第一章非線性振動(dòng)初步(編輯修改稿)
2024-11-16 13:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 G與 G‘的軌線分成三個(gè)區(qū)域。 ,和小擺角情況相似 。 ， ?2??2任意擺角下的相圖 1. 阻尼單擺 不動(dòng)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng) 從倒立開(kāi)始往下擺 ， 由于能量耗散達(dá)不到原有高度 。 軌線 從一個(gè)鞍點(diǎn)出發(fā)到不了另一鞍點(diǎn) ， 分界線被破壞了 。 相流 所有中間區(qū)域的相點(diǎn)流向坐標(biāo)原點(diǎn) 。 原點(diǎn)是該區(qū)域的不動(dòng)點(diǎn) ， 是該區(qū)域吸引子 。 左右兩個(gè)區(qū)域也有相應(yīng)的吸引子 ，它們分別處在該圖左 ( 2?? )和右 (+2??)兩側(cè) 。 2. 杜芬方程 ? 數(shù)學(xué)上將含有 三次項(xiàng)的二階方程稱為 Duffing方程 。有 驅(qū)動(dòng)力方程為： 實(shí)驗(yàn)中系數(shù) 由磁鐵的吸力調(diào)整。 弱磁吸力時(shí) ， 強(qiáng)磁吸力時(shí) 。 例 ：弱非線性單擺屬 Duffing方程： ?。? 得： ?0??0??tFxxdtdxdt xd ??????? c o s322 ??g3x6/s in 3xxx ??0)6/( 32022 ???? xxdtdxdt xd ?g0s in2022 ??? xdtdxdt xd ?g杜芬 方程 ? 研究無(wú)驅(qū)無(wú)阻尼杜芬方程： （ ， ， ） 積分得： 由系統(tǒng)能量 得： 討論 ：由 知： 1. 當(dāng) 時(shí)有一個(gè)平衡點(diǎn)： 2. 當(dāng) 時(shí)有三個(gè)平衡點(diǎn)： 3. 平衡點(diǎn) 為兩個(gè)能量最小點(diǎn) 0322 ???? xxdt xd ?Exxdtdx ??????? ???????? 242212121 ?EVK ???????? ??? 242121 xxV ?0??0??0??0/ ?dxdV0??0?x???x0?x???x0?g0?F 1??勢(shì)能曲線 2. 杜芬方程 0??0??相圖 2. 杜芬方程 0??0?? 從杜芬方程 勢(shì)能曲線 ，畫(huà)出 ( ）平面上的相軌線。 1. 對(duì)于 ， 坐標(biāo)原點(diǎn)是橢圓點(diǎn) ， 附近為閉合橢圓軌道 。 2. 對(duì)于 ,坐標(biāo)原點(diǎn)是鞍點(diǎn) ， 鄰近相軌線是雙曲線 。在 處是橢圓點(diǎn) ， 附近是閉合軌道 。 因原點(diǎn)軌線附近呈雙曲線 ， 形成一對(duì)蛋形軌線 。 3. 對(duì)于 ,通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)是兩條相交界軌線 。 其中 兩條軌線走向原點(diǎn) ， 另兩條離開(kāi)原點(diǎn)；當(dāng)沿一條從原點(diǎn)出發(fā)繞了一圈后回到原點(diǎn) ， 這原點(diǎn)稱同宿點(diǎn) 。 xx,?0??0?????x0??0?? 0??相圖 2. 杜芬方程 ? 有阻尼 ： 1. 所有閉合相軌線破裂成向內(nèi)卷縮的螺旋線 。 2. ， 原點(diǎn)為不動(dòng)點(diǎn) ， 平面任一點(diǎn)都趨于原點(diǎn) ， 是整個(gè)相平面吸引子 。 3. ， 原點(diǎn)是鞍點(diǎn) ， 坐標(biāo) ( )處兩不動(dòng)點(diǎn) ， 是吸引子 。 整個(gè)相平面被分隔成兩個(gè)區(qū)域 ， 不同區(qū)的相點(diǎn)分別流向這兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 。 0??0??0322 ????? xxdtdxdt xd ?g0?g0??0?? ???x阻尼方程相圖 2. 杜芬方程 3 非線性阻尼振子 范德玻耳方程 ? 小角度單擺方程 阻尼項(xiàng)系數(shù) 常數(shù)。一個(gè)可變非線性阻尼的微分方程： 阻尼項(xiàng)系數(shù)是 與 x2 有關(guān)， e? 為可以任意設(shè)定的小數(shù)。 它是為描述 LC 回路電子管振蕩器，由范德玻耳建立 ,稱為 范德玻耳方程 02 2022 ??? ????? dtddtd?20)1( 20222 ???? xdtdxxdt xd ?e)1( 2 ?xeLC/10 ??非線性阻尼振子 單擺運(yùn)動(dòng)與 LC回路 范德玻耳方程解法 ? 諧波線性化方法 將范德玻耳方程寫(xiě)為 仿照單擺方程的解，設(shè)范德玻耳方程的解為： 兩次微分 一起代入方程得： 令方程兩邊同次諧波項(xiàng)系數(shù)相等得： dtdxxxdtxd )1( 22022 ???? e?tco s?Ax ?tc o s222 ??Adt xd ??ts in ??Adtdx ??t3s in41+ts in141c o s)(32220?e??e???AAAtA?????? ??????? ???? 0220 0)( A 20141 2 ?????????? ?cAAAA ?e3 非線性阻尼振子 范德玻耳方程 范德玻耳方程解
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