【文章內(nèi)容簡介】 是共識。但是，如何運用幾何思想、把握圖形的能力去學(xué)習(xí)其它的數(shù)學(xué)內(nèi)容，卻沒有引起足夠的重視。在實驗區(qū)聽課時，最令我們感到遺憾的是：教師不太喜歡“畫圖”，講解析幾何時也不畫圖。 事實上，幾何學(xué)能夠給我們提供一種直觀的形象，通過對圖形的把握，可以發(fā)展空間想象能力，這種能力是非常重要的，無論是數(shù)學(xué)本身、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身，還是在其他方面，都是一種基本能力。搞藝術(shù)的人就經(jīng)常說，這種空間想象能力與他們藝術(shù)上的想象能力、藝術(shù)創(chuàng)作能力是一種殊途同歸的感覺。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——幾何 2．中學(xué)幾何研究的對象 中學(xué)幾何主要是研究圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系。最基本的幾何圖形是點、線、面，由線可圍成平面圖形，由面可圍成幾何體。中學(xué)幾何研究的圖形可分為兩類，一類是直邊或直面圖形，例如，直線，由直線圍成的三角形，由平面圍成的四面體、長方體等；另一類是曲邊或曲面圖形，例如，圓，球等。在中學(xué)幾何中，基本幾何圖形點、線、面之間的位置關(guān)系主要有平行、垂直、包含（如點在直線上，線在平面內(nèi)，線與線、面與面重合等），由基本圖形圍成的平面圖形之間的關(guān)系主要有全等、相似、位似等。圖形的度量主要有夾角、長度、面積、體積等。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——幾何 3．幾何研究圖形的方法 中學(xué)幾何研究圖形的方法主要有：綜合幾何的方法，解析法，向量幾何的方法，函數(shù)的方法等。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——幾何 4．幾何內(nèi)容的設(shè)計 在我們的教材中，幾何課程的設(shè)計分為兩部分。 一部分是將“把握圖形”的能力作為指導(dǎo)思想，貫穿在整個數(shù)學(xué)課程的始終。 另一部分是設(shè)計了相應(yīng)的幾何內(nèi)容。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——運算 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——運算 對數(shù)學(xué)最樸實的理解是：數(shù)學(xué)就是“算”，即“運算”?！斑\算”包括兩方面，一個是“運算的對象”，一個是“運算的規(guī)律”?！皵?shù)”、“字母”（代數(shù)式）、“指數(shù)”、“對數(shù)”、“三角函數(shù)”、“向量”等等都是運算對象?！敖Y(jié)合律”、“ a+(a)=0”（即加一項，減一項）、“交換律”、各種“分配律”等等都是運算規(guī)律?！斑\算”幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每一個角落，運算是貫穿數(shù)學(xué)的基本脈絡(luò)，是貫穿數(shù)學(xué)教材的主線，在我們的教材中，發(fā)揮著不可替代的作用。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——運算 1．對運算的認識 運算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個基本內(nèi)容。運算對象的不斷擴展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索。 從數(shù)的運算到字母運算，是運算的一次跳躍。 從數(shù)的運算，到向量運算，是認識運算的又一次跳躍。 在以后的學(xué)習(xí)中，運算對象還要進一步拓展。上述種種運算的學(xué)習(xí)，為學(xué)生今后進一步學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)運算，體會數(shù)學(xué)運算的意義以及運算在建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的作用，奠定了基礎(chǔ)。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——運算 2．運算的作用 （ 1）運算是研究高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) ——貫穿在高中數(shù)學(xué)的始終 （ 2）運算與推理 （ 3）運算與算法 （ 4）運算與恒等變形 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——運算 3．運算內(nèi)容的設(shè)計 在我們的教材中，主要有幾部分內(nèi)容集中的介紹了運算：指數(shù)運算；對數(shù)運算；三角函數(shù)運算；向量運算，包括平面向量和空間向量；復(fù)數(shù)運算；導(dǎo)數(shù)運算；等等。 在我們的教材中，自始至終都在強調(diào)運算的作用。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 算法也是設(shè)計我們的教材的一條主線。有三方面的問題應(yīng)該特別注意：算法的基本思想，算法的基本結(jié)構(gòu)，算法的基本語句。 算法教學(xué)應(yīng)該采用“案例教學(xué)”，從具體的學(xué)生熟悉的實例出發(fā)，在具體的情境中、在處理具體問題過程中，使學(xué)生理解：算法的基本思想，算法的基本結(jié)構(gòu)，算法的基本語句。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 1．算法的作用 （ 1）算法學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生清晰思考問題、提高邏輯思維能力 （ 2）算法學(xué)習(xí)突出了“通性通法” （ 3）算法學(xué)習(xí)有助于幫助學(xué)生理解信息時代計算機的作用 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 2．算法的基本思想 算法的基本思想是指按照確定的步驟，一步一步去解決某個問題的程序化思想。在數(shù)學(xué)中，完成每一件工作，例如，計算一個函數(shù)值，求解一個方程，證明一個結(jié)果，等等，我們都需要有一個清晰的思路，一系列的步驟，一步一步地去完成，這就是算法的思想，即程序化的思想。以前，在高中數(shù)學(xué)課程中沒有給出“算法”這個名詞，但是，我們卻熟悉許多問題的算法，一直在利用算法的思想。例如，我們知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式，一元二次不等式的算法，求解線性方程組的算法，求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的算法，等等。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 3．算法的基本結(jié)構(gòu) （ 1）順序結(jié)構(gòu) ——反映邏輯思路 （ 2）分叉（選擇）結(jié)構(gòu) ——分類討論思想 （ 3）循環(huán)結(jié)構(gòu) ——簡化敘述 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 4．算法的基本語句 ? 輸入輸出語句 ? 賦值語句 ? 條件語句 ? 循環(huán)語句 我們的教材采用 C語言的語句。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 5．算法內(nèi)容的設(shè)計 在我們的教材中，算法內(nèi)容的設(shè)計分為兩部分。 ? 一部分主要介紹算法的基礎(chǔ)知識，可以稱作算法的“三基”：算法的基本思想，算法的基本結(jié)構(gòu)，算法的基本語句。 ? 另一部分是把算法的思想融入相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容中。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——統(tǒng)計概率 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——統(tǒng)計概率 目前我們的社會已經(jīng)進入了信息時代，信息的主要載體是數(shù)據(jù)。收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取有用信息、利用數(shù)據(jù)中的信息說明問題等等，這些已經(jīng)成為人們的基本素質(zhì)和能力。這些變化必然會直接影響到數(shù)學(xué)課程的設(shè)置。概率與統(tǒng)計是在 1958年前后，進入中國大學(xué)數(shù)學(xué)課程。幾經(jīng)反復(fù)，到了文化革命以后，概率與統(tǒng)計在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，站住了腳，同時，也滲透到其它相關(guān)學(xué)科中，在大學(xué)，相當(dāng)多的專業(yè)都需要開設(shè)統(tǒng)計概率課程，例如，在生物學(xué)科中，學(xué)習(xí)統(tǒng)計也成為了重要的課程。這是一個重大的變化。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——統(tǒng)計概率 在傳統(tǒng)的大學(xué)概率統(tǒng)計課程中，概率的分量大于統(tǒng)計，或者說在這些課程中是重概率。隨著時代的發(fā)展，統(tǒng)計在社會發(fā)展中的作用越來越大，在大學(xué)的概率統(tǒng)計課程又發(fā)生了新的變化，近年來，在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)中，統(tǒng)計概率課已經(jīng)成為基礎(chǔ)課，它與數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、普通物理、數(shù)學(xué)建模、計算機基礎(chǔ)都成為基礎(chǔ)課。在概率統(tǒng)計課程中，課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)也發(fā)生了變化，統(tǒng)計的分量大大的加強了。 這種變化也影響到了中小學(xué)的課程，現(xiàn)在中小學(xué)的課程中統(tǒng)計概率的內(nèi)容大大的增加，這已經(jīng)成為國際中小學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展的趨勢。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——統(tǒng)計概率 我們的教材 ? 數(shù)據(jù)處理的能力 ? 統(tǒng)計注重過程 ? 統(tǒng)計采用的案例的教學(xué)方式 ? 統(tǒng)計是一種歸納的思維 ? 隨機的思想 ? 統(tǒng)計中的隨機思想 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——應(yīng)用 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——應(yīng)用 對于高中課程中數(shù)學(xué)的應(yīng)用，可以分成三個層次來理解，分別是：知識的背景和對實際問題的數(shù)學(xué)描述；對數(shù)學(xué)模型的認識和在實際中的直接應(yīng)用；經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——應(yīng)用 ? 發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識 ? 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 ? 增強學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解 ? 擴展學(xué)生的視野 ? 培養(yǎng)學(xué)生的良好品行 ? 提高學(xué)生的閱讀能力 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——應(yīng)用 在教材中 ， 針對學(xué)生的不同發(fā)展水平 ， 分層次開展多樣的數(shù)學(xué)應(yīng)用與建?；顒?。 形式可以是多種多樣的 ， 常見的主要有以下三種： (1) 在一些數(shù)學(xué)概念的引入中 ， 設(shè)計了有實際背景的應(yīng)用內(nèi)容 (2) 設(shè)計了一些以數(shù)學(xué)應(yīng)用為主題的課外活動 (3) 設(shè)計了數(shù)學(xué)建模的選題 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——應(yīng)用 選擇了一批適合學(xué)生參與的“好的問題”，并提出了一些教師和學(xué)生應(yīng)特別注意的問題： ——選擇與學(xué)生的生活實際相關(guān)的問題，并減少對問題不必要的人為加工和刻意雕琢。 ——表現(xiàn)出建模的全過程，而不僅僅是問題本身的解決 ——問題要有較為寬泛的數(shù)學(xué)背景、有不同的層次，并注意問題的可擴展性和開放性。 ——鼓勵學(xué)生在問題分析解決的過程中使用計算工具和成品工具軟件。 ——提倡教師自己動手、因地制宜地收集、編制、改造數(shù)學(xué)應(yīng)用或建模問題 初中課程目標與結(jié)構(gòu) ? 四基： ? 基本知識、基本技能能； ? 基本思想、基本活動經(jīng)驗。 ? 四個能力： ? 發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力； ? 分析與解決問題能力。 目標 傳統(tǒng)與未來 《 數(shù)學(xué)課標 》 ：雙基 → 四基、兩能 → 四能 基礎(chǔ)知識、基本技能 + 基本思想、基本活動經(jīng)驗 分析問題、解決問題 + 發(fā)現(xiàn)問題、提出問題 知識為本：單純的雙基（ 99年大綱 ）、專門人才 育人為本：學(xué)生成長、認知規(guī)律 如何教 → 如何學(xué)（ 啟發(fā)思考、過程、經(jīng)驗、創(chuàng)新 ） 教材目標：有效教學(xué)、有效學(xué)習(xí)；興趣 + 有效 → 減負 目標 創(chuàng)新的基礎(chǔ)：知識 + 思維 + 經(jīng)驗。 思維方法和經(jīng)驗：培養(yǎng)學(xué)科直觀 結(jié)果是看出來的 思維方法的教育：數(shù)學(xué)思想 + 思維經(jīng)驗 通常認為的數(shù)學(xué)思想方法： 等量替換、數(shù)形結(jié)合、分類、遞歸、轉(zhuǎn)換 配方法、換元法、加強不等式法 目標 數(shù)學(xué)的基本思想 數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展所依賴的思想 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以后具有的思維能力 抽象 ：把與數(shù)學(xué)有關(guān)的知識引入數(shù)學(xué)內(nèi)部；抽象能力強 推理 ：歸納、演繹推理促進數(shù)學(xué)的發(fā)展；推理能力強 模型 ：一類一類解決問題，溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁；應(yīng)用能力強 得到 ：知識技能 + 思維方法（思想 +經(jīng)驗） 目標 ? 抽象舉例： 函數(shù)概念形成 ? 推理舉例： ? 歸納（合情推理） ——統(tǒng)計 ? 演繹 ——運算 ? 綜合幾何、 ? 變換幾何、 ? 解析幾何 ? 模型舉例：雞兔同籠 目標 ? What is the key in mathematics and mathematical education ? ? 在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育中，什么是最重要的？