統(tǒng)計(jì)學(xué)第四版一元線性回歸(編輯修改稿)
2024-09-25 16:38 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2. 一元線性 回歸模型可表示為 y = ?? + ?1 x + ? ? y 是 x 的線性函數(shù) (部分 )加上誤差項(xiàng) ? 線性部分反映了由于 x 的變化而引起的 y 的變化 ? 誤差項(xiàng) ? 是隨機(jī)變量 ? 反映了除 x 和 y 之間的線性關(guān)系之外的隨機(jī)因素對(duì) y 的影響 ? 是不能由 x 和 y 之間的線性關(guān)系所解釋的變異性 ? ?0 和 ?1 稱為模型的參數(shù) 9 31 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 一元線性回歸模型 (基本假定 ) 1. 因變量 x與自變量 y之間具有線性關(guān)系 2. 在重復(fù)抽樣中，自變量 x的取值是固定的，即假定 x是非隨機(jī)的 3. 誤差項(xiàng) ? 滿足 ? 正態(tài)性 。 ?是 一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且期望值為 0，即 ? ~N(0 , ?2 ) 。對(duì)于一個(gè)給定的 x 值， y 的期望值為 E(y)=?0+ ?1x ? 方差齊性 。對(duì)于所有的 x 值， ?的方差一個(gè)特定的值，的方差也都等于 2 都相同。同樣，一個(gè)特定的 x 值， y 的方差也都等于 ?2 ? 獨(dú)立性 。 獨(dú)立性意味著對(duì)于一個(gè)特定的 x 值，它所對(duì)應(yīng)的 ε與其他 x 值所對(duì)應(yīng)的 ε不相關(guān)；對(duì)于一個(gè)特定的 x 值，它所對(duì)應(yīng)的 y 值與其他 x 所對(duì)應(yīng)的 y 值也不相關(guān) 9 32 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 估計(jì)的回歸方程 (estimated regression equation) 0?? 1??0? 1?1. 總體 回歸參數(shù) 和 是未知的 ， 必須利用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì) 2. 用樣本統(tǒng)計(jì)量 和 代替回歸方程中的未知參數(shù) 和 ， 就得到了 估計(jì)的回歸方程 3. 一元線性回歸中估計(jì)的回歸方程為 0? 1?xy 10 ??? ?? +?其中： 是估計(jì)的回歸直線在 y 軸上的截距 ， 是直線的斜率 ， 它表示對(duì)于一個(gè)給定的 x 的值 ， 是 y 的估計(jì)值 ， 也表示 x 每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí) ， y 的平均變動(dòng)值 0?? 1??y? 參數(shù)的最小二乘估計(jì) 一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn) 9 34 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 參數(shù)的最小二乘估計(jì) (method of least squares ) 最小????? ????niiinii xyyy121012 )??()?( ??1. 德國(guó)科學(xué)家 Karl Gauss(1777— 1855)提出用最小化圖中垂直方向的誤差平方和來估計(jì)參數(shù) 2. 使因變量的觀察值與估計(jì)值之間的誤差平方和達(dá)到最小來求得 和 的方法。即 3. 用最小二乘法擬合的直線來代表 x與 y之間 的關(guān)系與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線都小 0?? 1??9 35 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 Karl Gauss的最小化圖 x y (xn , yn) (x1 , y1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? (x2 , y2) (xi , yi) ei = yiyi ＾ xy 10 ??? ?? +?9 36 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 參數(shù)的最小二乘估計(jì) ( 和 的計(jì)算公式 ) ? 根據(jù)最小二乘法 ， 可得求解 和 的公式如下 1??0??0?? 1??9 37 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 參數(shù)的最小二乘估計(jì) (例題分析 ) 【 例 94】 根據(jù)例 91的數(shù)據(jù) ， 求銷售收入與廣告費(fèi)用的估計(jì)的回歸方程 第 1步： 選擇 【 工具 】 下拉菜單 ， 并選擇 【 數(shù)據(jù)分析 】 選項(xiàng) 第 2步： 在分析工具中選擇 【 回歸 】 ， 選擇 【 確定 】 第 2步： 當(dāng)對(duì)話框出現(xiàn)時(shí) 在 【 Y值輸入?yún)^(qū)域 】 設(shè)置框內(nèi)鍵入 Y的數(shù)據(jù)區(qū)域 在 【 X值輸入?yún)^(qū)域 】 設(shè)置框內(nèi)鍵入 X的數(shù)據(jù)區(qū)域 在 【 置信度 】 選項(xiàng)中給出所需的數(shù)值 在 【 輸出選項(xiàng) 】 中選擇輸出區(qū)域 在 【 殘差 】 分析選項(xiàng)中選擇所需的選項(xiàng) 回歸分析 9 38 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 參數(shù)的最小二乘估計(jì) (Excel輸出結(jié)果 ) 【 例 】 求銷售收入與廣告費(fèi)用的估計(jì)回歸方程 ， 并解釋回歸系數(shù)的含義 9 39 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 用 SPSS進(jìn)行回歸 第 1步： 選擇 【 Analyze】 下拉菜單，并選擇 【 Regression linear】 選項(xiàng)，進(jìn)入主對(duì)話框 第 2步： 在主對(duì)話框中將因變量 (本例為銷售收入 )選入 【 Dependent】 ，將自變量 (本例為廣告費(fèi)用 )選入 【 Independent(s)】 第 3步： 點(diǎn)擊 【 Save】 在 【 Predicted Values】 下選中 【 Unstandardized】 (輸出點(diǎn)預(yù)測(cè)值 ) 在 【 Prediction interval】 下選中 【 Mean】 和 【 Individual】 (輸出置信區(qū)間和預(yù)測(cè)區(qū)間 ) 在 【 Confidence Interval】 中選擇所要求的置信水平 (隱含值 95%，一般不用改變 ) 在 【 Residuals】 下選中 【 Unstandardized】 和 【 standardized】 (輸出殘差和標(biāo)準(zhǔn)化殘差 ) 點(diǎn)擊 【 Continue】 回到主對(duì)話框。點(diǎn)擊 【 OK】 進(jìn)行回歸 9 40 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 參數(shù)的最小二乘估計(jì) (SPSS輸出結(jié)果 ) 9 41 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 參數(shù)的最小二乘估計(jì) (例題分析 ) xy +? 回歸直線的擬合優(yōu)度 一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn) 9 43 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 變差 1. 因變量 y 的取值是不同的 ， y 取值的這種波動(dòng)稱為 變差 。 變差來源于兩個(gè)方面 ? 由于自變量 x 的取值不同造成的 ? 除 x 以外的其他因素 (如 x對(duì) y的非線性影響 、測(cè)量誤差等 )的影響 2. 對(duì)一個(gè) 具體的觀測(cè)值來說 ， 變差的大小可以通過該實(shí)際觀測(cè)值與其均
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