第二換元積分法(編輯修改稿)
2024-09-01 11:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (6) (7) (8) (9) (10) (11) 21 ()2x d x d a x ba??1 2 ( )x dx d x? 211()d x dxx??()xxe d x d e? 1 ( ln )d x d xx ?c o s ( s in )x d x d x? s in ( c o s )x d x d x??2s e c ( t a n )x d x d x?21 ( a r c t a n )1 d x d xx ??21 ( s in )1 d x d a r c xX ??常用的湊微分形式有： ? ?a d x d a x b??例：求 sin 2 xdx?解：方法一： 方法二： 方法三： 2 1 1s in 2 s in 2 s in 2 2 c o s 22 2 2dxx d x x x d x x c? ? ? ? ?? ? ?2s ins in 2 2 s in c o s 2 s in c o s s inc o sdxx d x x x d x x x cx? ? ? ?? ? ?2c o ss in 2 2 s in c o s 2 s in c o s c o ss indxx d x x x d x x x x cx? ? ? ? ??? ? ?上例表明 ， 同一個不定積分 ， 選擇不同的積分方法 ， 得到的結(jié)果形式不同 ， 這是完全正常的 ， 可以用求導(dǎo)驗證它們的正確性 。 使用湊微分法求不定積分 ， 有時還需要先用代數(shù)運算 、 三角變換對被積函數(shù)作適當(dāng)變形才能積分 。 例 1求 249dxx??22 2 23()1 1 1 1 1 2 1 32. ( )3 3 3 34 9 4 4 4 3 21 ( ) 1 ( ) 1 ( )2 2 2 213a r c ta n62dxdxdx d xx x x xxc? ? ?? ? ? ???? ? ? ?解 ：練習(xí)：求 216 25dxx??例 2求： 解： 21xxe dxe??21xxe dxe??221. a r c t a n1 ( ) 1 ( )x x xxx x xe de d e e ce e e? ? ? ?????練習(xí)： ① ② xxdxee? ?? 11 x dxe??例 3求： 2 6dxxx???21 1 1 1 ( )6 ( 3 ) ( 2 ) 5 3 21 1 ( 3 ) 1 ( 2 ) 1 1 3[ ] ( l n | 3 | l n | 2 |) l n | |5 3 1 2 1 5 5 2dxd x d xx x x x x xd x d x xx x c cx x x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ???解 ：練習(xí)： ① ② 22( 1)dxxx?? ( 2 )( 3 )dxxx???例 4 求： 22145x dxxx????22222 1 2 4 34 5 4 5( 4 5 )2 4 1. 3 ( 2) l n | 4 5 | 3 a r c t a n( 2)4 5 2 4 1 ( 2)xxdx dxx x x xd x xxd x x x x cx x x x? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????解 ：練習(xí)：求 2 11x dxx ???例 5求： 2cos xdx?2 1 c o s 2 1 1 2: c o s ( c o s 2 ) ( c o s 2 )2 2 2 21 1 1 1( s i n 2 ) s i n 22 2 2 4x d xx d x d x d x x d x x xx x c x x c?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?解練習(xí)：求 ① ② 2sin 2x dx? 4sec xdx?例 6 求： 3sin xdx? 322233sin sin sinsin ( 1 c o s ) ( 1 c o s ) ( c o s )11( c o s c o s ) c o s c o s33x d x x x d xx x d x x d xx x c x x c?? ? ? ?
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