【導讀】是社會各界都對收益率寄予了極大的關注。自對收益率的研究以來人們在很長時。收益率的擬合效果都優(yōu)于正態(tài)函數(shù)，究竟收益率服從何種分布至今并無定論。的分布特征，用正態(tài)分布和t分布都無法描述這種分布特征。本研究在一元線性。析，給出了參數(shù)估計的方法，該分布能很好的描述滬深股市收益率的分布特征。數(shù)，而這兩種方法的實現(xiàn)都借助了MATLAB數(shù)學軟件。最后采用了KS檢驗對擬合。度進行了檢驗，發(fā)現(xiàn)這種分布可以很好地擬合股票收益率的分布。

　　

【正文】 間的關系類型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析。如果在回歸分析中，只包括一個 自變量和一個因變量，且二者的關系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關系，則稱為多元線性回歸分析。 回歸分析是應用極其廣泛的數(shù)據分析方法之一。它基于觀測數(shù)據建立變量間適當?shù)囊蕾囮P系，以分析數(shù)據內在規(guī)律，并可用于預報、控制等問題。 這里假設股票交易中，收盤價與開盤價之間為一元線性關系： ???? bXaY （ 320） 其中 X 表示的是股票開盤價， Y 表示的是股票收盤價， a 和 b 表示的是一元線性系數(shù)， ? 表示隨機誤差。 則股 票收益率 R 為： XabX XYR ??????? )1( （ 321） 假設隨機變量 X 服從正態(tài)分布， ),(~ 2xxNX ?? ，隨機誤差 ? 是 服從正態(tài)分布的 ),0(~ 2?? N ，則有 ),(~ 2?? aNa? ，那么股票收益率 R 的概率密度可以表示為： ),),1(()( 2xxR abrgrf ?????? （ 322） 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 21 其中： )1,21,)(2)(()(2||)(),(212222212121)(2)(321222212221)22(212222122112122221222222121????????????????????????????????????????????xxG a m c d fexxexxgxx （ 323） 極大似然法參數(shù)估計 極大似然估計法是求 參數(shù) 估計的一種方法。它最早由高斯提出 ， 后來費歇在1912 年的文章中重新提出，并且證明了這個方法的一些性質。極大似然估計這一名稱也是費歇給的 ， 這是一種 目 前仍然得到廣泛應用的方法。它是建立在極大似然原理的基礎上的一個統(tǒng)計方法，極大似然原理的直觀想法是：一個隨機試驗如有若干個可能的結果 A ， B ， C ， ? 。若在一次試驗中，結果 A 出現(xiàn)，則一般認為試驗條件對 A 出現(xiàn)有利，也即 A 出現(xiàn)的概率很大。 求極大似然函數(shù)估計值的一般步驟： （ 1） 由總體分布導出樣本的聯(lián)合概 率密度 ； （ 2） 把樣本聯(lián)合概率密度函數(shù)中自變量看成已知常數(shù)，而把參數(shù) ? 看作自變量，得到似然函數(shù) )(?L ； （ 3） 求似然函數(shù)的最大值點（常轉化為求對數(shù)似然函數(shù)的最大值點） ； （ 4） 在最大值點的表達式中，用樣本值代入就得參數(shù)的極大似然估計值。 極大似然估計，只是一種概率論在統(tǒng)計學的應用，它是參數(shù)估計的方法之一。說的是已知某 個隨機樣本滿足某種概率分布，但是其中具體的參數(shù)不清楚，參數(shù)估計就是通過若干次試驗，觀察其結果，利用結果推出參數(shù)的大概值。極大似然估計是建立在這樣的思想上：已知某個參數(shù)能使這個樣本出現(xiàn)的概率最大，當然不會再去選擇其他小概率的樣本，所以干脆就把這個參數(shù)作為估計的真實值。當然極大似然估計只是一種粗略的數(shù)學期望，要知道它的誤差大小還要做區(qū)間估計。 極大似然估計的原理如下： 設總體 X 是離散型隨機變量，其概率函數(shù)為 )。( ?xp ，其中 ? 是未知參數(shù)。設nXXX , 21 ? 為取自總體 X 的樣本，則 nXXX , 21 ? 的聯(lián)合概率函數(shù)為??ni iXp1 ),( ? ，這里 ? 是常量， nXXX , 21 ? 是變量。如果樣本取值 nxxx , 21 ? ，則事件 },{ 11 nn xXxX ?? ? 發(fā)生的概率為 ??ni ixp1 ),( ?，這一概率隨 ? 的值的變化天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 22 而變化。從直觀上來看，即樣本值 nxxx , 21 ? 已經出現(xiàn)了，它們出現(xiàn)的概率相對來說應比較大，應使其概率取比較大的值 [12]。因此，取似然函數(shù)如下： ???? ni in xpxxxLL 121 )。()。,()( ??? ? （ 324） 極大似然估計法就是在參數(shù) ? 的可能取值范圍內選取使 )(?L 達到最大的參數(shù)值，即取 ? ，使得： )。,(m a x)。,()( 2121 ??? ? nn xxxLxxxLL ?? ??? ?? （ 325） 因此，求參數(shù) ? 的極大似然估計值的問題就是求似然函數(shù) )(?L 的最大值問題。這通過解方程 0/)( ??? ddL 來得到。因為 )(ln ?L 和 )(?L 的增減性是相同的，所以他們在 ? 的同一值處取得最大值，稱 )(ln ?L 為對數(shù)似然函數(shù)?？梢酝ㄟ^求解下列方程來得到極大似然解： 0)(ln ???dLd （ 326） 擬合優(yōu)度檢驗 KolmogorovSmirnov 檢驗常譯為柯爾莫哥洛夫 斯米爾諾夫檢驗，簡寫為KS 檢驗，亦稱 D 檢驗法，也是一種擬合優(yōu)度檢驗法。 KS 單樣本檢驗主要用來檢驗一組樣本數(shù)據的實際分布是否與某一指定的理論分布相符合?；驹硎菍⒗碚摲植枷碌睦塾嬵l 數(shù)分布與觀察到的累計頻數(shù)分布相比較，找出它們間最大的差異點，并參照抽樣分布，定出這樣大的差異是否處于偶然。 KS 統(tǒng)計量 設有 n 個隨機變量 iX ，各隨機變量之間是獨立同分布的，則這 n 個隨機變量iX 的經驗分布函數(shù) nF 計算公式為： ?? ?? ni in xXInF 1 )(1 （ 327） 式中 ()I 表示的是指標函數(shù)。一般來說，若知道某一累積分布函數(shù) )(xF ，則該分布函數(shù)的 KS統(tǒng)計 量計算方法為： |)()(|s u p xFxFD nn ?? （ 328） 通過 GliVenkoCantelli 定理可知，如果選取的樣本都是選自同一分布函數(shù))(xF ， KS 統(tǒng)計量 nD 近似等于零。而且 Kolmogorov 經過計算分布函數(shù) )(xF 的天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 23 KS 統(tǒng)計量的有效性及其收斂速度也驗證了這一結論的正確性，除此之外，Donsker 理論也驗證了這一點。 Kolmogorov 分布 Kolmogorov 分布是關于隨機變量 K 的分布，其中將隨機變量 K 定義為： |)(|sup]1,0[ tBK t?? （ 329） 式中的 )(tB 表示的是在連續(xù)時間序列中隨機過程的布朗橋，將隨機變量 K 的累積分布函數(shù)計算公式為： ??? ???? 1 8 )12( 2 222)Pr( k xkexxK ?? （ 330） KS 檢驗 假設所抽取的樣本都是在零假設下來自某一設定的分布函數(shù) )(xF ，則 KS統(tǒng)計量滿足： )(|))((|s u p ??? ntFBDn tn （ 331） 若 F 是連續(xù)函數(shù)，那么在零假設條件下 nDn 是收斂于 Kolmogorov 分布，其中 Kolmogorov 分布是與分布 F 不相關的。在構建 KS檢驗時，通常使用的是Kolmogorov 分布的臨界值。一般對于給定的置信水平 ? ，若有 ?KDn n ? ，就認為 原 假設 是不 正確 的而 應該 接受 備 擇假 設。 其中 ?K 可 以 通過 計 算?? ??? 1)Pr( KK 得出 [13]。 本章小結 本章首先介紹了幾種常見的股票收益率分布模型，它們是穩(wěn)定分布、拉普拉斯分布以及混合正態(tài)分布，并且在文中分別給出了分布函數(shù)和累積分布函數(shù)。對于每個分布函數(shù)文中附上分布曲線圖以便更加直觀。本章第二小節(jié)是在總結當前分布模型的基礎上提出一種新的分布函數(shù)模型，是基于兩個正態(tài)函數(shù)之比的分布函數(shù)，文中給出部分推導過程以及最后的概率密度函數(shù)。然后是利用一元線性回歸分析法，假設股票的開盤價和收盤價服從一元線性關系，從而推導出股票收益率的正態(tài)之比分布模 型。接著本章給出了分布函數(shù)的參數(shù)估計方法，利用極大似然法可以很好的估計分布函數(shù)中每個參數(shù)，有利于之后的股票收益率擬合分析。最后，本章給出擬合檢驗法 KS檢驗，用于判定擬合優(yōu)度。 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 24 4 中國股票市場收益率分布實證分析 數(shù)據選取及正態(tài)檢驗 數(shù)據選取 本文對中國股票市場收益率進行實證分析，選取的是時間跨度為 2020 年 1月 2 日至 2020 年 12 月 31 日上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)。 上證綜合指數(shù)， 全稱是上海證券交易所股票價格綜合指數(shù)，是由上海證券交易所編制的 股票指數(shù) ， 1990 年 12 月 19 日正式開始發(fā)布。該股票指數(shù)的樣本為所有在上海證券交易所掛牌上市的股票，其中新上市的股票在掛牌的 10 天之后納入股票指數(shù)的計算范圍。該股票指數(shù)的權數(shù)為上市公司的總股本。由于我國上市公司的股票有流通股和非流通股之分，其流通量與總股本并不一致，所以總股本較大的股票對股票指數(shù)的影響就較大，上證指數(shù)有時就成為機構大戶造市的工具，使股票指數(shù)的走勢與大部分股票的漲跌相背離。 上海證券交易所股票指數(shù)的發(fā)布幾乎是和 股市 行情 的變化相同步的，它是我國股民和證券從業(yè)人員研判股票價格變化趨勢必不可少的參考依據。 深證成份指數(shù)，是 深圳證券交易所 編制的一種 成份股指數(shù) ，是從上市的所有股票 中抽取具有市場代表性的 40 家 上市公司 的股票作為計算對象，并以 流通股為權數(shù)計算得出的加權股價指數(shù)，綜合反映 深交所 上市 A、 B 股 的股價走勢。 所選取的上證指數(shù)和深證指數(shù)是每日的交易數(shù)據，包括開盤價、收盤價，最高價、最低價以及交易量和交易額等，用這些數(shù)據可以計算每日的股票收益率，這里畫出股票市場走勢及收益率的分布，在通過分布擬合分析股票收益率的分布狀況。 圖 41 上證指數(shù)走勢圖 從上圖可以看出從 2020 年初到 2020 年底，上證股 票市場經歷了一次較大動天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 25 蕩，及在 2020 年時股票收盤價出現(xiàn)大幅度下滑，說明了 2020 年的世界經濟危機給上海股票市場帶來重大影響，之后隨著金融復蘇，股票價格逐漸回升，在 2020年達到最高，之后最然也有波動，但是整體呈緩慢下降趨勢。 圖 42 深證指數(shù)走勢圖 從上圖可以看出深證指數(shù)的大體走勢與上證是相同的，都是在 2020 年時出現(xiàn)急劇下滑，于 2020 年逐漸復蘇，同樣說明 2020 年的經濟危機對深圳股票市場也產生了重大影響，兩則綜合起來反應了中國整體股票市場情況。不同的是深證指數(shù)緩慢下降的速度比上證指數(shù)要稍慢 些，在 2020 年深證股市同 2020 年走勢近乎相同，但是上證指數(shù)在 2020 年比 2020 年要低一些，在此之后，上證指數(shù)和深證指數(shù)都為緩慢下滑狀態(tài)。 中國股票市場收益率正態(tài)檢驗 最早期經濟領域普遍認為股票收益率服從正態(tài)分布的，也有很多人用正態(tài)分布函數(shù)去擬合股票收益率，只是后來經濟學家們在研究收益率分布時發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布雖然能與收益率分布情況相似，但是卻不具有很好的擬合效果，以致后來又提出了股票收益率具有尖峰厚尾特性。 這里通過選取 2020至 2020年中國股票市場具有代表性的上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)分析中 國股票市場收益率是否符合正態(tài)分布。通過畫出上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)的累積直方圖，以收益率作為分段區(qū)間，區(qū)間內出現(xiàn)的頻數(shù)為縱坐標畫出累積直方圖如圖 43 和圖 44。 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 26 圖 43 上證綜合指數(shù)收益率直方圖 圖 44 深證成分指數(shù)收益率直方圖 從圖中能看出，雖然上證綜合指數(shù)收益率和深證成分指數(shù)收益率總體分布趨勢類似于正態(tài)分布，都是兩邊緩慢收斂于零中間最高，但是卻不屬于正態(tài)分布，因為從收益率分布直方圖中可以很容易看出直方圖兩邊不是嚴格對稱的，具有很大的偏差，所以這里認為中國股票市場收益率并不是服從正態(tài)分布 的。 中國股票收益率尖峰厚尾性檢驗 目前股票收益率分布不是嚴格服從正態(tài)分布而是具有尖峰厚尾性的這一觀點已經得到經濟領域內的專業(yè)人士的廣泛認可，這里也通過分析中國股票市場收益率數(shù)據驗證中國股票收益率分布是否也具有尖峰厚尾性。 收益率分布尖峰態(tài)檢驗 對于股票收益率的尖峰態(tài)檢驗已經在第二章中介紹了檢驗方法，即使用峰度系數(shù)檢驗和利用 JB 統(tǒng)計量進行檢驗。 首先計算上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)的峰度系數(shù)，通過計算收益率的二階中心矩和四階中心矩計算峰度系數(shù)。這里使用 Matlab 軟件進行計算。因為 matlab天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 27 設計開發(fā)是基于矩陣運算而來的，所以在進行矩陣運算的時候使用方便，省去了大量復雜計算。通過峰