【正文】 通過峰度計。這里使用 Matlab 軟件進行計算。 收益率分布尖峰態(tài)檢驗 對于股票收益率的尖峰態(tài)檢驗已經(jīng)在第二章中介紹了檢驗方法，即使用峰度系數(shù)檢驗和利用 JB 統(tǒng)計量進行檢驗。 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 26 圖 43 上證綜合指數(shù)收益率直方圖 圖 44 深證成分指數(shù)收益率直方圖 從圖中能看出，雖然上證綜合指數(shù)收益率和深證成分指數(shù)收益率總體分布趨勢類似于正態(tài)分布，都是兩邊緩慢收斂于零中間最高，但是卻不屬于正態(tài)分布，因為從收益率分布直方圖中可以很容易看出直方圖兩邊不是嚴格對稱的，具有很大的偏差，所以這里認為中國股票市場收益率并不是服從正態(tài)分布 的。 這里通過選取 2020至 2020年中國股票市場具有代表性的上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)分析中 國股票市場收益率是否符合正態(tài)分布。不同的是深證指數(shù)緩慢下降的速度比上證指數(shù)要稍慢 些，在 2020 年深證股市同 2020 年走勢近乎相同，但是上證指數(shù)在 2020 年比 2020 年要低一些，在此之后，上證指數(shù)和深證指數(shù)都為緩慢下滑狀態(tài)。 圖 41 上證指數(shù)走勢圖 從上圖可以看出從 2020 年初到 2020 年底，上證股 票市場經(jīng)歷了一次較大動天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 25 蕩，及在 2020 年時股票收盤價出現(xiàn)大幅度下滑，說明了 2020 年的世界經(jīng)濟危機給上海股票市場帶來重大影響，之后隨著金融復蘇，股票價格逐漸回升，在 2020年達到最高，之后最然也有波動，但是整體呈緩慢下降趨勢。 深證成份指數(shù)，是 深圳證券交易所 編制的一種 成份股指數(shù) ，是從上市的所有股票 中抽取具有市場代表性的 40 家 上市公司 的股票作為計算對象，并以 流通股為權(quán)數(shù)計算得出的加權(quán)股價指數(shù)，綜合反映 深交所 上市 A、 B 股 的股價走勢。由于我國上市公司的股票有流通股和非流通股之分，其流通量與總股本并不一致，所以總股本較大的股票對股票指數(shù)的影響就較大，上證指數(shù)有時就成為機構(gòu)大戶造市的工具，使股票指數(shù)的走勢與大部分股票的漲跌相背離。該股票指數(shù)的樣本為所有在上海證券交易所掛牌上市的股票，其中新上市的股票在掛牌的 10 天之后納入股票指數(shù)的計算范圍。 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 24 4 中國股票市場收益率分布實證分析 數(shù)據(jù)選取及正態(tài)檢驗 數(shù)據(jù)選取 本文對中國股票市場收益率進行實證分析，選取的是時間跨度為 2020 年 1月 2 日至 2020 年 12 月 31 日上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)。接著本章給出了分布函數(shù)的參數(shù)估計方法，利用極大似然法可以很好的估計分布函數(shù)中每個參數(shù)，有利于之后的股票收益率擬合分析。本章第二小節(jié)是在總結(jié)當前分布模型的基礎上提出一種新的分布函數(shù)模型，是基于兩個正態(tài)函數(shù)之比的分布函數(shù)，文中給出部分推導過程以及最后的概率密度函數(shù)。 本章小結(jié) 本章首先介紹了幾種常見的股票收益率分布模型，它們是穩(wěn)定分布、拉普拉斯分布以及混合正態(tài)分布，并且在文中分別給出了分布函數(shù)和累積分布函數(shù)。一般對于給定的置信水平 ? ，若有 ?KDn n ? ，就認為 原 假設 是不 正確 的而 應該 接受 備 擇假 設。 Kolmogorov 分布 Kolmogorov 分布是關(guān)于隨機變量 K 的分布，其中將隨機變量 K 定義為： |)(|sup]1,0[ tBK t?? （ 329） 式中的 )(tB 表示的是在連續(xù)時間序列中隨機過程的布朗橋，將隨機變量 K 的累積分布函數(shù)計算公式為： ??? ???? 1 8 )12( 2 222)Pr( k xkexxK ?? （ 330） KS 檢驗 假設所抽取的樣本都是在零假設下來自某一設定的分布函數(shù) )(xF ，則 KS統(tǒng)計量滿足： )(|))((|s u p ??? ntFBDn tn （ 331） 若 F 是連續(xù)函數(shù)，那么在零假設條件下 nDn 是收斂于 Kolmogorov 分布，其中 Kolmogorov 分布是與分布 F 不相關(guān)的。一般來說，若知道某一累積分布函數(shù) )(xF ，則該分布函數(shù)的 KS統(tǒng)計 量計算方法為： |)()(|s u p xFxFD nn ?? （ 328） 通過 GliVenkoCantelli 定理可知，如果選取的樣本都是選自同一分布函數(shù))(xF ， KS 統(tǒng)計量 nD 近似等于零。基本原理是將理論分布下的累計頻 數(shù)分布與觀察到的累計頻數(shù)分布相比較，找出它們間最大的差異點，并參照抽樣分布，定出這樣大的差異是否處于偶然?？梢酝ㄟ^求解下列方程來得到極大似然解： 0)(ln ???dLd （ 326） 擬合優(yōu)度檢驗 KolmogorovSmirnov 檢驗常譯為柯爾莫哥洛夫 斯米爾諾夫檢驗，簡寫為KS 檢驗，亦稱 D 檢驗法，也是一種擬合優(yōu)度檢驗法。這通過解方程 0/)( ??? ddL 來得到。,(m a x)。()。從直觀上來看，即樣本值 nxxx , 21 ? 已經(jīng)出現(xiàn)了，它們出現(xiàn)的概率相對來說應比較大，應使其概率取比較大的值 [12]。設nXXX , 21 ? 為取自總體 X 的樣本，則 nXXX , 21 ? 的聯(lián)合概率函數(shù)為??ni iXp1 ),( ? ，這里 ? 是常量， nXXX , 21 ? 是變量。 極大似然估計的原理如下： 設總體 X 是離散型隨機變量，其概率函數(shù)為 )。極大似然估計是建立在這樣的思想上：已知某個參數(shù)能使這個樣本出現(xiàn)的概率最大，當然不會再去選擇其他小概率的樣本，所以干脆就把這個參數(shù)作為估計的真實值。 極大似然估計，只是一種概率論在統(tǒng)計學的應用，它是參數(shù)估計的方法之一。若在一次試驗中，結(jié)果 A 出現(xiàn)，則一般認為試驗條件對 A 出現(xiàn)有利，也即 A 出現(xiàn)的概率很大。極大似然估計這一名稱也是費歇給的 ， 這是一種 目 前仍然得到廣泛應用的方法。 則股 票收益率 R 為： XabX XYR ??????? )1( （ 321） 假設隨機變量 X 服從正態(tài)分布， ),(~ 2xxNX ?? ，隨機誤差 ? 是 服從正態(tài)分布的 ),0(~ 2?? N ，則有 ),(~ 2?? aNa? ，那么股票收益率 R 的概率密度可以表示為： ),),1(()( 2xxR abrgrf ?????? （ 322） 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 21 其中： )1,21,)(2)(()(2||)(),(212222212121)(2)(321222212221)22(212222122112122221222222121????????????????????????????????????????????xxG a m c d fexxexxgxx （ 323） 極大似然法參數(shù)估計 極大似然估計法是求 參數(shù) 估計的一種方法。它基于觀測數(shù)據(jù)建立變量間適當?shù)囊蕾囮P(guān)系，以分析數(shù)據(jù)內(nèi)在規(guī)律，并可用于預報、控制等問題。如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關(guān)系，則稱為多元線性回歸分析。運用十分廣泛，回歸分析按照涉及的自變量的多少，可分為一元回歸分析和多元回歸分析；按照自變量和因變量之間的關(guān)系類型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析。 令 r?21?? ， ???1 ，則： 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 20 )1,21,)(2)(()(2||)()(2222221)(2)(322221)2(222222122222221rzrzG a m c d ferzrzrerzrzfrzzrrZ????????????????????????? （ 319） 從式中可以看出， 1? 影響分布的對稱性： 01?? ，為對稱分布； 01?? ，為負偏分布； 01?? ，為正偏分布。 圖 35 混合正態(tài)分布概率密度曲線 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 18 圖 36 混合正態(tài)分布累積分布曲線 基于正態(tài)比值法收益率分布模型 兩正態(tài)分布之比的概率密度 首先，假設存在兩個隨機變量 X 和 Y 都是服從正態(tài)分布的，且有),(~ 211 ??NX ， ),(~ 222 ??NY ，則 X 和 Y 的概率密度函數(shù)為： RRxxefefxYxX????????y221)y(221)(22222121)(2)(1，???????? （ 37） 假設隨機變量 X 和 Y 是相互獨立的，令 YXZ /? ，則隨機變量 Z 的概率密度可由 X 和 Y 概率密度推導出來，計算公式為： IIIdttdtttttzzeeedffftttztYXZ??????????????????????????????*tz21**21*)()*(222121222221212221221222222221212)()2)(212)(2)*(21??????????????????????（）（ （ 38） 其中： de tI t*tz2 1 0 2 )(t)2)(21 2221 21222221212221221222??? ??????? ?? ??????????? ?? （ （ 39） 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 19 t dttz2 10*2 )()2)(21222121222221212221221222??? ???????? e tII ?? ??????????? ?? （ （ 310） 此時正態(tài)分布之比的概率密度函數(shù)分解成兩部分，先計算第一部分，這里令： ?? ?????????? 2221212222212122212212222z2tz ）（）（）（ ????? tx （ 311） 對上式進行整理得到： 02tz2 222121222221212221221222 tz ????? x???????????? ）（）（）（ （ 312） 令： 212222122211 ?? ???? ??? zzL （ 313） 則當 01?L 時， )t d t*tt*(2 1 11 ( *)0( *)21 ??????LL ee dI ???。 相對于高斯分布的定義 ),(),(),( 22 ????? Nxfxf ?? ，混合正態(tài)分布計算公式為： ?? ??? Kk kkk Kxfpxf 1 1),(),( ? （ 36） 式中 的 kp 表示的是第 k 個 影 響 因 素 的 系 數(shù) ， 且 滿 足 限 定 條 件?? ??? Kk kk pp 1 1,10 ，大寫字母 K 表示的是總的成分數(shù)量，當 1?K 時表示的就是高 斯分布， },...,...,{ 2121 kkppp ????? 。 根據(jù) 絕對值 函數(shù)，如果將一個拉普拉斯分布分成兩個對稱的情形，那么很容易對拉普拉斯分布進行 積分 。 拉普拉斯分布的概率密度函數(shù)讓聯(lián)想到 正態(tài)分布 ，但是，正態(tài)分布是用相對于 ? 平均值 的差的平方來表示，而拉普拉斯概率密度用相對于平均值的差的 絕對值 來表示。兩個 相互獨立同概率分布 指數(shù) 隨機變量 之間的差別是按照指數(shù)分布的隨機時間 布朗運動 ，所以它遵循拉普拉斯分 布。拉普拉斯 的名字命名的一種連續(xù) 概率分布 。一個標準的柯西 隨機變量 可以被看成是高斯隨機變量（所有均值為零）和一個標準雷維分布的方差的混合。 式中的 ? 表示位移參數(shù)， ? 用來判定分布的對稱性， c 用來表示尺度對分布的影響，代表著穩(wěn)定分布的寬度， ? 表示 的是分布指數(shù)，當 2?? 時反映分布 ?