【正文】 單方便，只需要計算尾極值，判斷尾極值指數(shù)值是否為零還是大于零就可以得出結(jié)論。但是，在實際金融市場中，實際數(shù)據(jù)是不連續(xù)的，需要進行抽樣計算，這就要求必須根據(jù) 樣本選取進行尾極值指數(shù)估計，一般來說目前樣本估算尾極值指數(shù)都是采用 Moment 型估計量，計算公式為： 1)1( )2()1(^ }1{211 ?????nnn MMMr （ 217） 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 13 其中， 2,1,)l og( l og1)( 10 , ??? ??? ?? jXXmjMjmi jmnninn。 （ 218） 在只考慮尾指數(shù)的條件下，當 0?r 時，有 )1,0(~1)(2^ Nrrrm n?? 。有前面尾型判斷原則可知，若尾極值指數(shù) 0?r 是薄尾型的， 0?r 是厚尾型的。 現(xiàn)在既可以進行假設(shè)性檢驗，作原假設(shè) 0H ： 0?r ，備擇假設(shè) 1H ： 0?r 。如果通過樣本計算得出 0?r ，即拒絕原假設(shè)而接受備擇假設(shè)，此時有)1,0(~^ Nrm n 。若給定顯著性水平，通過計算可得到原假設(shè) 0H 的拒 絕域為?urm n ?^ ，其中 ?u 表 示 的 是 標 準 正 態(tài) 分 布 的 單 側(cè) 臨 界 值 ， 即)1,0(~,)( NZZP ?? ? ?? 。 所以，通過對總體抽樣，在大樣本容量下，對于給定顯著性水平 ? ，若有???nrm ，則就認為該隨機變量的分布呈現(xiàn)“厚尾”性，相反，如果計算得出???nrm ，則就認為該隨機變量分布是“薄尾”性的。另外，可以計算出該判別方法在給定顯著性水平 ? 下容忍度m??，其中 m 的值一般取 ??????? 10nm為最佳選擇 [11]。 本章小結(jié) 本章首先介紹了股票收益率的計算方法，包括單期收益和多期收益，并且無論是單期收益還是多期收益都有兩種計算方式，簡單收益率和對數(shù)收益率。之后重點介紹了本文的研究重點，股票收益率的正態(tài)性檢驗和尖峰厚尾特性。之后又詳細介紹如何檢驗收益率的尖峰性和厚尾性，分別給出了判別計算式，其中尖峰檢驗有峰度系數(shù)法和 JB 統(tǒng)計量法，厚尾性檢驗有 正態(tài)圖法和尾極值法，文中也都給出了計算方 法。 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 14 3 股票收益率分布模型 幾種常用收益率分布模型 穩(wěn)定分布 在 概率論 中，穩(wěn)定分布（ Stable distribution，又稱為雷維偏阿爾法 穩(wěn)定分布（ Levy skew alphastable distribution））是一種 連續(xù)概率分布 ，它是由 保羅 皮埃爾 萊維 發(fā)展起來的。在穩(wěn)定分布中，獨立同分布的 隨機變量 之和及它們本身具有相同的分布。 可以用幾個參數(shù)來表示穩(wěn)定分布，它們分別是特性指數(shù) ? 、尺度c 、偏度參數(shù) ? 以及位移 ? 。在金融工程領(lǐng)域里常用穩(wěn)定分布去分析處理金融數(shù)據(jù)以觀察金融動態(tài)。數(shù)學領(lǐng)域定義穩(wěn)定分布是通過對其特征函數(shù) )(t? 進行連續(xù)傅里葉變換，計算公式為： ????? ?? dtetxf itx)(21),( ????? （ 31） 其中穩(wěn)定分布的特征函數(shù) )(t? 計算公式為： )])s g n (1(||e x p [)( ???? tictitt ??? ? （ 32） 當 1?? 時， )2/tan(???? ； 當 1?? 時， ||log)/2( t???? 。 式中的 ? 表示位移參數(shù)， ? 用來判定分布的對稱性， c 用來表示尺度對分布的影響，代表著穩(wěn)定分布的寬度， ? 表示 的是分布指數(shù)，當 2?? 時反映分布 ? 就表示分布的漸進行為，此時漸進行為可以表示為： ?? ??????? ?? 1|| /)()2/s in ()1(~)( xcxf （ 33） 其中 ? 為伽馬函數(shù)。穩(wěn)定分布 )(xf 的形式?jīng)]有統(tǒng)一的方案，但是卻存在三個特例 ： ? 對于 2?? ，分布縮減為 正態(tài)分布 （ 方差 為 22 2c?? ，均值為 ? ） ； ? 對于 1?? 和 0?? ，分布縮減為 柯西分布 （尺度參數(shù)為 c ，移位參數(shù)為 ? ） ； ? 對于 2/1?? 和 1?? ，分布縮減為 雷維分布 （尺度參數(shù)為 c ，移位參數(shù)為? ） ； 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 15 以上三個分布其實是相互關(guān)聯(lián)的。一個標準的柯西 隨機變量 可以被看成是高斯隨機變量（所有均值為零）和一個標準雷維分布的方差的混合。 圖 31 穩(wěn)定分布概率密度曲線 圖 32 穩(wěn)定分布累積分布曲線 拉普拉斯分布 在 概率論 與 統(tǒng)計學 中，拉普拉斯分布是以 皮埃爾 西蒙 拉普拉斯 的名字命名的一種連續(xù) 概率分布 。由于它可以看作是兩個不同位置的 指數(shù)分布 背靠背拼接在一起，所以它也叫作雙指數(shù)分布。兩個 相互獨立同概率分布 指數(shù) 隨機變量 之間的差別是按照指數(shù)分布的隨機時間 布朗運動 ，所以它遵循拉普拉斯分 布。 對于某一隨機變量 x ，若它服從的概率密度函數(shù)為： ????????????????????xbxxb xbbxbxf )e x p ()e x p (21)||e x p (21)( （ 34） 則就認為該隨機變量是服從拉普拉斯分布的，其中 ? 表示的是位置參數(shù)，天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 16 0?b 表示的是尺度參數(shù)， 如果 0?? ，那么，正半部分恰好是尺度為 2/1 的指數(shù)分布。 拉普拉斯分布的概率密度函數(shù)讓聯(lián)想到 正態(tài)分布 ，但是，正態(tài)分布是用相對于 ? 平均值 的差的平方來表示，而拉普拉斯概率密度用相對于平均值的差的 絕對值 來表示。因此，拉普拉斯分布的尾部比正態(tài)分布更加平坦。 根據(jù) 絕對值 函數(shù)，如果將一個拉普拉斯分布分成兩個對稱的情形，那么很容易對拉普拉斯分布進行 積分 。它的 累積分布函數(shù) 為： ))]/||e x p (1)(s g n (1[*)()( bxxduufxF x ?? ??????? ? ?? （ 35） 圖 33 拉普拉斯分布概率密度曲線 圖 34 拉普拉斯分布累積分布曲線 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 17 混合正態(tài)分布 混合 正態(tài)分布 又稱混合 高斯分布 或混合常態(tài)分布 ， 與基本正態(tài)分布或逆高斯分布不同，它的基本思想是對每一個像素 ， 定義 K 個狀態(tài) ,， 每個狀態(tài)用一個高斯函數(shù)表示 ， 這些狀態(tài)一部分表示背景的像素值 ， 其余部分則表示前景的像素值。 相對于高斯分布的定義 ),(),(),( 22 ????? Nxfxf ?? ，混合正態(tài)分布計算公式為： ?? ??? Kk kkk Kxfpxf 1 1),(),( ? （ 36） 式中 的 kp 表示的是第 k 個 影 響 因 素 的 系 數(shù) ， 且 滿 足 限 定 條 件?? ??? Kk kk pp 1 1,10 ，大寫字母 K 表示的是總的成分數(shù)量，當 1?K 時表示的就是高 斯分布， },...,...,{ 2121 kkppp ????? 。通過計算混合高斯分布的累積分布函數(shù)，可以將其分解為各個具有不同加權(quán)值的累積分布之和。 圖 35 混合正態(tài)分布概率密度曲線 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 18 圖 36 混合正態(tài)分布累積分布曲線 基于正態(tài)比值法收益率分布模型 兩正態(tài)分布之比的概率密度 首先，假設(shè)存在兩個隨機變量 X 和 Y 都是服從正態(tài)分布的，且有),(~ 211 ??NX ， ),(~ 222 ??NY ，則 X 和 Y 的概率密度函數(shù)為： RRxxefefxYxX????????y221)y(221)(22222121)(2)(1，???????? （ 37） 假設(shè)隨機變量 X 和 Y 是相互獨立的，令 YXZ /? ，則隨機變量 Z 的概率密度可由 X 和 Y 概率密度推導出來，計算公式為： IIIdttdtttttzzeeedffftttztYXZ??????????????????????????????*tz21**21*)()*(222121222221212221221222222221212)()2)(212)(2)*(21??????????????????????（）（ （ 38） 其中： de tI t*tz2 1 0 2 )(t)2)(21 2221 21222221212221221222??? ??????? ?? ??????????? ?? （ （ 39） 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 19 t dttz2 10*2 )()2)(21222121222221212221221222??? ???????? e tII ?? ??????????? ?? （ （ 310） 此時正態(tài)分布之比的概率密度函數(shù)分解成兩部分，先計算第一部分，這里令： ?? ?????????? 2221212222212122212212222z2tz ）（）（）（ ????? tx （ 311） 對上式進行整理得到： 02tz2 222121222221212221221222 tz ????? x???????????? ）（）（）（ （ 312） 令： 212222122211 ?? ???? ??? zzL （ 313） 則當 01?L 時， )t d t*tt*(2 1 11 ( *)0( *)21 ??????LL ee dI ???。 對于 ),0( 1Lt? ： ?? ???????????? ?21222 21222212222121212221 )(2)2(t ? ??????? z zzzz ）（ （ 314） dxzdt zz ??????? ?? )(2)2( 21222212222121?????? （ 315） 最終推出： )22(21222 2122222121)( ??????? ?????? ezI （ 316） )1,21,)(2)(()(2 || 212222212121)(2)(321222212221 21222212??????????????? ?? ??????? ???zzG a m c d fez zII zz （ 317） 當 021 ???? ， 121 ???? 時，有： )1( 1)( 2zzfZ ?? ?， Rz? （ 318） 此時分布退變?yōu)榭挛鞣植肌? 令 r?21?? ， ???1 ，則： 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 20 )1,21,)(2)(()(2||)()(2222221)(2)(322221)2(222222122222221rzrzG a m c d ferzrzrerzrzfrzzrrZ????????????????????????? （ 319） 從式中可以看出， 1? 影響分布的對稱性： 01?? ，為對稱分布； 01?? ，為負偏分布； 01?? ，為正偏分布。 基于回歸分析的正態(tài)比模型 回歸分析（ regression analysis)是確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計分析方法。運用十分廣泛，回歸分析按照涉及的自變量的多少，可分為一元回歸分析和多元回歸分析；按照自變量和因變量之