【文章內(nèi)容簡介】 收益率進(jìn)行一階泰勒公式展開 可以看出，當(dāng)簡單收益率趨近于零時(shí)，對數(shù)收益率可以認(rèn)為與簡單收益率是近似相等的 [7]。 多期收益率 設(shè)股票資產(chǎn)在 t 時(shí)刻的 k 期簡單收益率為 )(kRt ，可定義為： ktkttt PPPkR ???? /)()( （ 25） 則可以定義 K 期簡單總收益，也叫離散復(fù)合收益率為： )1(/)(11121121??????????????????????kiiktttttktktktktktttRPPPPPPPPPPkR? （ 26） 其中 iktR?? 表示的是第 ),...,3,2,1( kii ? 期的單期簡單收益率。 由單期對數(shù)收益率定義可推出多期對數(shù)收益率 )(krt 為： 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 7 ?? ? ??? ?? ????? ki iktki ikttt rRkRkr 11 ])1(l n [))(1l n ()( （ 27） 同理， iktr?? 表示的是第 ),...,3,2,1( kii ? 期單期對數(shù)收益率。 通過分析多期收益率的定義不難發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論： （ 1） 知道單期收益率可以通過計(jì)算得出多期收益率。比如一個(gè)月有 30 個(gè)交易日，若采用簡單收益率計(jì)算方法，月總收益率可以通過將 30 天總的收益 率相乘得到；若是采用對數(shù)收益率計(jì)算方法，則月對數(shù)收益率可以通過對這 30 日的對數(shù)收益率相加求和得出。 （ 2） 這里所定義的單期收益率和多期收益率都是相對的。比如在計(jì)算年收益率時(shí)可以將月收益率作為單期計(jì)算，當(dāng)計(jì)算月收益率時(shí)可以將日收益率作為單期，所以這里的單期和多期沒有固定的匹配，計(jì)算時(shí)可根據(jù)需要選擇單期還是多期計(jì)算?？梢詫⒍鄠€(gè)單期計(jì)算得出一個(gè)多期，同樣一個(gè)多期也可以看做是多個(gè)單期。 （ 3） 在上述定義的公式（ 26）中用到了復(fù)利計(jì)算，但是這里計(jì)算時(shí)利率不是一個(gè)固定的值，而是將收益率（ tR ）這一隨機(jī)變量作為利率計(jì)算。 收益率正態(tài)檢驗(yàn)和尖峰厚尾性 頻率直方圖檢驗(yàn)法 此種檢驗(yàn)方法就是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的大樣本思想，把股票的日收益率當(dāng)作是一個(gè)具有無限性的總體，通過收集分析現(xiàn)有的股票數(shù)據(jù)作為樣本，通過檢查樣本的分布特性進(jìn)而分析得出總體的收益率分布特性。從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度來說，當(dāng)選自總體的樣本數(shù)量不斷增多時(shí)，樣本的特性就近似的反映了總體的某些特征，可以從樣本中尋找總體的某些規(guī)律。這里如果增多樣本容量，計(jì)算樣本的頻率畫出頻率直方圖，那么只要樣本容量足夠大 就可以近似接近總體概率密度曲線，所以可以通過收集樣本數(shù)據(jù)，作出樣本頻率分布直方圖，并與正態(tài)函數(shù)曲線進(jìn)行比較就可以比較直觀地檢驗(yàn)總體的分布特性是否具有正態(tài)性。 在直角坐標(biāo)系中作股票收益率分布直方圖時(shí)，橫坐標(biāo)一般為股票收益率，縱坐標(biāo)是收益率的概率，可以畫出收益率各值對應(yīng)的概率圖。一般來說，畫出的直方圖應(yīng)該從整體分析其形狀。如果直方圖呈現(xiàn)出左右對稱性，且中間高兩邊低，非常接近于正態(tài)分布函數(shù)曲線，一般就認(rèn)為樣本所在的總體是服從正態(tài)分布的。但是，如果直方圖形狀不是對稱的或者不是中間高兩邊低，就認(rèn)為總體是不服從正態(tài)分布 的。 尖峰厚尾的含義 一般從統(tǒng)計(jì)學(xué)方面定義尖峰特性就是某一隨機(jī)變量的值出現(xiàn)在均值附近，也就是峰頂附近的概率密度值大于理論上正態(tài)分布的估計(jì)值而呈現(xiàn)出在均值附近天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 8 整體高于正態(tài)分布的理論值。經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域里研究股票的尖峰特性通常來說受價(jià)格波動(dòng)的聚集性影響。這里所謂的波動(dòng)聚集就是當(dāng)市場的股票價(jià)格因市場信息的影響發(fā)生的波動(dòng)異常劇烈，并且這種波動(dòng)短時(shí)間不會(huì)消失而是在一段時(shí)間內(nèi)不斷上升或者下降，那么就會(huì)導(dǎo)致波動(dòng)聚集。假如金融資產(chǎn)價(jià)格發(fā)生的波動(dòng)聚集集中在均值左右就會(huì)出現(xiàn)所謂的尖峰厚尾特性，一般也稱之為肥尾。 肥尾是指 相對于正態(tài)分布假設(shè)的資產(chǎn)收益率的尾部，實(shí)際的股票收益率的尾部比正態(tài)擬合的尾部要厚，這也就意味著收益信息的出現(xiàn)不是連續(xù)變化形式的，而是以成堆的方式出現(xiàn)。相對于厚尾分布這一特性，統(tǒng)計(jì)學(xué)中也定義了薄尾型分布。薄尾型分布就是指隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)在尾部以指數(shù)函數(shù)的速度收縮至零，假設(shè)尾部收斂的速度是冪函數(shù)級別的則就是屬于厚尾分布的。一個(gè)典型的薄尾分布函數(shù)就是正態(tài)分布函數(shù)，其概率密度在尾部按指數(shù)級縮減至零。厚尾現(xiàn)象產(chǎn)生的原因很多，但主要原因是和自然界中的事物相比，金融序列略有不同。例如假設(shè)人的身高服從正態(tài)分布，人的身 高最值之間的差距會(huì)保持在平均身高，但是在金融時(shí)間序列中隨著資產(chǎn)價(jià)值的變化，該數(shù)值可能會(huì)變?yōu)?10倍甚至更高，這就導(dǎo)致在金融工程領(lǐng)域通常會(huì)觀察到更厚的尾部和更高的峰部。在股票市場，價(jià)格的波動(dòng)聚集導(dǎo)致股票收益率呈現(xiàn)厚尾特性，大量信息停滯在尾部，造成尾部的厚度大于傳統(tǒng)正態(tài)分布假設(shè)的理論值。 尖峰檢驗(yàn)法 峰度系數(shù)法 設(shè)有一隨機(jī)變量 X ，關(guān)于 X 的 K 階中心矩 kXEX ))(( ? 存在數(shù)學(xué)期望，其中...3,2,1?k ，這里用 )(Xk? 表示 X 的 K 階中心矩的數(shù)學(xué)期望，那么有： . . .3,2,1,))(()( ??? kXEXEX kk? （ 28） 當(dāng) k 取 2 和 4 時(shí)分別表示隨機(jī)變量 X 的二階中心矩和四階中心矩，由這兩個(gè)中心矩就可以計(jì)算峰度系數(shù)。隨機(jī)變量 X 的峰度系數(shù)定義的是四階中心矩除以其二階中心矩的平方。用 K 表示峰度系數(shù)，計(jì)算公式為： 24224224 )( ))(()))((( ))((/ XD XEXEXEXE XEXEK ?????? ?? （ 29） 其中 )(XE 為 X 的數(shù)學(xué)期望 ，也叫均值， )(XD 表示的是 X 的方差。 假設(shè) X 服從正態(tài)分布，即 ),(~ 2??NX ，則計(jì)算其 n 階中心矩； 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 9 dtetxdexdxexXEXEtnnxnnxnnn???????????????????????????22)(2)(2222)()(22)())((??????????????? （ 210） 則關(guān)于 X 的二階中心矩和四階中心矩為： 424442222232222????????????????????????dtetdtettt （ 211） 則可得到服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量 X 的峰度系數(shù)為： 3)(3/ 22 4224 ??? ????K （ 212） 一般來說，為了方便比較是否具有尖峰性，又將正態(tài)分布的峰度系數(shù)減去 3置零，即令 3)( ))(( 2 4 ??? XD XEXEK。這樣就可以比較方便的判定某一隨機(jī)變量的分布是否具有尖峰態(tài)，因?yàn)楫?dāng)計(jì)算隨機(jī)變量的峰度系數(shù) 0?K 表示該隨機(jī)變量的分布與正態(tài)分布一樣，在均值附近沒有出現(xiàn)尖峰。如果 0?K ，表明該隨機(jī)變量的分布肯定不是嚴(yán)格的正態(tài)分布，因?yàn)樵诰蹈浇霈F(xiàn)高于正態(tài)分布估計(jì)的理論值，其峰度高于正態(tài)分布 [8]。 以上計(jì)算峰度的公式都是基于理論數(shù)學(xué)函數(shù)的，在實(shí)際生活中不可能用理論性的結(jié)果去估量實(shí)際股票收益率，這就需要借助于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的參數(shù)估計(jì)理論。一般都是從整體中抽取大量樣本，通過計(jì)算樣本的均值和方差等數(shù)學(xué)參數(shù)去近似代表整體的這些特性值。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，用大量離散的樣本值計(jì)算二階中心矩和四階中心矩，計(jì)算公式為： 414212)(1)(1????????niiniixxnxxn?? （ 213） 則可以計(jì)算樣本的峰度系數(shù) K ： 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 10 3))(()(12214????????niiniixxxxnK （ 214） 式中 x 表示的是樣本均值。 JB 檢驗(yàn)法 JB 統(tǒng)計(jì)量通常是由偏度系數(shù)和峰度系數(shù)計(jì)算而來的，所謂偏度系數(shù)就是來度量某一分布函數(shù)的對稱性，用 S 來表示。偏度 S 的值有正有負(fù)， S 等于零的時(shí)候認(rèn)為分布函數(shù)是左右嚴(yán)格對稱的，若 S 大于零則認(rèn)為該分布函數(shù)是向右偏斜的，若 S 小于零則認(rèn)為該分布函數(shù)是向左偏斜的。所以這里 S 的值不僅表示偏斜的程度，也表示偏斜的方向。 計(jì)算 JB 統(tǒng) 計(jì)量： 6 ]4/[ 22 KSnJB ?? （ 215） 其中， K 為峰度系數(shù)，上一小節(jié)已經(jīng)介紹了其計(jì)算方法， S 為偏度，計(jì)算公式為： 2/31213))(()(??????? niiniiRRRRnS （ 216） 在上述公式中， iR 表示的是某一金融資產(chǎn)收益序列的收益率， R 表示的是這一序列收益率的均值。 JB 統(tǒng)計(jì)量是由 Jarque 和 Bera 提出的檢驗(yàn)法，同時(shí)他們在定義了 JB 統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式的基礎(chǔ)上也理 論推導(dǎo)出 JB 統(tǒng)計(jì)量服從的是 2? 分布，并結(jié)合數(shù)據(jù)計(jì)算出自由度為 2，即 JB 統(tǒng)計(jì)量滿足： )2(~ 2??JB ，其中 ? 表示的是給定的顯 著性水平 [9]。通過計(jì)算 JB 統(tǒng)計(jì)量的值，可以分析某一隨機(jī)變量的分布是否具有尖峰性，判別準(zhǔn)則為： （ 1） )2(2???JB ，則認(rèn)為該分布是正態(tài)分布； （ 2） )2(2???JB ，則認(rèn)為該分布不是正態(tài)分布； 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 11 厚尾檢驗(yàn)法 正態(tài)圖法 圖 用于直觀驗(yàn)證一組數(shù)據(jù)是否來自某個(gè)分布，或者驗(yàn)證某兩組數(shù)據(jù)是否來自同一（族）分布。在教學(xué)和軟件中常用的是檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否來自于正態(tài)分布。該方法是分別計(jì)算數(shù)據(jù)的分位數(shù)，然后在對正態(tài)分布的分位數(shù)描點(diǎn)，如果通過實(shí)際記錄數(shù)據(jù)畫出的圖是近似一條直線的，那么就認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從的是正態(tài)分布 [10]。 要利用 圖鑒別樣本數(shù)據(jù)是否近似于 正態(tài)分布 ， 只需看 圖上的點(diǎn)是否近似地在一條直線附近 ， 而且該 直線的斜率 為 標(biāo)準(zhǔn)差 ， 截距 為均值 ， 用 圖還可獲得樣本 偏度 和 峰度 的粗略信息 。 對于正態(tài)概率圖，有一些常見的變形圖形： （ 1）短尾分布：如果尾部比正常的短，則點(diǎn)所形成的圖形左邊朝直線上方彎曲，右邊朝直線下方彎曲 —— 如果傾斜向右看，圖形呈 S 型。表明數(shù)據(jù)比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí) 候更加集中靠近均值。 （ 2）長尾分布：如果尾部比正常的長，則點(diǎn)所形成的圖形左邊朝直線下方彎曲，右邊朝直線上方彎曲 —— 如果傾斜向右看，圖形呈倒 S 型。表明數(shù)據(jù)比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)候有更多偏離的數(shù)據(jù)。一個(gè)雙峰分布也可能是這個(gè)形狀。 （ 3）右偏態(tài)分布：右偏態(tài)分布左邊尾部短，右邊尾部長。因此，點(diǎn)所形成的圖形與直線相比向上彎曲，或者說呈 U 型。把正態(tài)分布左邊截去，也會(huì)是這種形狀。 （ 4）左偏態(tài)分布：左偏態(tài)分布左邊尾部長，右邊尾部短。因此，點(diǎn)所形成的圖形與直線相比向下彎曲。把正態(tài)分布右邊截去，也 會(huì)是這種形狀。 圖 21 短尾分布和長尾分布 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 12 圖 22 右偏分布和左偏分布 盡管作直方圖能馬上知道數(shù)據(jù)的分布，但它卻不是判斷這些數(shù)據(jù)是否來自同一特定分布的好辦法。人眼不能很好地判別曲線，其他的分布也可能形成相似的形狀。并且，用服從正態(tài)分布的少量數(shù)據(jù)集作成的直方圖可能看起來不是正態(tài)的。因此，正態(tài)概率圖是判斷數(shù)據(jù)分布的較好方法。 尾極值指數(shù)法 首先介紹一下尾極值的定義，在金融分析領(lǐng)域里尾極值指數(shù)又可以分為上尾極值指數(shù)和下尾極值指數(shù) 。所謂上尾極值指數(shù)對應(yīng)的是上尾分布具有厚尾性，設(shè)存在一隨機(jī)變量，用 X 表示，其分布函數(shù)為 )(XF ，且其分布函數(shù)滿足tt xtF txF 1)(1 )(1lim ??? ??? ，其中 0,0 ?? xr ，則稱變量 X 符合上尾“厚尾”型分布，其中 r 即為上尾極值指數(shù)。同樣的也有下尾極值指數(shù)計(jì)算公式。 用尾極值指數(shù)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可以得出，當(dāng)限定 1?x 時(shí)計(jì)算得出尾極值指數(shù) 0?r 。所以一般都認(rèn)為，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的尾分布為薄尾特性，在此基礎(chǔ)上，如果計(jì)算某一隨機(jī)變量分布的 尾極值指數(shù) 0?r ，則可認(rèn)為該分布服從正態(tài)分布，如果計(jì)算得出尾極值指數(shù) 0?r ，則表示該分布不是正態(tài)分布而是屬于厚尾型分布的。 在分析股票收益率時(shí)用尾極值指數(shù)法檢驗(yàn)股票收益率是薄尾型分布還是厚尾型分布非常簡