【導(dǎo)讀】是社會(huì)各界都對(duì)收益率寄予了極大的關(guān)注。自對(duì)收益率的研究以來人們?cè)诤荛L(zhǎng)時(shí)。收益率的擬合效果都優(yōu)于正態(tài)函數(shù)，究竟收益率服從何種分布至今并無定論。的分布特征，用正態(tài)分布和t分布都無法描述這種分布特征。本研究在一元線性。析，給出了參數(shù)估計(jì)的方法，該分布能很好的描述滬深股市收益率的分布特征。數(shù)，而這兩種方法的實(shí)現(xiàn)都借助了MATLAB數(shù)學(xué)軟件。最后采用了KS檢驗(yàn)對(duì)擬合。度進(jìn)行了檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這種分布可以很好地?cái)M合股票收益率的分布。

　　

【正文】 間的關(guān)系類型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析。如果在回歸分析中，只包括一個(gè) 自變量和一個(gè)因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關(guān)系，則稱為多元線性回歸分析。 回歸分析是應(yīng)用極其廣泛的數(shù)據(jù)分析方法之一。它基于觀測(cè)數(shù)據(jù)建立變量間適當(dāng)?shù)囊蕾囮P(guān)系，以分析數(shù)據(jù)內(nèi)在規(guī)律，并可用于預(yù)報(bào)、控制等問題。 這里假設(shè)股票交易中，收盤價(jià)與開盤價(jià)之間為一元線性關(guān)系： ???? bXaY （ 320） 其中 X 表示的是股票開盤價(jià)， Y 表示的是股票收盤價(jià)， a 和 b 表示的是一元線性系數(shù)， ? 表示隨機(jī)誤差。 則股 票收益率 R 為： XabX XYR ??????? )1( （ 321） 假設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布， ),(~ 2xxNX ?? ，隨機(jī)誤差 ? 是 服從正態(tài)分布的 ),0(~ 2?? N ，則有 ),(~ 2?? aNa? ，那么股票收益率 R 的概率密度可以表示為： ),),1(()( 2xxR abrgrf ?????? （ 322） 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 21 其中： )1,21,)(2)(()(2||)(),(212222212121)(2)(321222212221)22(212222122112122221222222121????????????????????????????????????????????xxG a m c d fexxexxgxx （ 323） 極大似然法參數(shù)估計(jì) 極大似然估計(jì)法是求 參數(shù) 估計(jì)的一種方法。它最早由高斯提出 ， 后來費(fèi)歇在1912 年的文章中重新提出，并且證明了這個(gè)方法的一些性質(zhì)。極大似然估計(jì)這一名稱也是費(fèi)歇給的 ， 這是一種 目 前仍然得到廣泛應(yīng)用的方法。它是建立在極大似然原理的基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，極大似然原理的直觀想法是：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果 A ， B ， C ， ? 。若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果 A 出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì) A 出現(xiàn)有利，也即 A 出現(xiàn)的概率很大。 求極大似然函數(shù)估計(jì)值的一般步驟： （ 1） 由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合概 率密度 ； （ 2） 把樣本聯(lián)合概率密度函數(shù)中自變量看成已知常數(shù)，而把參數(shù) ? 看作自變量，得到似然函數(shù) )(?L ； （ 3） 求似然函數(shù)的最大值點(diǎn)（常轉(zhuǎn)化為求對(duì)數(shù)似然函數(shù)的最大值點(diǎn)） ； （ 4） 在最大值點(diǎn)的表達(dá)式中，用樣本值代入就得參數(shù)的極大似然估計(jì)值。 極大似然估計(jì)，只是一種概率論在統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用，它是參數(shù)估計(jì)的方法之一。說的是已知某 個(gè)隨機(jī)樣本滿足某種概率分布，但是其中具體的參數(shù)不清楚，參數(shù)估計(jì)就是通過若干次試驗(yàn)，觀察其結(jié)果，利用結(jié)果推出參數(shù)的大概值。極大似然估計(jì)是建立在這樣的思想上：已知某個(gè)參數(shù)能使這個(gè)樣本出現(xiàn)的概率最大，當(dāng)然不會(huì)再去選擇其他小概率的樣本，所以干脆就把這個(gè)參數(shù)作為估計(jì)的真實(shí)值。當(dāng)然極大似然估計(jì)只是一種粗略的數(shù)學(xué)期望，要知道它的誤差大小還要做區(qū)間估計(jì)。 極大似然估計(jì)的原理如下： 設(shè)總體 X 是離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為 )。( ?xp ，其中 ? 是未知參數(shù)。設(shè)nXXX , 21 ? 為取自總體 X 的樣本，則 nXXX , 21 ? 的聯(lián)合概率函數(shù)為??ni iXp1 ),( ? ，這里 ? 是常量， nXXX , 21 ? 是變量。如果樣本取值 nxxx , 21 ? ，則事件 },{ 11 nn xXxX ?? ? 發(fā)生的概率為 ??ni ixp1 ),( ?，這一概率隨 ? 的值的變化天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 22 而變化。從直觀上來看，即樣本值 nxxx , 21 ? 已經(jīng)出現(xiàn)了，它們出現(xiàn)的概率相對(duì)來說應(yīng)比較大，應(yīng)使其概率取比較大的值 [12]。因此，取似然函數(shù)如下： ???? ni in xpxxxLL 121 )。()。,()( ??? ? （ 324） 極大似然估計(jì)法就是在參數(shù) ? 的可能取值范圍內(nèi)選取使 )(?L 達(dá)到最大的參數(shù)值，即取 ? ，使得： )。,(m a x)。,()( 2121 ??? ? nn xxxLxxxLL ?? ??? ?? （ 325） 因此，求參數(shù) ? 的極大似然估計(jì)值的問題就是求似然函數(shù) )(?L 的最大值問題。這通過解方程 0/)( ??? ddL 來得到。因?yàn)?)(ln ?L 和 )(?L 的增減性是相同的，所以他們?cè)?? 的同一值處取得最大值，稱 )(ln ?L 為對(duì)數(shù)似然函數(shù)?？梢酝ㄟ^求解下列方程來得到極大似然解： 0)(ln ???dLd （ 326） 擬合優(yōu)度檢驗(yàn) KolmogorovSmirnov 檢驗(yàn)常譯為柯爾莫哥洛夫 斯米爾諾夫檢驗(yàn)，簡(jiǎn)寫為KS 檢驗(yàn)，亦稱 D 檢驗(yàn)法，也是一種擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法。 KS 單樣本檢驗(yàn)主要用來檢驗(yàn)一組樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際分布是否與某一指定的理論分布相符合。基本原理是將理論分布下的累計(jì)頻 數(shù)分布與觀察到的累計(jì)頻數(shù)分布相比較，找出它們間最大的差異點(diǎn)，并參照抽樣分布，定出這樣大的差異是否處于偶然。 KS 統(tǒng)計(jì)量 設(shè)有 n 個(gè)隨機(jī)變量 iX ，各隨機(jī)變量之間是獨(dú)立同分布的，則這 n 個(gè)隨機(jī)變量iX 的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) nF 計(jì)算公式為： ?? ?? ni in xXInF 1 )(1 （ 327） 式中 ()I 表示的是指標(biāo)函數(shù)。一般來說，若知道某一累積分布函數(shù) )(xF ，則該分布函數(shù)的 KS統(tǒng)計(jì) 量計(jì)算方法為： |)()(|s u p xFxFD nn ?? （ 328） 通過 GliVenkoCantelli 定理可知，如果選取的樣本都是選自同一分布函數(shù))(xF ， KS 統(tǒng)計(jì)量 nD 近似等于零。而且 Kolmogorov 經(jīng)過計(jì)算分布函數(shù) )(xF 的天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 23 KS 統(tǒng)計(jì)量的有效性及其收斂速度也驗(yàn)證了這一結(jié)論的正確性，除此之外，Donsker 理論也驗(yàn)證了這一點(diǎn)。 Kolmogorov 分布 Kolmogorov 分布是關(guān)于隨機(jī)變量 K 的分布，其中將隨機(jī)變量 K 定義為： |)(|sup]1,0[ tBK t?? （ 329） 式中的 )(tB 表示的是在連續(xù)時(shí)間序列中隨機(jī)過程的布朗橋，將隨機(jī)變量 K 的累積分布函數(shù)計(jì)算公式為： ??? ???? 1 8 )12( 2 222)Pr( k xkexxK ?? （ 330） KS 檢驗(yàn) 假設(shè)所抽取的樣本都是在零假設(shè)下來自某一設(shè)定的分布函數(shù) )(xF ，則 KS統(tǒng)計(jì)量滿足： )(|))((|s u p ??? ntFBDn tn （ 331） 若 F 是連續(xù)函數(shù)，那么在零假設(shè)條件下 nDn 是收斂于 Kolmogorov 分布，其中 Kolmogorov 分布是與分布 F 不相關(guān)的。在構(gòu)建 KS檢驗(yàn)時(shí)，通常使用的是Kolmogorov 分布的臨界值。一般對(duì)于給定的置信水平 ? ，若有 ?KDn n ? ，就認(rèn)為 原 假設(shè) 是不 正確 的而 應(yīng)該 接受 備 擇假 設(shè)。 其中 ?K 可 以 通過 計(jì) 算?? ??? 1)Pr( KK 得出 [13]。 本章小結(jié) 本章首先介紹了幾種常見的股票收益率分布模型，它們是穩(wěn)定分布、拉普拉斯分布以及混合正態(tài)分布，并且在文中分別給出了分布函數(shù)和累積分布函數(shù)。對(duì)于每個(gè)分布函數(shù)文中附上分布曲線圖以便更加直觀。本章第二小節(jié)是在總結(jié)當(dāng)前分布模型的基礎(chǔ)上提出一種新的分布函數(shù)模型，是基于兩個(gè)正態(tài)函數(shù)之比的分布函數(shù)，文中給出部分推導(dǎo)過程以及最后的概率密度函數(shù)。然后是利用一元線性回歸分析法，假設(shè)股票的開盤價(jià)和收盤價(jià)服從一元線性關(guān)系，從而推導(dǎo)出股票收益率的正態(tài)之比分布模 型。接著本章給出了分布函數(shù)的參數(shù)估計(jì)方法，利用極大似然法可以很好的估計(jì)分布函數(shù)中每個(gè)參數(shù)，有利于之后的股票收益率擬合分析。最后，本章給出擬合檢驗(yàn)法 KS檢驗(yàn)，用于判定擬合優(yōu)度。 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 24 4 中國股票市場(chǎng)收益率分布實(shí)證分析 數(shù)據(jù)選取及正態(tài)檢驗(yàn) 數(shù)據(jù)選取 本文對(duì)中國股票市場(chǎng)收益率進(jìn)行實(shí)證分析，選取的是時(shí)間跨度為 2020 年 1月 2 日至 2020 年 12 月 31 日上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)。 上證綜合指數(shù)， 全稱是上海證券交易所股票價(jià)格綜合指數(shù)，是由上海證券交易所編制的 股票指數(shù) ， 1990 年 12 月 19 日正式開始發(fā)布。該股票指數(shù)的樣本為所有在上海證券交易所掛牌上市的股票，其中新上市的股票在掛牌的 10 天之后納入股票指數(shù)的計(jì)算范圍。該股票指數(shù)的權(quán)數(shù)為上市公司的總股本。由于我國上市公司的股票有流通股和非流通股之分，其流通量與總股本并不一致，所以總股本較大的股票對(duì)股票指數(shù)的影響就較大，上證指數(shù)有時(shí)就成為機(jī)構(gòu)大戶造市的工具，使股票指數(shù)的走勢(shì)與大部分股票的漲跌相背離。 上海證券交易所股票指數(shù)的發(fā)布幾乎是和 股市 行情 的變化相同步的，它是我國股民和證券從業(yè)人員研判股票價(jià)格變化趨勢(shì)必不可少的參考依據(jù)。 深證成份指數(shù)，是 深圳證券交易所 編制的一種 成份股指數(shù) ，是從上市的所有股票 中抽取具有市場(chǎng)代表性的 40 家 上市公司 的股票作為計(jì)算對(duì)象，并以 流通股為權(quán)數(shù)計(jì)算得出的加權(quán)股價(jià)指數(shù)，綜合反映 深交所 上市 A、 B 股 的股價(jià)走勢(shì)。 所選取的上證指數(shù)和深證指數(shù)是每日的交易數(shù)據(jù)，包括開盤價(jià)、收盤價(jià)，最高價(jià)、最低價(jià)以及交易量和交易額等，用這些數(shù)據(jù)可以計(jì)算每日的股票收益率，這里畫出股票市場(chǎng)走勢(shì)及收益率的分布，在通過分布擬合分析股票收益率的分布狀況。 圖 41 上證指數(shù)走勢(shì)圖 從上圖可以看出從 2020 年初到 2020 年底，上證股 票市場(chǎng)經(jīng)歷了一次較大動(dòng)天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 25 蕩，及在 2020 年時(shí)股票收盤價(jià)出現(xiàn)大幅度下滑，說明了 2020 年的世界經(jīng)濟(jì)危機(jī)給上海股票市場(chǎng)帶來重大影響，之后隨著金融復(fù)蘇，股票價(jià)格逐漸回升，在 2020年達(dá)到最高，之后最然也有波動(dòng)，但是整體呈緩慢下降趨勢(shì)。 圖 42 深證指數(shù)走勢(shì)圖 從上圖可以看出深證指數(shù)的大體走勢(shì)與上證是相同的，都是在 2020 年時(shí)出現(xiàn)急劇下滑，于 2020 年逐漸復(fù)蘇，同樣說明 2020 年的經(jīng)濟(jì)危機(jī)對(duì)深圳股票市場(chǎng)也產(chǎn)生了重大影響，兩則綜合起來反應(yīng)了中國整體股票市場(chǎng)情況。不同的是深證指數(shù)緩慢下降的速度比上證指數(shù)要稍慢 些，在 2020 年深證股市同 2020 年走勢(shì)近乎相同，但是上證指數(shù)在 2020 年比 2020 年要低一些，在此之后，上證指數(shù)和深證指數(shù)都為緩慢下滑狀態(tài)。 中國股票市場(chǎng)收益率正態(tài)檢驗(yàn) 最早期經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域普遍認(rèn)為股票收益率服從正態(tài)分布的，也有很多人用正態(tài)分布函數(shù)去擬合股票收益率，只是后來經(jīng)濟(jì)學(xué)家們?cè)谘芯渴找媛史植紩r(shí)發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布雖然能與收益率分布情況相似，但是卻不具有很好的擬合效果，以致后來又提出了股票收益率具有尖峰厚尾特性。 這里通過選取 2020至 2020年中國股票市場(chǎng)具有代表性的上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)分析中 國股票市場(chǎng)收益率是否符合正態(tài)分布。通過畫出上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)的累積直方圖，以收益率作為分段區(qū)間，區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的頻數(shù)為縱坐標(biāo)畫出累積直方圖如圖 43 和圖 44。 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 26 圖 43 上證綜合指數(shù)收益率直方圖 圖 44 深證成分指數(shù)收益率直方圖 從圖中能看出，雖然上證綜合指數(shù)收益率和深證成分指數(shù)收益率總體分布趨勢(shì)類似于正態(tài)分布，都是兩邊緩慢收斂于零中間最高，但是卻不屬于正態(tài)分布，因?yàn)閺氖找媛史植贾狈綀D中可以很容易看出直方圖兩邊不是嚴(yán)格對(duì)稱的，具有很大的偏差，所以這里認(rèn)為中國股票市場(chǎng)收益率并不是服從正態(tài)分布 的。 中國股票收益率尖峰厚尾性檢驗(yàn) 目前股票收益率分布不是嚴(yán)格服從正態(tài)分布而是具有尖峰厚尾性的這一觀點(diǎn)已經(jīng)得到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域內(nèi)的專業(yè)人士的廣泛認(rèn)可，這里也通過分析中國股票市場(chǎng)收益率數(shù)據(jù)驗(yàn)證中國股票收益率分布是否也具有尖峰厚尾性。 收益率分布尖峰態(tài)檢驗(yàn) 對(duì)于股票收益率的尖峰態(tài)檢驗(yàn)已經(jīng)在第二章中介紹了檢驗(yàn)方法，即使用峰度系數(shù)檢驗(yàn)和利用 JB 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。 首先計(jì)算上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)的峰度系數(shù)，通過計(jì)算收益率的二階中心矩和四階中心矩計(jì)算峰度系數(shù)。這里使用 Matlab 軟件進(jìn)行計(jì)算。因?yàn)?matlab天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 27 設(shè)計(jì)開發(fā)是基于矩陣運(yùn)算而來的，所以在進(jìn)行矩陣運(yùn)算的時(shí)候使用方便，省去了大量復(fù)雜計(jì)算。通過峰