常微分方程的初等解法_畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-10-02 13:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 程中，由于求出的積分因子不同從而通解可能具有不同的形式。 根據(jù)上述可知 ，函數(shù) )﹐( yx? 為方程的積分因子的充要條件是xNyM ????? )()( ??，即 ??? )(xNyMyMxN ???????????。 對(duì)于方程 0y) dy﹐(x)﹐( ?? NdxyxM ，如果存在只與 x 有關(guān)的積分因子)(x??? ，則 0???y? ，這時(shí)方程 ??? )( xNyMyMxN ??????????? 變成?? )( xNyMdxdN ?????? ，即 dxN xNyMd ???????? ， 由 此 可 知 ， 方 程0y) dy﹐(x)﹐( ?? NdxyxM 有只與 x 有 關(guān) 的 積 分 因 子 的 充 要 條 件 是)(xN xNyM???????，這里 )(x? 僅為 x 的函數(shù)。假如條件 )(xN xNyM???????成立，則根據(jù)方程 dxN xNyMd ???????? ，可知求得方程 0y) dy﹐(x)﹐( ?? NdxyxM 的一個(gè)積分因子是 ?? dxxe )(?? 。同樣， 0y) dy﹐(x)﹐( ?? NdxyxM 有只與 y 有關(guān)的積分因子的充要條件 是 )( yM xNyM??? ?????，這里的 )(y? 僅為 y 的函 數(shù)。從 而求 得方程0y) dy﹐(x)﹐( ?? NdxyxM 的一個(gè)積分因子 ?? dyye )(?? 。 例 6 求解方程 0)( ??? dyxyydx 常微分方程的初等解法 9 解 ： yM? ， xyN ?? ， 1???yM， 1????xN ，方程不是恰當(dāng)?shù)? 因?yàn)?yM xNyM2????????只與 y 有 關(guān) 故 方 程 有 只 與 y 有 關(guān) 的 積 分 因 子2ln2)2( 1yee ydyy ???? ??? 以21y??乘方程兩邊，得到 0112 ??? yxdydyydxy 或者寫成 02 ??? ydyy xdyydx 因而，通解為 cyyx ??ln (c 為任意常數(shù) ) 例 7 求方程 0)( 2223 ???? y d yxdxyxx 的通解。 解 ： 經(jīng)判斷 xyxNyyM 2,2 ??????，所以該方程不是恰當(dāng)方程。 分組得 0)( 2223 ???? dxyxy d yxdxx 顯然前兩項(xiàng)具有積分因子21x，相應(yīng)的全微分為 )(21 22 yxdyd yxd x ??? ， 要使得 )(1)(1 22222 xyxyxx ?? ??? 成立。只需取2222 1)( yxyx ????，21)( xx ??即可，這樣就找到了一個(gè)積分因子)( 1 222 yxx ???。 常微分方程的初等解法 10 原方程兩邊同乘)( 1 222 yxx ???，可得 01ln 22 ??? xdyxd ， 所以通解為 Cxyx ??? 1ln 22 。 例 8 解方程 0)84()2( 3423 ?????? dyyxyxdxxyxy 。 解 ： 方程各項(xiàng)重新組合為 ? ? ? ? ? ? 0824 3243 ?????? dyydxxdyxyy d xxx d yy d x ， ? ? ? ? 0324 4332 ????????? ???? yxddyydxxxyxyd ， ? ? 0323 4343 ????????? ?????????? ?? yxdyxx y dxyd ， 此時(shí)，可令 xyvyxu ??? ,3 43 ，上方程化為 02 ??? duvdudv ， 解之得 Cvu ??? 2ln ， 在 常微分方程中 ，每一道題都有多種解法，不同的解法答案是相同的，在社會(huì)中的應(yīng)用大致也是相同的，下面就讓我們看看一道常微分方程到底有 多少 種解法。 例 1 求 0)46()63( 3222 ???? dyyyxdxxyx 的通解。 解 : 解法 1 不定積分法。 令 22 63),( xyxyxM ?? , 32 46),( yyxyxN ?? ， 則 xyyNxyyM 12,12 ??????，所以該方程為恰當(dāng)方程。 22 63),( xyxyxMxU ????? ， 關(guān)于 x 積分，得 常微分方程的初等解法 11 )(3 223 yyxxU ???? ， 322 46),()(6 yyxyxNyyxyU ???????? ?， 34)( yy ??? ， 4)( yy ?? ， 所以通解為 CyyxxyxU ???? 4223 3),( 。 解法 2 公式法 利用恰當(dāng)方程求解方法 3 中公式得方程通積分為 CyxxydyydxxyxyxU x y ??????? ? ? 22340 0 322 34)63(),( 解法 3 分組法 去括號(hào)重新分組可得 06643 2232 ???? y d yxdxxydyydxx 0)(3)( 222243 ???? dyxdxyyxd 積分，得原方程的通解為 Cyyxx ??? 4223 3 。 例 2 求方程 0)( ??? dyxyydx 的通解。 解 : 由于 1,1 ??????? xNyM，所以原方程不是恰當(dāng)方程。 解法 1 可將原 方程改寫為 ydyxdyydx ??? ， 左端有積分因子21),( xyx ??或 ?,1),(2yyx ??，但考慮到右端只與變量 y 有 關(guān)，故取 21),( yyx ?? 為方程的積分因子，因此有 ydyy xdyydx ???2， 常微分方程的初等解法 12 兩邊積分可得通解 Cyyx ??ln，易見 0?y
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