【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 是共識(shí)。但是，如何運(yùn)用幾何思想、把握?qǐng)D形的能力去學(xué)習(xí)其它的數(shù)學(xué)內(nèi)容，卻沒(méi)有引起足夠的重視。在實(shí)驗(yàn)區(qū)聽(tīng)課時(shí)，最令我們感到遺憾的是：教師不太喜歡“畫(huà)圖”，講解析幾何時(shí)也不畫(huà)圖。 事實(shí)上，幾何學(xué)能夠給我們提供一種直觀的形象，通過(guò)對(duì)圖形的把握，可以發(fā)展空間想象能力，這種能力是非常重要的，無(wú)論是數(shù)學(xué)本身、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身，還是在其他方面，都是一種基本能力。搞藝術(shù)的人就經(jīng)常說(shuō)，這種空間想象能力與他們藝術(shù)上的想象能力、藝術(shù)創(chuàng)作能力是一種殊途同歸的感覺(jué)。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——幾何 2．中學(xué)幾何研究的對(duì)象 中學(xué)幾何主要是研究圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系。最基本的幾何圖形是點(diǎn)、線、面，由線可圍成平面圖形，由面可圍成幾何體。中學(xué)幾何研究的圖形可分為兩類(lèi)，一類(lèi)是直邊或直面圖形，例如，直線，由直線圍成的三角形，由平面圍成的四面體、長(zhǎng)方體等；另一類(lèi)是曲邊或曲面圖形，例如，圓，球等。在中學(xué)幾何中，基本幾何圖形點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系主要有平行、垂直、包含（如點(diǎn)在直線上，線在平面內(nèi)，線與線、面與面重合等），由基本圖形圍成的平面圖形之間的關(guān)系主要有全等、相似、位似等。圖形的度量主要有夾角、長(zhǎng)度、面積、體積等。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——幾何 3．幾何研究圖形的方法 中學(xué)幾何研究圖形的方法主要有：綜合幾何的方法，解析法，向量幾何的方法，函數(shù)的方法等。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——幾何 4．幾何內(nèi)容的設(shè)計(jì) 在我們的教材中，幾何課程的設(shè)計(jì)分為兩部分。 一部分是將“把握?qǐng)D形”的能力作為指導(dǎo)思想，貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)課程的始終。 另一部分是設(shè)計(jì)了相應(yīng)的幾何內(nèi)容。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——運(yùn)算 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——運(yùn)算 對(duì)數(shù)學(xué)最樸實(shí)的理解是：數(shù)學(xué)就是“算”，即“運(yùn)算”?！斑\(yùn)算”包括兩方面，一個(gè)是“運(yùn)算的對(duì)象”，一個(gè)是“運(yùn)算的規(guī)律”?！皵?shù)”、“字母”（代數(shù)式）、“指數(shù)”、“對(duì)數(shù)”、“三角函數(shù)”、“向量”等等都是運(yùn)算對(duì)象。“結(jié)合律”、“ a+(a)=0”（即加一項(xiàng)，減一項(xiàng)）、“交換律”、各種“分配律”等等都是運(yùn)算規(guī)律。“運(yùn)算”幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每一個(gè)角落，運(yùn)算是貫穿數(shù)學(xué)的基本脈絡(luò)，是貫穿數(shù)學(xué)教材的主線，在我們的教材中，發(fā)揮著不可替代的作用。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——運(yùn)算 1．對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí) 運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)基本內(nèi)容。運(yùn)算對(duì)象的不斷擴(kuò)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索。 從數(shù)的運(yùn)算到字母運(yùn)算，是運(yùn)算的一次跳躍。 從數(shù)的運(yùn)算，到向量運(yùn)算，是認(rèn)識(shí)運(yùn)算的又一次跳躍。 在以后的學(xué)習(xí)中，運(yùn)算對(duì)象還要進(jìn)一步拓展。上述種種運(yùn)算的學(xué)習(xí)，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)運(yùn)算，體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義以及運(yùn)算在建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的作用，奠定了基礎(chǔ)。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——運(yùn)算 2．運(yùn)算的作用 （ 1）運(yùn)算是研究高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) ——貫穿在高中數(shù)學(xué)的始終 （ 2）運(yùn)算與推理 （ 3）運(yùn)算與算法 （ 4）運(yùn)算與恒等變形 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——運(yùn)算 3．運(yùn)算內(nèi)容的設(shè)計(jì) 在我們的教材中，主要有幾部分內(nèi)容集中的介紹了運(yùn)算：指數(shù)運(yùn)算；對(duì)數(shù)運(yùn)算；三角函數(shù)運(yùn)算；向量運(yùn)算，包括平面向量和空間向量；復(fù)數(shù)運(yùn)算；導(dǎo)數(shù)運(yùn)算；等等。 在我們的教材中，自始至終都在強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的作用。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 算法也是設(shè)計(jì)我們的教材的一條主線。有三方面的問(wèn)題應(yīng)該特別注意：算法的基本思想，算法的基本結(jié)構(gòu)，算法的基本語(yǔ)句。 算法教學(xué)應(yīng)該采用“案例教學(xué)”，從具體的學(xué)生熟悉的實(shí)例出發(fā)，在具體的情境中、在處理具體問(wèn)題過(guò)程中，使學(xué)生理解：算法的基本思想，算法的基本結(jié)構(gòu)，算法的基本語(yǔ)句。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 1．算法的作用 （ 1）算法學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生清晰思考問(wèn)題、提高邏輯思維能力 （ 2）算法學(xué)習(xí)突出了“通性通法” （ 3）算法學(xué)習(xí)有助于幫助學(xué)生理解信息時(shí)代計(jì)算機(jī)的作用 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 2．算法的基本思想 算法的基本思想是指按照確定的步驟，一步一步去解決某個(gè)問(wèn)題的程序化思想。在數(shù)學(xué)中，完成每一件工作，例如，計(jì)算一個(gè)函數(shù)值，求解一個(gè)方程，證明一個(gè)結(jié)果，等等，我們都需要有一個(gè)清晰的思路，一系列的步驟，一步一步地去完成，這就是算法的思想，即程序化的思想。以前，在高中數(shù)學(xué)課程中沒(méi)有給出“算法”這個(gè)名詞，但是，我們卻熟悉許多問(wèn)題的算法，一直在利用算法的思想。例如，我們知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式，一元二次不等式的算法，求解線性方程組的算法，求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的算法，等等。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 3．算法的基本結(jié)構(gòu) （ 1）順序結(jié)構(gòu) ——反映邏輯思路 （ 2）分叉（選擇）結(jié)構(gòu) ——分類(lèi)討論思想 （ 3）循環(huán)結(jié)構(gòu) ——簡(jiǎn)化敘述 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 4．算法的基本語(yǔ)句 ? 輸入輸出語(yǔ)句 ? 賦值語(yǔ)句 ? 條件語(yǔ)句 ? 循環(huán)語(yǔ)句 我們的教材采用 C語(yǔ)言的語(yǔ)句。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——算法 5．算法內(nèi)容的設(shè)計(jì) 在我們的教材中，算法內(nèi)容的設(shè)計(jì)分為兩部分。 ? 一部分主要介紹算法的基礎(chǔ)知識(shí)，可以稱(chēng)作算法的“三基”：算法的基本思想，算法的基本結(jié)構(gòu)，算法的基本語(yǔ)句。 ? 另一部分是把算法的思想融入相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容中。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——統(tǒng)計(jì)概率 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——統(tǒng)計(jì)概率 目前我們的社會(huì)已經(jīng)進(jìn)入了信息時(shí)代，信息的主要載體是數(shù)據(jù)。收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取有用信息、利用數(shù)據(jù)中的信息說(shuō)明問(wèn)題等等，這些已經(jīng)成為人們的基本素質(zhì)和能力。這些變化必然會(huì)直接影響到數(shù)學(xué)課程的設(shè)置。概率與統(tǒng)計(jì)是在 1958年前后，進(jìn)入中國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)課程。幾經(jīng)反復(fù)，到了文化革命以后，概率與統(tǒng)計(jì)在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，站住了腳，同時(shí)，也滲透到其它相關(guān)學(xué)科中，在大學(xué)，相當(dāng)多的專(zhuān)業(yè)都需要開(kāi)設(shè)統(tǒng)計(jì)概率課程，例如，在生物學(xué)科中，學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)也成為了重要的課程。這是一個(gè)重大的變化。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——統(tǒng)計(jì)概率 在傳統(tǒng)的大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)課程中，概率的分量大于統(tǒng)計(jì)，或者說(shuō)在這些課程中是重概率。隨著時(shí)代的發(fā)展，統(tǒng)計(jì)在社會(huì)發(fā)展中的作用越來(lái)越大，在大學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)課程又發(fā)生了新的變化，近年來(lái)，在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)中，統(tǒng)計(jì)概率課已經(jīng)成為基礎(chǔ)課，它與數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、普通物理、數(shù)學(xué)建模、計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)都成為基礎(chǔ)課。在概率統(tǒng)計(jì)課程中，課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)也發(fā)生了變化，統(tǒng)計(jì)的分量大大的加強(qiáng)了。 這種變化也影響到了中小學(xué)的課程，現(xiàn)在中小學(xué)的課程中統(tǒng)計(jì)概率的內(nèi)容大大的增加，這已經(jīng)成為國(guó)際中小學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展的趨勢(shì)。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——統(tǒng)計(jì)概率 我們的教材 ? 數(shù)據(jù)處理的能力 ? 統(tǒng)計(jì)注重過(guò)程 ? 統(tǒng)計(jì)采用的案例的教學(xué)方式 ? 統(tǒng)計(jì)是一種歸納的思維 ? 隨機(jī)的思想 ? 統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)思想 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——應(yīng)用 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——應(yīng)用 對(duì)于高中課程中數(shù)學(xué)的應(yīng)用，可以分成三個(gè)層次來(lái)理解，分別是：知識(shí)的背景和對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述；對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)和在實(shí)際中的直接應(yīng)用；經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——應(yīng)用 ? 發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí) ? 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 ? 增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解 ? 擴(kuò)展學(xué)生的視野 ? 培養(yǎng)學(xué)生的良好品行 ? 提高學(xué)生的閱讀能力 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——應(yīng)用 在教材中 ， 針對(duì)學(xué)生的不同發(fā)展水平 ， 分層次開(kāi)展多樣的數(shù)學(xué)應(yīng)用與建?；顒?dòng) 。 形式可以是多種多樣的 ， 常見(jiàn)的主要有以下三種： (1) 在一些數(shù)學(xué)概念的引入中 ， 設(shè)計(jì)了有實(shí)際背景的應(yīng)用內(nèi)容 (2) 設(shè)計(jì)了一些以數(shù)學(xué)應(yīng)用為主題的課外活動(dòng) (3) 設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)建模的選題 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——應(yīng)用 選擇了一批適合學(xué)生參與的“好的問(wèn)題”，并提出了一些教師和學(xué)生應(yīng)特別注意的問(wèn)題： ——選擇與學(xué)生的生活實(shí)際相關(guān)的問(wèn)題，并減少對(duì)問(wèn)題不必要的人為加工和刻意雕琢。 ——表現(xiàn)出建模的全過(guò)程，而不僅僅是問(wèn)題本身的解決 ——問(wèn)題要有較為寬泛的數(shù)學(xué)背景、有不同的層次，并注意問(wèn)題的可擴(kuò)展性和開(kāi)放性。 ——鼓勵(lì)學(xué)生在問(wèn)題分析解決的過(guò)程中使用計(jì)算工具和成品工具軟件。 ——提倡教師自己動(dòng)手、因地制宜地收集、編制、改造數(shù)學(xué)應(yīng)用或建模問(wèn)題 初中課程目標(biāo)與結(jié)構(gòu) ? 四基： ? 基本知識(shí)、基本技能能； ? 基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。 ? 四個(gè)能力： ? 發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題的能力； ? 分析與解決問(wèn)題能力。 目標(biāo) 傳統(tǒng)與未來(lái) 《 數(shù)學(xué)課標(biāo) 》 ：雙基 → 四基、兩能 → 四能 基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能 + 基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 分析問(wèn)題、解決問(wèn)題 + 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題 知識(shí)為本：?jiǎn)渭兊碾p基（ 99年大綱 ）、專(zhuān)門(mén)人才 育人為本：學(xué)生成長(zhǎng)、認(rèn)知規(guī)律 如何教 → 如何學(xué)（ 啟發(fā)思考、過(guò)程、經(jīng)驗(yàn)、創(chuàng)新 ） 教材目標(biāo)：有效教學(xué)、有效學(xué)習(xí)；興趣 + 有效 → 減負(fù) 目標(biāo) 創(chuàng)新的基礎(chǔ)：知識(shí) + 思維 + 經(jīng)驗(yàn)。 思維方法和經(jīng)驗(yàn)：培養(yǎng)學(xué)科直觀 結(jié)果是看出來(lái)的 思維方法的教育：數(shù)學(xué)思想 + 思維經(jīng)驗(yàn) 通常認(rèn)為的數(shù)學(xué)思想方法： 等量替換、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)、遞歸、轉(zhuǎn)換 配方法、換元法、加強(qiáng)不等式法 目標(biāo) 數(shù)學(xué)的基本思想 數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展所依賴(lài)的思想 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以后具有的思維能力 抽象 ：把與數(shù)學(xué)有關(guān)的知識(shí)引入數(shù)學(xué)內(nèi)部；抽象能力強(qiáng) 推理 ：歸納、演繹推理促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展；推理能力強(qiáng) 模型 ：一類(lèi)一類(lèi)解決問(wèn)題，溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁；應(yīng)用能力強(qiáng) 得到 ：知識(shí)技能 + 思維方法（思想 +經(jīng)驗(yàn)） 目標(biāo) ? 抽象舉例： 函數(shù)概念形成 ? 推理舉例： ? 歸納（合情推理） ——統(tǒng)計(jì) ? 演繹 ——運(yùn)算 ? 綜合幾何、 ? 變換幾何、 ? 解析幾何 ? 模型舉例：雞兔同籠 目標(biāo) ? What is the key in mathematics and mathematical education ? ? 在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育中，什么是最重要的？