等差數(shù)列的前n項和的性質(編輯修改稿)
2025-06-17 17:19 本頁面
【文章內容簡介】 S 17 ＝ S 9 ，得 25 17 ＋17 162 d ＝ 25 9 ＋9 ? 9 － 1 ?2 d ，解得 d ＝－ 2. ∴ S n ＝ 25 n ＋ n ? n － 1 ?2 ( － 2) ＝－ n 2 ＋ 26 n . 由二次函數(shù)的性質可知， 當 n＝ 13時， Sn有最大值為 169. 例 .已知一個等差數(shù)列 {an}的通項公式 an＝ 25－ 5n，求數(shù) 列 { |an|} 的前 n 項和 Sn. 錯因剖析： 解本題易出現(xiàn)的錯誤就是： (1)由 an≥0 得， n≤5 理解為 n＝ 5，得出結論： Sn＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＝ 50(n≤5)， Sn＝ ?20－ 5n??n－ 5? 2 ； (2)把 “ 前 n 項和 ” 認為 “ 從 n≥6 起”的 和． 事實上，本題要對 n 進行分類討論． 正解： 由 an≥0 得 n≤5 ， ∴ {an}前 5 項為非負，從第 6 項起為負， ∴ S n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n ＝ 12 n (45 － 5 n )( n ≤ 5) ， 當 n≥6 時， S n ＝ | a 6 |＋ | a 7 |＋ | a 8 |＋ … ＋ | a n |＝? 20 － 5 n ?? n － 5 ?2， ∴ S n ＝????? n ? 45 － 5 n ?2? n ≤ 5 ?? 20 － 5 n ?? n － 5 ?2＋ 50 ? n ≥ 6 ? {an}是首項為 23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第 六項為正，第七項為負． (1)求數(shù)列的公差； (2)求前 n 項和 Sn 的最大值； (3)當 Sn＞ 0 時，求 n 的最大值． 解： (1 ) 由已知 a 6 ＝ a 1 ＋ 5 d ＝ 23 ＋ 5 d ＞ 0 ， a 7 ＝ a 1 ＋ 6 d ＝ 23 ＋ 6 d ＜ 0 ，解得：－235＜ d ＜－236， 又 d ∈ Z ， ∴ d ＝－ 4. S6＝ 6 23＋ ， (2)∵ d＜ 0， ∴ 數(shù)列 {an}是遞減數(shù)列， 又 a6＞ 0， a7＜ 0， ∴ 當 n＝ 6 時， Sn 取得最大值， 6 5 2 (－ 4)＝ 78. (3)Sn＝ 23n＋ n?n－ 1? 2 (－ 4)＞ 0， 整理得： n(25－ 2n)＞ 0， ∴ 0＜ n＜ 25 2 又 n∈ N*，所求 n 的最大值為 12. Sn 為等差數(shù)列 {an}的前 n 項和， Sn＝ 12n－ n2. n
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