 0000( ) ( )( ) ( )( , ( ) , ( ) ) | ( ( ) ( ) )ffffttt x xtJ J J JJ t t x t x tt t x t x tF t x t x t t F x t F x t d t? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?