[工學]第9章一元線性回歸(編輯修改稿)
2024-11-09 13:35 本頁面
【文章內容簡介】 因變量與自變量之間的關系用 一個線性方程來表示 一元線性回歸模型 (linear regression model) 1. 描述因變量 y 如何依賴于自變量 x 和 誤差項 ? 的方程稱為 回歸模型 2. 一元線性 回歸模型可表示為 ? y = ?? + ?1 x + ? ? y 是 x 的線性函數 (部分 )加上誤差項 ? 線性部分反映了由于 x 的變化而引起的 y 的變化 ? 誤差項 ? 是隨機變量 ? 反映了除 x 和 y 之間的線性關系之外的隨機因素對 y 的影響 ? 是不能由 x 和 y 之間的線性關系所解釋的變異性 ? ?0 和 ?1 稱為模型的參數 一元線性回歸模型 (基本假定 ) 1. 因變量 x與自變量 y之間具有線性關系 2. 在重復抽樣中，自變量 x的取值是固定的，即假定 x是非隨機的 3. 誤差項 ? 滿足 ? 正態(tài)性 。 ?是 一個服從正態(tài)分布的隨機變量，且期望值為 0，即 ? ~N(0 , ?2 ) 。對于一個給定的 x 值， y 的期望值為 E(y)=?0+ ?1x ? 方差齊性 。對于所有的 x 值， ?的方差一個特定的值，的方差也都等于 2 都相同。同樣，一個特定的 x 值， y 的方差也都等于 ?2 ? 獨立性 。 獨立性意味著對于一個特定的 x 值，它所對應的 ε與其他 x 值所對應的 ε不相關；對于一個特定的 x 值，它所對應的 y 值與其他 x 所對應的 y 值也不相關 估計的回歸方程 (estimated regression equation) 0?? 1??0? 1?1. 總體 回歸參數 和 是未知的 ， 必須利用樣本數據去估計 2. 用樣本統(tǒng)計量 和 代替回歸方程中的未知參數 和 ， 就得到了 估計的回歸方程 3. 一元線性回歸中估計的回歸方程為 0? 1?xy 10 ??? ?? +?其中： 是估計的回歸直線在 y 軸上的截距 ， 是直線的斜率 ， 它表示對于一個給定的 x 的值 ， 是 y 的估計值 ， 也表示 x 每變動一個單位時 ， y 的平均變動值 0?? 1??y? 參數的最小二乘估計 一元線性回歸的估計和檢驗 參數的最小二乘估計 (method of least squares ) 最小????? ????niiinii xyyy121012 )??()?( ??1. 德國科學家 Karl Gauss(1777— 1855)提出用最小化圖中垂直方向的誤差平方和來估計參數 2. 使因變量的觀察值與估計值之間的誤差平方和達到最小來求得 和 的方法。即 3. 用最小二乘法擬合的直線來代表 x與 y之間 的關系與實際數據的誤差比其他任何直線都小 0?? 1??Karl Gauss的最小化圖 x y (xn , yn) (x1 , y1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? (x2 , y2) (xi , yi) ei = yiyi ＾ xy 10 ??? ?? +?參數的最小二乘估計 ( 和 的計算公式 ) ? 根據最小二乘法 ， 可得求解 和 的公式如下 1??0??0?? 1??參數的最小二乘估計 (例題分析 ) ? 【 例 94】 根據例 91的數據 ， 求銷售收入與廣告費用的估計的回歸方程 ? 第 1步： 選擇 【 工具 】 下拉菜單 ， 并選擇 【 數據分析 】 選項 ? 第 2步： 在分析工具中選擇 【 回歸 】 ， 選擇 【 確定 】 ? 第 2步： 當對話框出現時 ? 在 【 Y值輸入區(qū)域 】 設置框內鍵入 Y的數據區(qū)域 ? 在 【 X值輸入區(qū)域 】 設置框內鍵入 X的數據區(qū)域 ? 在 【 置信度 】 選項中給出所需的數值 ? 在 【 輸出選項 】 中選擇輸出區(qū)域 ? 在 【 殘差 】 分析選項中選擇所需的選項 回歸分析 參數的最小二乘估計 (Excel輸出結果 ) ? 【 例 】 求銷售收入與廣告費用的估計回歸方程 ， 并解釋回歸系數的含義 用 SPSS進行回歸 ? 第 1步： 選擇 【 Analyze】 下拉菜單，并選擇 【 Regression linear】選項，進入主對話框 ? 第 2步： 在主對話框中將因變量 (本例為銷售收入 )選入【 Dependent】 ，將自變量 (本例為廣告費用 )選入 【 Independent(s)】 ? 第 3步： 點擊 【 Save】 ? 在 【 Predicted Values】 下選中 【 Unstandardized】 (輸出點預測值 ) ? 在 【 Prediction interval】 下選中 【 Mean】 和 【 Individual】 (輸出置信區(qū)間和預測區(qū)間 ) ? 在 【 Confidence Interval】 中選擇所要求的置信水平 (隱含值95%，一般不用改變 ) ? 在 【 Residuals】 下選中 【 Unstandardized】 和 【 standardized】(輸出殘差和標準化殘差 ) ? 點擊 【 Continue】 回到主對話框。點擊 【 OK】 進行回歸 參數的最小二乘估計 (SPSS輸出結果 ) 參數的最小二乘估計 (例題分析 ) xy +? 回歸直線的擬
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