【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 | |A B A D A B A D? ? ?，等于已知 ABCD 是矩形 。 （ 11 ） 在 ABC? 中 ， 給 出222 OCOBOA ?? ，等于已知 O 是ABC? 的外心（ 三角形外接圓的圓心，三角形的外心是 三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn) ）； （ 12 ） 在 ABC? 中 ， 給 出0??? OCOBOA ，等于已知 O 是ABC? 的重心（ 三角形的重心是 三角形三條中線的交點(diǎn) ）； （ 13 ） 在 ABC? 中 ， 給 出OAOCOCOBOBOA ????? ，等于已知 O 是 ABC? 的垂心（ 三角形的 垂 心是 三角形三條高的 交點(diǎn) ）； （ 14 ） 在 ABC? 中 ， 給 出??OAOP ()| | | |AB ACAB AC? ?)( ??R? 等于已知 AP 通過(guò) ABC? 的內(nèi)心； （ 15 ） 在 ABC? 中 ， 給 出,0?????? OCcOBbOAa 等于已知O 是 ABC? 的內(nèi)心（ 三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是 三角形三條角平分線的交點(diǎn) ）； （ 16 ） 在 ABC? 中 ， 給 出? ?12A D A B A C??,等于已知 AD 是ABC? 中 BC邊的中線 。 9 直線、平面、 簡(jiǎn)單多面體 三個(gè)公理和三條推論 ： （ 1） 公理 1：一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這 個(gè)平面內(nèi)。 這是 判斷直線在平面內(nèi)的常用方法 。 （ 2） 公理 如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，而且這無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)都在同一條直線上。 這是 判斷幾點(diǎn)共線 （證這幾點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)）和 三條直線共點(diǎn) （證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上）的方法之一。 （ 3） 公理 3：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。 推論 1：經(jīng)過(guò)直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。 推論 2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面。 推論 3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。 公理 3 和三個(gè)推論是 確定平面的依據(jù) 。 如（ 1） 在空間四點(diǎn)中，三點(diǎn) 共線是四點(diǎn)共面的 _____條件（答：充分非必要）； （ 2） 給出命題：①若 A∈ l， A∈α，B∈ l ， B∈α，則 l ? α；②若 A∈α，A∈β， B∈α， B∈β，則α∩β＝ AB；③若 l? α ， A∈ l，則 A?α ④若 A、B、 C∈α， A、 B、 C∈β，且 A、 B、 C不共線，則α與β重合。上述命題中，真命題是 _____（答： ①②④ ）； （ 3） 長(zhǎng)方體中 ABCDA1B1C1D1 中， 56 AB=8， BC=6，在線段 BD， A1C1上各有一點(diǎn) P、 Q，在 PQ 上有一點(diǎn) M，且PM=MQ，則 M 點(diǎn)的軌跡圖形的面積為_(kāi)______（答： 24） 直觀圖的畫(huà)法（斜二側(cè)畫(huà)法規(guī)則） ：在畫(huà)直觀圖時(shí)，要注意：（ 1）使0135x o y? ? ???， xoy??? 所確定的平面表示水平平面。（ 2）已知圖形中平行于 x 軸和 z 軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度和平行性不變， 平行于 y 軸的線段平行性不變，但在直觀圖中其長(zhǎng)度為原來(lái)的一半 。 如（ 1） 已 知正 ABC? 的邊長(zhǎng)為 a ，那么 ABC? 的平面直觀圖 ABC? ? ?? 的面積為 _____（答： 2616a ） 空間直線的位置關(guān)系 ：（ 1）相交直線――有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。（ 2）平行直線――在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。（ 3）異面直線――不在同一平面內(nèi)，也沒(méi)有公共點(diǎn) 。 如（ 1） 空間四邊形 ABCD 中， E、F、 G、 H 分別是四邊上的中點(diǎn)，則直線EG 和 FH 的位置關(guān)系 _____（答：相交）； （ 2） 給出下 列四個(gè)命題： ① 異面直線是指空間既不平行又不相交的直線；② 兩異面直線 ba, ，如果 a 平行于平面? ，那么 b 不平行平面 ? ； ③ 兩異面直線 ba, ，如果 ?a 平面 ? ，那么 b 不垂直于平面 ? ； ④ 兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線 。其中正確的命題是 _____（答： ①③ ） 異面直線的判定 ：反證法。 如（ 1） “ａ、ｂ為異面直線”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ ?面 α，ｂ ? 面 β 且 a∩ b＝Φ；③ａ ? 面α，ｂ ? 面 β且 α∩β＝Φ；④ａ ? 面 α，b? 面 α ；⑤不存在平面α，能使ａ ?面 α 且ｂ ? 面α成立。上述結(jié)論中，正確的是 _____（答：①⑤）； （ 2） 在空間四邊形 ABCD 中， M、N 分別是 AB 、 CD 的中 點(diǎn) ，設(shè)BC+AD=2a，則 MN 與 a 的大小關(guān)系是_____（答： MNa）； （ 3） 若 E、 F、 G、 H 順次為空間四邊形 ABCD 四條邊 AB、 BC、 CD、 DA的中點(diǎn)，且 EG=3， FH=4，則 AC2+BD2= _____（答： 50）； （ 4） 如果ａ、 ｂ是異面直線， P 是不在ａ、ｂ上的任意一點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①過(guò)點(diǎn) P 一定可以作直線 l 與ａ、ｂ都相交； ②過(guò)點(diǎn) P 一定可以作直線 l 與ａ、ｂ都垂直；③過(guò)點(diǎn) P 一定可以作平面α與ａ、ｂ都平行； ④過(guò)點(diǎn) P 一定可以作直線 l 與ａ、ｂ都平行。其中正確的結(jié)論是 _____（答：②）； （ 5） 如果兩條異面直線稱作一對(duì)，那么正方體的十二條棱中異面直線的對(duì)數(shù)為 _____（答： 24）； （ 6 ） 已知平面,//, accAabba 且平面 ???? ??????求證： b、 c 是異面直線． 異面直線所成角 ? 的求法 ：（ 1）范圍 ： (0, ]2??? ；（ 2） 求法 ：計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是 平移 （ 中點(diǎn)平移，頂點(diǎn)平移以及 補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。 如（ 1） 正四棱錐 ABCDP? 的所 57 FD CBAED 1 C 1B 1A1有棱長(zhǎng)相等， E 是 PC 的中點(diǎn)，那 么異面直線 BE 與 PA 所成的角的余弦值等于 ____（答： 33 ）； （ 2） 在正方體 AC1 中， M 是側(cè)棱DD1 的中點(diǎn)， O 是底面 ABCD 的中心， P是棱 A1B1 上的一點(diǎn)，則 OP 與 AM 所成的角的大小為 ____（答： 90176。）； （ 3） 已知異面直線 a、 b 所成的角為 50176。， P 為空間一點(diǎn)，則過(guò) P 且與 a、b 所成的角都是 30176。的直線有且僅有____條（答： 2）； （ 4） 若異面直線 ,ab所成的角為3?，且直線 ca? ，則異面直線 ,bc所成角的范圍是 ____（答： [ , ]62??）； 異面直線的距離的概念 ：和兩條異面直線 都垂直相交 的直線叫異面直線的公垂線。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。而和兩條異面直線都垂直的直線有無(wú)數(shù)條，因?yàn)榭臻g中，垂直不一定相交。 如（ 1） ABCD 是矩形，沿對(duì)角線AC 把Δ ADC 折起，使 AD⊥ BC，求證：BD 是異面直線 AD 與 BC 的公垂線； （ 2 ） 如 圖 ， 在 正 方 體ABCD—A1B1C1D1 中， EF 是異面直線 AC與 A1D 的公垂線，則由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)所連接的直線中，與 EF 平行的直線有____條（答： 1）； 兩直線平行的判定 ： （ 1） 公理 4：平行于同一直線的兩直線互相平行； （ 2） 線面平行的性質(zhì) ：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行； （ 3） 面面平行的性質(zhì) ：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行； （ 4） 線面垂直的性質(zhì) ：如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。 兩直線垂直的判定 ： （ 1）轉(zhuǎn)化為證線面垂直； （ 2）三垂線定理及逆定理。 直線與平面的位置關(guān)系 ： （ 1）直線在平面內(nèi)； （ 2）直線與平面相交。其中，如果一條直線和平面內(nèi) 任何一條 直線都垂直，那么這條 直線和這個(gè)平面垂直 。 注意 ：任一條直線并不等同于無(wú)數(shù)條直線； （ 3）直線與平面平行。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。 如（ 1） 下列命題中，正確的是 Ａ、若直線 a 平行于平面 ? 內(nèi)的一條直線 b , 則 a // ? Ｂ、若直線 a 垂直于平面 ?的斜線 b 在平面 ? 內(nèi)的射影，則 a ⊥ b Ｃ、 若直線 a 垂直于平面 ? ,直線 b是平面 ? 的斜線，則 a 與 b 是異面直線 Ｄ、若一個(gè)棱錐的所有側(cè)棱與底面所成的角都相等，且所有側(cè)面與底面所成的角也相等，則它一定是 正棱錐（答： D）； （ 2） 正方體 ABCDA1B1C1D1 中，點(diǎn) P 在側(cè)面 BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持 AP⊥ BD1，則動(dòng)點(diǎn)P 的 軌 跡 是___________（答：線段 B1C）。 直線與平面平行的判定和性質(zhì) ：（ 1） 判定 ： ① 判定定理 ： 如果平面內(nèi)一 58 條直線和這個(gè)平面平面平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行； ② 面面平行的性質(zhì) ：若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線與另一個(gè)平面平行 。 （ 2） 性質(zhì) ：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行。 在遇到線面平行時(shí)，常需 作出過(guò)已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì) 。 如（ 1） α、β表示平面， a、 b表示直線，則 a∥α的一個(gè)充分不必要條件是 A、α⊥β， a⊥β B、α∩β＝ b，且 a∥ b C、 a∥ b 且 b∥α D、α∥β且 a? β（答： D）； （ 2） 正方體 ABCDA１ B１ C１ D１ 中，點(diǎn) N 在 BD 上，點(diǎn) M 在 B1C 上，且CM=DN，求證： MN∥面 AA1B1B。 1直線和平面垂直的判定和性質(zhì) ：（ 1） 判定 ： ①如果一條直線和 一個(gè)平面內(nèi)的 兩條相交 直線都垂直，那么這條直線和這 個(gè)平面垂直。 ② 兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直。 （ 2） 性質(zhì) ： ① 如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直。 ② 如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。 如（ 1） 如果命題“若 yyx ,? ∥ z，則 zx? ”不成立，那么字母 x、 y、 z在空間所表示的幾何圖形一定是 _____（答： x、 y 是直線， z 是平面）； （ 2） 已知 a， b， c是直線，α、β是平面，下列條件中能得出直線 a⊥平面α的是 A、 a⊥ b，ａ⊥ｃ其中ｂ ? α，ｃ ? α B、 a⊥ b ，ｂ∥α C、α⊥β，ａ∥β D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α （答： D）； （ 3） AB 為⊙ O 的直徑， C 為⊙ O上的一點(diǎn)， AD⊥面 ABC， AE⊥ BD 于 E，AF⊥ CD 于 F，求證： BD⊥平面 AEF。 1三垂線定理及逆定理 ： （ 1） 定理 ：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。 （ 2） 逆定理 ：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線，那么它也和這條斜 線在平面內(nèi)的射影垂直。 其作用是證兩直線異面垂直和作二面角的平面角 。 1直線和平面所成的角 ： （ 1） 定義 ：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成的角。 （ 2） 范圍 ： [0,90] ； （ 3） 求法 ： 作出直線在平面上的射影； （ 4）斜線與平面所成的角的 特征 ：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。 如（ 1） 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AB=1， D 在棱 BB1 上， BD=1，則AD 與平面 AA1C1C 所成的角為 ______ （答： arcsin 46 ）； （ 2） 正方體 ABCDA1B1C1D1中， E、F分別是 AB、 C1D1的中點(diǎn)，則棱 A1B1 與截面 A1ECF所成的角的余弦值是 ______ （答： 13 ）； （ 3） PCPBPA , 是從點(diǎn) P 引出的三條射線，每?jī)蓷l的夾角都是 ?60 ，則 59 直線 PC 與平面 PAB 所成角的余弦值為 ______（答： 33 ）； （ 4） 若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角θ，則 sinθ的值為 ______（答： 33 ）。 1平面與平面的位置關(guān)系 ： （ 1）平行――沒(méi)有公共點(diǎn)； （ 2）相交――有一條公共直線。 1兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì) ：（ 1） 判定 ：一