【正文】 科學，其理論建筑在模式之間的關(guān)系以及模式和實際觀察之間相吻合而產(chǎn)生的應用之上。 背景 —數(shù)學與數(shù)學教育 ? 數(shù)學是科學， ? 數(shù)學是理論， ? 數(shù)學是語言， ? 數(shù)學是工具， ? 數(shù)學是技術(shù)， ? 數(shù)學是文化， ? 數(shù)學是伙伴， …… 背景 —數(shù)學與數(shù)學教育 數(shù)學的基本特征： ? 抽象性 ? 嚴格性 ? 應用廣泛性 背景 —數(shù)學與數(shù)學教育 ? 兩千多年來，人們一直認為每一個受教育者都必須具備一定的數(shù)學知識。但是，今天，數(shù)學教育的傳統(tǒng)地位卻陷入了嚴重的危機之中，而且遺憾的是數(shù)學工作者要對此負一定的責任。數(shù)學教學有時竟演變成空洞的解題訓練，這種訓練雖然可以提高形式推理的能力，但卻不能導致真正的理解與深入的獨立思考。數(shù)學研究已經(jīng)出現(xiàn)一種過分專門化和過于強調(diào)抽象的趨勢，而忽視了數(shù)學的應用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系。不過，這種狀況不能證明緊縮數(shù)學教育政策是合理的。相反，那些醒悟到培養(yǎng)思維重要性的人，必然會采取完全不同的做法，即更加重視和加強數(shù)學教學。教師、學生和一般受過教育的人都要求數(shù)學家有一個建設(shè)性的改造，而不是聽其自然，其目的是要真正理解數(shù)學是一個有機的整體，是科學思考與行動的基礎(chǔ)。 ——（ 1941年，什么是數(shù)學的序言） ? ? 由于學校數(shù)學教學的影響，一般人認為數(shù)學僅僅是對科學家、工程師，或許還有金融家才有用的一系列技巧。這樣的教育導致了對這門學科的厭惡和對它的忽視。 ? 這些權(quán)威性的診斷和流行的看法，竟被認為是正確的！數(shù)學學科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面：它們遠不能代表數(shù)學，就如同調(diào)配顏色遠不能當作繪畫一樣。技巧是將數(shù)學的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物。如果我們對數(shù)學的本質(zhì)有一定的了解，就會認識到數(shù)學在形成現(xiàn)代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。 ? ? —— 背景 —數(shù)學與數(shù)學教育 ? 為了克服數(shù)學教科書和數(shù)學教學中的諸多弊端，克萊因認為數(shù)學史能起到有效的作用。數(shù)學史可以提供整個課程的概況，使課程的內(nèi)容互相聯(lián)系，并且與數(shù)學思想的主干聯(lián)系起來；數(shù)學史可以讓學生們看到數(shù)學家們的真正創(chuàng)造歷史 ——如何跌跤、如何在迷霧中摸索前進，從而鼓起研究的勇氣；從歷史的角度來講解數(shù)學，是使人們理解數(shù)學內(nèi)容和鑒賞數(shù)學魅力的做好的方法之一。 背景 —數(shù)學與數(shù)學教育 背景 —數(shù)學與數(shù)學教育 數(shù)學教育在國家發(fā)展中的作用 ? 幾個世紀以來，國家的崇高地位、安全、康寧和發(fā)展總是與國民能力緊密聯(lián)系在一起，這種能力又會受到面向各種復雜事物觀念的影響。引導社會發(fā)展需要數(shù)學能力，數(shù)學能力會給國家?guī)戆l(fā)展優(yōu)勢，在醫(yī)學和健康，技術(shù)和商業(yè)，航行和太空探索，防御和金融，等等方面，另外，在分析過去失敗經(jīng)驗和預測未來發(fā)展的能力等方面帶來優(yōu)勢。歷史上這樣的例子比比皆是。 背景 —數(shù)學與數(shù)學教育 ? 數(shù)學教育在個人發(fā)展中作用 在數(shù)學教育方面的成功對于公民個人也是十分重要的，因為數(shù)學教育有助于他們進大學深造、增加就業(yè)選擇，還有助于在未來的職業(yè)中獲得較好的待遇。 總之，學好數(shù)學有助于學生獲得更廣闊的發(fā)展空間。國家科學委員會預示，與數(shù)學有密切聯(lián)系的科學和工程方面勞動力需求增長速度和總的職業(yè)需求增長速度相比，比值為 3： 1 。 背景 —數(shù)學與數(shù)學教育 ? 對美國數(shù)學、美國數(shù)學教育的評價 在二十世紀的大部分時間里，美國擁有無與倫比的數(shù)學優(yōu)勢 ——不僅體現(xiàn)在數(shù)學專家在數(shù)學方面成就的數(shù)量和質(zhì)量，而且還體現(xiàn)在工程，科學的規(guī)模和質(zhì)量，以及金融領(lǐng)導地位等方面，甚至體現(xiàn)在全民的數(shù)學教育方面。 但是，如果沒有持續(xù)不斷和實質(zhì)性的教育制度變革，美國將在 21世紀失去她的領(lǐng)導地位。這份報告應引起美國人民重視這個學習的核心領(lǐng)域并付諸行動。數(shù)學教育變革成功與否不僅對國家關(guān)系重大，對于學生個體和他們的家庭也是一樣的，因為數(shù)學能力將會幫助他們打開大門并且創(chuàng)造機會。 背景 —數(shù)學與數(shù)學教育 ? 對美國數(shù)學、美國數(shù)學教育的評價 國際和國內(nèi)的比較顯示，美國學生一直沒在他們所受教育的數(shù)學部分取得成功，沒有達到所期望的在國際領(lǐng)先的水平。特別令人擔憂的是一系列的研究所表明情況，美國學生在數(shù)學方面取得的成績在世界處于較低的水平。 在國家教育發(fā)展評價委員會 (NAEP)提供的報告中可以看到，美國學生的數(shù)學成績呈現(xiàn)了積極的進步趨勢，4 年級和 8年級的成績達到歷史最高水平。這是一個重大進步的標志。然而，來自 NAEP的其他結(jié)果不那么樂觀：在 8 年級只有 32%的學生達到或者高于“精通熟練”水平，在 12年級只有 23%的學生達到“精通熟練”水平。報告中還提供了其他值得關(guān)注的情況，在全國的 4 年制大學和社區(qū)學院，新生的數(shù)學水平還不能滿足學習的要求，仍需要進行數(shù)學補習，需求量很大并且在不斷增長。 背景 —數(shù)學與數(shù)學教育 ? 對美國數(shù)學、美國數(shù)學教育的評價 當今世界，受過教育的技術(shù)勞動力會從基層鞏固國家的領(lǐng)導地位。然而，就在預計科學和工程部門就業(yè)機會發(fā)展速度超過大多數(shù)經(jīng)濟部門就業(yè)需求時，美國將面對科學和工程領(lǐng)域的大量退休離職的影響。 這些趨勢將對國家維持足夠的有質(zhì)量的勞動力的供給帶來真正的壓力。多年，我們的國家已經(jīng)從國外輸入了的大量技術(shù)人才，但是在互聯(lián)網(wǎng)時代，這種曾獲得戲劇性成功的海外經(jīng)濟策略在未來是否可行是值得懷疑的，因為那些一直為美國提供科技人才的國家也發(fā)展了眾多吸引技術(shù)工人就業(yè)機會。從 1990到 2021年，除了日本，亞洲國家的研究與發(fā)展投資，從微不足道的百分比增長到近乎美國研究與發(fā)展投資的一半。 有許多結(jié)果反映美國的在數(shù)學，自然科學和工程方面的獨立性和領(lǐng)先優(yōu)勢在削弱。我們是否有能力適應這些變化。我們是否有能力保障經(jīng)濟發(fā)展力和國家安全的基礎(chǔ)。國家政策必須確保有足夠規(guī)模和高水平技能的國內(nèi)技術(shù)勞動力的健康發(fā)展。 背景 —數(shù)學與數(shù)學教育 ? 美國數(shù)學教育需要關(guān)注問題 關(guān)注與數(shù)學教育有關(guān)系國家政策， 不僅僅 限于關(guān)注那些將會成為科學家或者工程師的人，更需要關(guān)注 確保國家將來的勞動力需求，無論在足夠的數(shù)量上，還是在技術(shù)的熟練上都應該超過現(xiàn)在。 對那些處于市政領(lǐng)導位置處理公共利益的公民和政治領(lǐng)導人也應如此。 建立適合所有人的良好數(shù)學教育是國家利益所需要的。 選擇性：大學不同專業(yè)的數(shù)學課程 選擇性：不同專業(yè)方向需要不同的數(shù)學 ? 文科數(shù)學課程 不同的選擇：經(jīng)濟，文學，語言學，等 ? 工科數(shù)學課程 不同的選擇：無線電，建筑，材料，等 ? 理科數(shù)學課程 不同的選擇：物理，化學，生物，等 ? 數(shù)學方向的數(shù)學課程 不同的選擇：數(shù)學專業(yè)，應用數(shù)學，計算數(shù)學，統(tǒng)計概率，等 選擇性：大學不同專業(yè)的數(shù)學課程 選擇性是這次高中課程改革的核心 ? 必修課程：所有學生需要學習的課程， ? 部分專門專 業(yè)的考試課程。 ? 選修一：文科專業(yè)學習和考試的課程 ? 選修二：理工科專業(yè)學習和考試的課程 ? 選修四：選擇性學習和考試的課程 選修三：拓展和興趣課程 大學數(shù)學主要脈絡(luò)：課程分類 ? 分析類數(shù)學課程： 研究函數(shù)以及與函數(shù)有關(guān)的問題的課程。 數(shù)學分析， ? 復變函數(shù)， ? 實變函數(shù)， ? 常微分方程， ? 偏微分方程， ? 數(shù)值計算， ? 泛函分析， ? 與這些課程有聯(lián)系的拓展類課程：三角級數(shù)，調(diào)和分析，函數(shù)逼近論等等。 大學數(shù)學主要脈絡(luò)：課程分類 ? 代數(shù)類數(shù)學課程：研究運算以及與運算有關(guān)的課程。 ? 高等代數(shù)（線性代數(shù)、多項式理論）， ? 抽象代數(shù)， ? 群倫， ? 有限群及其應用， ? 環(huán)論， ? 域論， ? 與這些課程有聯(lián)系的拓展類課程：交換代數(shù)，非交換代數(shù)，半論，等等。 大學數(shù)學主要脈絡(luò)：課程分類 ? 幾何類數(shù)學課程：研究圖形以及與圖形有關(guān)的課程。 ? 解析幾何， ? 射影幾何（高等幾何）， ? 微分幾何， ? 點集拓撲， ? 代數(shù)拓撲， ? 微分拓撲， ? 微分流形， ? 許多相關(guān)課程：代數(shù)幾何，旋論，形論，等 大學數(shù)學主要脈絡(luò)：課程分類 ? 統(tǒng)計、概率類數(shù)學課程： ? 統(tǒng)計， ? 概率， 許多相關(guān)課程：隨機微分方程，等等 大學數(shù)學主要脈絡(luò)：課程分類 ? 應用類數(shù)學課程 運籌學 ——線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃 優(yōu)化課程 離散數(shù)學課程 ——圖論、 學科應用課程 ——生物數(shù)學、 經(jīng)濟、金融類數(shù)學類課程 計算類課程 理論物理類數(shù)學課程 圖像識別類數(shù)學課程 等等 ? 算法與計算機課程 承上啟下： 高中數(shù)學課程的主要脈絡(luò) 高中數(shù)學主要脈絡(luò) ① 函數(shù) ② 幾何 ③ 運算 ④ 算法 ⑤ 應用 ⑥ 統(tǒng)計、概率 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——函數(shù) 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——函數(shù) 20世紀初，在英國數(shù)學家貝利和德國數(shù)學家克萊因等人的大力倡導和推動下，函數(shù)進入了中學數(shù)學?？巳R因提出了一個重要的思想 ——以函數(shù)概念和思想統(tǒng)一數(shù)學教育的內(nèi)容，他認為：“函數(shù)概念，應該成為數(shù)學教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學教材集中在它周圍，進行充分地綜合。” 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——函數(shù) 高中數(shù)學教材編寫中，把函數(shù)作為貫穿整個高中數(shù)學教材始終的主線，這條線將延續(xù)到大學的數(shù)學中，我們知道，大學幾乎所有的專業(yè)都開設(shè)了高等數(shù)學，有文科的高等數(shù)學，有工科的高等數(shù)學，在數(shù)學系中，有數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)、信息與計算專業(yè)、統(tǒng)計數(shù)學專業(yè)，這些專業(yè)開設(shè)了不同高等數(shù)學內(nèi)容的課程，雖然，不同的專業(yè)開設(shè)不同的高等數(shù)學課程，但是，函數(shù)是這些高等數(shù)學課程的一條主線，在數(shù)學系課程中，尤顯突出，例如，數(shù)學分析、復變函數(shù)、實變函數(shù)、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，這些課程都是把函數(shù)作為研究對象。函數(shù)、映射不僅是數(shù)學的基本研究對象，它們的思想滲透到幾乎每一個數(shù)學分支。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——幾何 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——幾何 1. 幾何的教育功能 在我們的教材中，幾何的作用主要在于培養(yǎng)學生的幾何直觀能力和推理論證能力。這兩種能力對于學生思維的發(fā)展和對數(shù)學本質(zhì)的理解都是非常重要的。 在我們的教材中，幾何是“圖”“文”并茂的內(nèi)容，它把數(shù)學所特有的邏輯思維和形象思維有機地結(jié)合起來。幾何思想主要體現(xiàn)在幾何直觀能力，即把握圖形的能力。幾何直觀能力主要包括空間想象力、直觀洞察力、用圖形語言來思考問題的能力。借助幾何這個載體，可以培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。但僅僅把幾何作為培養(yǎng)形式推理能力載體的認識是片面的。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò) ——幾何 1. 幾何的教育功能 在中學數(shù)學課程中重視幾何內(nèi)容是我國數(shù)學教育的傳統(tǒng)，也