[理學(xué)]72變分法-資料下載頁(yè)
2025-10-10 00:30本頁(yè)面
【正文】 c t tdt? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??0000? ? ? ? ?? ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( , ( ) , ( ) ) |( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( )fffffftf f f f f f ttx x f f ftJ J J J JJ t t x t x t tt t x t x t tt x t t x t c t t F t x t x t tF x t F x t d t x t c t t? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??橫截條件 (6/9) ? 泛函 取極值時(shí)的條件是 =0。 ? 由定理 73可知 ,當(dāng) =0時(shí) ,歐拉方程 仍然成立 。 ? 且有 橫截條件 和邊界條件 x(tf)=c(tf)。 ? 求解歐拉方程需要求解上述橫截條件 ,由此可以求得歐拉方程的通解中的積分常數(shù)和終端狀態(tài) tf和 x(tf)。 ?J?[ ( ) ( ( ) ( ) ) ] | 0[ [ ( ) ( ) ] | 0( ( ) ) | 0 ffftxtxtF t x t c tF F x t c ttF??? ? ? ??? ? ? ???????J??J?橫截條件 (7/9)— 例 75 ? 從上述推導(dǎo)過(guò)程可知 ,實(shí)際上由泛函 對(duì)其乘子宗量 ?(tf)的變分所導(dǎo)出的方程恰為約束條件 x(tf)c(tf)=0。 ? 鑒于這個(gè)原因 ,在求解具有約束條件的泛函極值問(wèn)題時(shí) ,一般不必對(duì)所引入的拉格朗日乘子宗量 ?(t)和 ?(tf)進(jìn)行變分 ,在求解極值解的時(shí)候 ,直接加入約束條件即可 。 □ ? 例 75 求 yx平面上固定點(diǎn) (0,1)至直線 c(xf)=2xf的最短弧長(zhǎng)曲線 。 ??? ? 解 由前述最短弧長(zhǎng)問(wèn)題可知 ,該最短弧長(zhǎng)曲線問(wèn)題的泛函為 式中 ,自變量為 x,宗量為 y(x)。 20[ ( ) ] 1 ( )dfxJ y x y x x????J?橫截條件 (8/9) ? 由歐拉方程 ,有 即 解之得 ? 所以 y=C2x+ C3 式中 ,C C2和 C3為積分常數(shù) 。 12211CyCC? ? ??0)(1dd2 ?? xyyx ??12 )(1 Cxyy ?? ??橫截條件 (9/9) ? 由邊界條件 y(0)=1,可得 y= C2x+1 常數(shù) C2可由橫截條件 (740)確定 ,即 由此解得 C2=1。 ? 因此最短弧長(zhǎng)曲線為 y=x+1 ? 由末端條件 c(xf)=2xf可進(jìn)一步確定出末端點(diǎn)為 (1/2,3/2)。 ? 當(dāng)式 (1)中包含終端變量時(shí) ,必須聯(lián)立約束條件 x(tf)=c(tf)求解式 (1),可以確定積分常數(shù)及終端狀態(tài) tf和 x(tf)。 ? ? * 2222 22( 1 ) 1 0 ( 1 )1fx ttCF c x F C CC?? ? ? ? ? ? ? ??????[ [ ( ) ( ) ] | 0 ( 7 4 0 )fxtF F x t c t? ? ? ?歐拉方程和橫截條件的向量形式 (1/5) 歐拉方程和橫截條件的向量形式 ? 前面討論的變分問(wèn)題僅涉及一個(gè)宗量函數(shù)的泛函 。 ? 下面 ,把一個(gè)宗量函數(shù)的泛函極值問(wèn)題推廣到多個(gè)宗量函數(shù)的泛函極值問(wèn)題 。 ? 為統(tǒng)一討論多個(gè)宗量函數(shù)的泛函極值問(wèn)題的歐拉方程和橫截條件的推導(dǎo) ,設(shè)極值曲線的始端固定 ,末端可變 。 ? 因此 ,多個(gè)宗量函數(shù)的泛函極值問(wèn)題可表示如下 。 歐拉方程和橫截條件的向量形式 (2/5) ? 多個(gè)宗量函數(shù)的泛函極值問(wèn)題 ： ? 尋找一條連續(xù)可微的極值曲線 x*(t),使性能泛函 達(dá)到極值 。 ? 該極值曲線的邊界條件為 x(t0)=x0, x(tf)=c(tf)=[c1(tf) c2(tf) … (tf)]τ 式中 ,x(t)=[x1(t) x2(t) … xn(t)]?為 n維宗量向量函數(shù) 。 0( , ( ) , ( ) ) dfttJ F t t t t? ? xx歐拉方程和橫截條件的向量形式 (3/5) ? 對(duì)該泛函的極值問(wèn)題 , 泛函的宗量為 ,t為積分變量 。 ? 為了求該泛函極值問(wèn)題 ,引入維乘子向量 ,并重新定義泛函 , ? 且約定標(biāo)量泛函 (或函數(shù) )對(duì)維向量宗量 (或變量 )的一階(偏 )微分為同維向量 ,則泛函對(duì)其所有宗量的一階變分為 0? ( ) ( ( ) ( ) ) ( , ( ) , ( ) ) dftf f ftJ t t t F t t t t?? ? ? ?λ x c x x0 , , ( ) , ( )ft t t txx0000? ? ? ?? ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )( , ( ) , ( ) ) | ( ( ) ( ) )fffff f f f f fttt x xtJ J J JJ t t x t x tt t x t x tt x t t x t c t tF t x t x t t F x t F x t dt??????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ??歐拉方程和橫截條件的向量形式 (4/5) 其中 , ? 由于 t0,x(t0)固定 ,所以有 ?t0=0與 ?x(t0) =0,因此 ? 泛函取極值時(shí)的條件是 =0。 ? 由定理 73可知 ,當(dāng) =0時(shí) ,歐拉方程 仍然成立 ,其為歐拉方程的向量形式 。 ( , ( ) , ( ) ) ( , ( ) , ( ) ),( ) ( )xxF t x t x t F t x t x tFFx t x t??????0? [ ( ) ( ( ) ( ) ) ] | ( ( ) ) | ( )[]ffft f x t ftxxtJ F t x t c t t t F x tdF F x d tdt???? ? ? ? ??? ? ? ? ????J??J??0dd ?? xx FtF ?歐拉方程和橫截條件的向量形式 (5/5) ? 橫截條件的向量形式為 ? 求解該歐拉方程需要橫截條件以及邊界條件 ,由此可以求得歐拉方程的通解中的積分常數(shù)和終端狀態(tài) tf和 x(tf)。 ? 相對(duì)于標(biāo)量形式下的極值問(wèn)題 ,求解向量形式下帶終端約束的極值問(wèn)題 ,需要求解 n維微分方程組 。 [ ( ) ( ( ) ( ) ) ] | 0[ [ ( ) ( ) ] | 0( ( ) ) | 0ffftxtxtF t x t c tF F x t c ttF?????? ? ? ?? ? ? ???? ??0? [ ( ) ( ( ) ( ) ) ] | ( ( ) ) | ( )[]ffft f x t ftxxtJ F t x t c t t t F x tdF F x d tdt???? ? ? ? ??? ? ? ? ???
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