大數(shù)定律與中心極限定理(編輯修改稿)
2025-06-20 01:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2 ???nkknB ??，記 若存在正數(shù) ??n 使得當 時 , ,0}|{|1122 ??????nkkknXEB ?? ?則隨機變量之和 ??nkkX1的標準化變量 : nnkknkknkknkknkknBXXDXEXZ?????????????????????????????? 11111?)(xFn x的分布函數(shù) 對于任意 , 滿足 ).(21lim)(lim 2/11 2 xdtexBXPxFx tnnk knk knnn???????????????? ???????????? ??注 ： 定理 1表明 , 在定理的條件下 , 隨機變量 .11nnkknkkn BXZ???????)1,0(N當 很大時 ,近似地服從正態(tài)分布 n 由此 , 當 很大時 , n??????nkknnnkk ZBX11?近似地服從正態(tài)分布 ?????????? 21 , nnk k BN ?),2,1( ??kX k這就是說 ,無論各個隨機變量 服從什么分布 ,只要 . ??nkkX1n滿足定理的條件 ,那么它們的和 當 很大時 ,就近似地服從正態(tài) 分布 . }{lim 1 xnnXPniin?????? ??定理 2（ 獨立同分布下的中心極限定理 ） ? ??x2t dte21 2?設(shè) X1, X2, …, Xn 是獨立同分布的隨機 變量序列，且 E(Xi)= ， D(Xi)= ， i=1,2,…, n，則 2??,Rx ??)( x??[注 ] 1）證明所需要的知識已超出范圍，證明略。 列維一林德伯格 （ Levy－ Lindberg）定理 . nXXX , 21 ?獨立同分布，且它們的數(shù)學期 2）中 心極限 定理表明，若 隨 機 變 量 序 列 ??nkkX1都 近似 服從正態(tài)分布 . (注意 :不一定是 即 望及方差存在，則當 n充分大時，其 和的分布 , 3）中心定理還表明：無論每一個隨機變量 ,kX?,2,1, ?kX k 在和 ??nkkX1的分布中起的作用很微 服從什么分布，只要每一個隨機變量 ?,2,1?k??nkkX1近似服從正態(tài)分布。 小，則 標準正態(tài)分布） 例 1 根據(jù)以往經(jīng)驗 ， 某種電器元件的壽命服 從均值為 100小時的指數(shù)分布 . 現(xiàn)隨機地取 16只 ,設(shè)它們的壽命是相互獨立的 . 求這 16 只元件的壽命的總和大于 1920小時的概率 . 由題給條件知 ， 諸 Xi獨立 ， 16只元件的壽命的總和為 ???161kkXY解 : 設(shè)第 i只元件的壽命為 Xi , i=1,2, …,16 E(Xi)=100, D(
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