自回歸滑動(dòng)平均模型(編輯修改稿)
2025-06-18 08:00 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 考慮tY的方差：當(dāng),1t f時(shí)， ( )2 2 2 ( 1 ) 20v a r 1 v a rtttYY s f f f= + + + +L 22202( 1 )v a r1ttYsfff=+ 22( 1 )sf174。 由于方差一直隨時(shí)間變化，因此 ， 即使0E0Y =，過(guò)程{}tY還是 非平穩(wěn)的。 只有當(dāng)t很大時(shí)，它才是平穩(wěn)的 ( 即它是漸進(jìn)意義上 平穩(wěn)的 ) 。具有固定初始值的 AR 模型不是嚴(yán)格意義上平穩(wěn)的； 它只是漸進(jìn)平穩(wěn)的 。正因?yàn)槿绱?，?dāng)我們模擬一個(gè) AR 模 型時(shí)， 我們不得不放棄初始的一大塊數(shù)據(jù)以使0Y的效應(yīng)可以忽略不計(jì)。 因果性定理 請(qǐng)回憶一個(gè)過(guò)程被稱為因果的，如果它可以用噪音過(guò)程的現(xiàn)在和過(guò) 去值12{ , , , }t t tZ Z ZL來(lái)表示。 正式地，我們有如下定義： 定義 稱過(guò)程{}tY是因果的，如果存在滿足0jjy165。=?229。的常數(shù)序列 {}jy使得0t j t jjYZ y165。== 229。 對(duì)于 A R ( p ) 模型()ttB Y Zf =，我們記 10( ) ( )t t t i t iiY B Z B Z Zf y y165。== = = 229。 ( 3 . 6 ) 其中，01y =。在什么條件下，這個(gè)表達(dá)式是明確定義的 呢 [ 即，這個(gè) A R ( p ) 模型是因果的嗎 ] ？以下定理給出了這個(gè)問(wèn)題的答案。 定理 A R ( p ) 過(guò)程是因果的，如果其特征多項(xiàng)式( ) 1ppz z zf f f= L 的根全部位于單位圓之外 [ 即，{ : ( ) 0 } { : 1 }z z z zf =?] 。 證明 ：記()zf的根為1,pzz L。注意它們中的一些可以是相等的。依所給 假設(shè)，我們可以按增加的順序把它們排列起來(lái)11pzz L。對(duì)于某個(gè) 0e ，記11ze =+。對(duì)于滿足1z e+的z，( ) 0zf 185。因此，對(duì)于 1z e+，1()zf可冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，即 , 當(dāng)1z e+時(shí)， 01()iiizzyf165。== 229。 ( 3 . 7 ) 是一個(gè)收斂級(jí)數(shù)。現(xiàn)在選取0 de并將1z d=+代入到方程 ( 3 . 7 ) 中， 則有 01( 1 )( 1 )iiiydfd165。== + ?+229。 因此，存在常數(shù)0M 使得對(duì)所有的i， ( 1 ) ii Myd +。 也就是對(duì)所有的i， ( 1 ) ii Myd +。 所以，0 iiy165。=?229。 于是，過(guò)程 01()t t i t iiY Z ZByf165。=== 229。 是明確定義的，因而是因果的。 3 . 3 . 4 A R 模型的協(xié)方差結(jié)構(gòu) 給定一個(gè)因果 AR( p ) 模型，我們有 00( ) E ( ) Et t k i t i l t k lilk Y Y Z Zg y yゥ+ + ==驏驏鼢瓏== 鼢瓏鼢瓏 鼢桫桫邋 20i k iis y y165。+== 229。 ( 3 . 8 ) 例 對(duì)于 A R ( 1 ) 模型1t t tY Y Zf=+，我們有iiyf =。因此，22( ) ( 1 )kkg s f f= 而()kkrf =。 雖然我們可以利用方程 ( 3 . 8 ) 去求一個(gè)給定的 A R ( p ) 模型的協(xié)方差函數(shù)，但是， 它需要用f把y解出而且通常很難找出明確的公式。用以下處理，我們可以巧妙 地 克服這個(gè)困難。設(shè){}tY是一給定的平穩(wěn)且因果的 A R ( p ) 模型。將tY通通乘以tkY： 11t t k t t k p t p t k t t kY Y Y Y Y Y Z Yff = + + +L。 取期望，則有 1( ) ( 1 ) ( )pk k k pg f g f g= + + L。 將此方程除以( 0 )g，我們得到對(duì)于所有的k， 1( ) ( 1 ) ( )pk k k pr f r f r= + + L。 我們得到了一組差分方程， Y u l e W a l k e r 方程。它的一般解如下所示 11()kkppk A Ar p p= + +L 其中，{}ip是相應(yīng)的 A R ( p ) 過(guò)程的特征方程110ppzzff =L的解。 例 設(shè){}tY是一個(gè) A R ( 2 ) 模型，滿足1 1 2 2t t t tY Y Y Zff= + +。則其特征方 程是21210 zzff =且方程的解為( )21 1 2214 , 1 , 22iip f f ff= ? =。 根據(jù)定理 3 . 2 ，條件1 , 1 , 2iip =，保證了{(lán)}tY是因果的。可以證明 這個(gè)條件等價(jià)于下列三個(gè)不等式： 121ff +， 121ff ， ( 3 . 9 ) 21f 。 為了看出為什么有此結(jié)果，設(shè) 此 A R ( 2 ) 過(guò)程是因果的。 于是，其特征多 項(xiàng)式212( ) 1z z zf f f= 的根落在單位圓外。特別地，( ) 0zf =
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