【正文】 正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等。 2側(cè)面積 （各個(gè)側(cè)面面積之和）： （ 1） 棱柱 ：側(cè)面積 S ＝直截面（與各側(cè)棱都垂直相交的截面）周長側(cè)棱長，特別地，直棱柱的側(cè)面積 S ＝底面周長側(cè)棱長。 （ 2） 正棱錐 ：正棱錐的側(cè)面積 S ＝12 底面周長斜高。 2體積 ： （ 1） 棱柱 ：體積＝底面積高，或體積 V ＝直截面面積側(cè)棱長，特別地，直棱柱的體積＝底面積側(cè)棱長；三棱柱的體積 12V Sd? （其中 S 為三棱柱一個(gè)側(cè)面的面積， d 為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離）。 如（ 1） 已知棱長為 1 的正方體容器ABCD—A1B1C1D1中，在 A1B、 A1BB1C1的中點(diǎn) E、 F、G 處各開有一個(gè)小孔，若此容器可以任意放置，則裝水較多的容積（小孔面積對(duì)容積的影響忽略不計(jì)）是 _____ （答： 1211 ）； （ 2） 在正三棱錐 ABCD 中， E、 F是 AB、 BC 的中點(diǎn) ， EF⊥ DE，若 BC=a ，則正三棱錐 ABCD 的體積為 __（答：3242 a ）； （ 3） 已知正三棱錐 ABCP? 底面邊長為 32 ，體積為 34 ，則底面三角形 ABC的中心 O 到側(cè)面 PAB的距離為___（答： 41717 ）； （ 4） 在 平面幾何中有： Rt△ ABC 的直角邊分別為 a,b，斜邊上的高為 h，則 65 GFE DCB A222 111 hba ??。 （ 2）正多面體的 種類 ：只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。 如（ 1） 在球內(nèi)有相距 9cm 的兩個(gè)平行截面，面積分別為 49? cm 400? cm2，則球的表面積為 ______ （答： 22500cm? ）； （ 2） 三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為 1的三棱錐 PABC 內(nèi)接于球 O，求球 O的表面積與體積。 如（ 1） 長方體中若一條對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三個(gè)面中的二個(gè)面所成的角為30176。 （答： 2 2 2sin sin sin 2? ? ?? ? ?） ⑹若 正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為 ? ，則 cosSS ??側(cè)底 ＝ 。 如（ 1） 1！ +2！ +3！ +? +n?。?*4,n n N??）的個(gè)位數(shù)字為 （答： 3）； （ 2） 滿足2886xxAA?? 的 x ＝ （答： 8） (2)組合數(shù)公式 ? ?( 1 ) ( 1 ) ! ()( 1 ) 2 1 ! !mm nn mmA n n n m nC m nA m m m n m? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?； 68 A C B D 規(guī)定 01！ ? ， 0 1nC? . 如： 已知 1 6m n mn m nC C A?? ? ?， 求 n， m的值（答： m＝ n＝ 2） (3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì) ：① m n mnnCC?? ； ② 111m m mn n nC C C ?????； ③ 11kknnkC nC ??? ； ④ 1121 ???? ????? rnrnrrrrrr CCCCC ?； ⑤ ! ( 1)! !n n n n? ? ? ?； ⑥ 11( 1) ! ! ( 1) !nn n n????. ： 分類相加 （每類方法都能獨(dú)立地完成這件事，它是相互獨(dú)立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事）， 分步相乘 （一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的）， 有序排列，無序組合 ． 如（ 1） 將 5封信投入 3個(gè)郵筒，不同的投法共 有 種（答： 53 ）； （ 2） 從 4 臺(tái)甲型和 5 臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出 3 臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有 種（答： 70）； （ 3） 從集合 ? ?1,2,3 和 ? ?1,4,5,6 中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中能確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ___（答：23）； （ 4） 72 的正約數(shù)（包括 1 和 72）共有 個(gè)（答： 12）； （ 5） A? 的一邊 AB 上有 4 個(gè)點(diǎn)，另一邊 AC 上有 5 個(gè)點(diǎn)，連同 A? 的頂點(diǎn)共10 個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成_____個(gè)三角形（答：90）； （ 6） 用六種不同顏色把右圖中 A、 B、C、 D 四塊區(qū)域分開，允許同一顏色涂不同。 ⑻ 正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對(duì)角線長；正四面體的外接球半徑 R 與內(nèi)切球半徑 r之比為 R： r＝ 3：1。則與第三個(gè)面所成的角為____________（答： 30176。 如（ 1） 甲球與某立方體的各個(gè)面都相切，乙球與這個(gè)立方體的各條棱都相切，丙球過這個(gè)立方體的所有頂點(diǎn)，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為_____（答： 1∶ 2∶ 3）； （ 2） 若正四面體的棱長為 2 ，則此正四面體的外接球的表面積為 _____（答： 3? ）； （ 3） 已知一個(gè)半徑為 21 的球中有一個(gè)各條棱長都相等的內(nèi)接正三棱柱，則這一正三棱柱的體積是 _____（ 答： 354 ）； （ 3）求曲面上兩點(diǎn)之間的最短距離，通過化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點(diǎn)間的距離。 提醒 ：球與球面的區(qū)別（球不僅包括球面，還包括其內(nèi)部）。補(bǔ)形 ：三棱錐 ?三棱柱 ?平行六面體；分割 ：三棱柱中三棱錐、四棱錐、 三棱柱的體積關(guān)系是 （答： 1： 2： 3）和等積變換法 (平行換點(diǎn)、換面 )和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換 )法等 . 如（ 1 ） 用 平 面 去 截 三 棱 錐S ABC? ，與三條側(cè)棱交于 1 1 1,A B C 三點(diǎn)，若1 12SA SA?，111 ,3SB SB SC? 1 1 13 ,14 S A B CSC V ???， 則 多 面 體1 1 1A B C ABC? 的體積為 _____ （答： 7）； （ 2） 直三棱柱 ABC—A1B1C1 的體積為V ， P、 Q分別是側(cè)棱 AA CC1上的點(diǎn)，且 AP=C1Q，則四棱錐 B—APQC的體積為 （答： 13V ）； （ 3） 如圖的多面體 ABCDEFG 中， AB、AC、 AD 兩兩垂直，平面 ABC∥ DEFG，平面 BEF∥ ADGC， AB=AD=DG=2，AC=EF=1 ，則該多面體的體積為________（答： 4）。的角 ，則棱柱的側(cè)面積為 ___，體積為 ___ （答： ( 2 1)ab? ； 214ab ）。則該正四棱錐的側(cè)面積是 _______（答：3273 ）； （ 2） 已知正四面體 ABCD 的表面積為 S，其四個(gè)面的中心分別為 E、 F、 G、 EFGH 的表面積為 T，則 TS等于 ______（答： 19）。側(cè)棱 AA1 于另外兩條棱的距離分別為 7cm、 8cm， 64 GFED 1 C1B 1A 1D CBAAA1=12cm，則斜三棱柱的側(cè)面積為______（答： 2336cm ）； （ 3） 若斜三棱柱的高為 4 3 ，側(cè)棱與底面所成的角為 60176。如圖，正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角 形 中 ： ,Rt SO B Rt SO E??，,Rt EO B Rt SBE??，其中 , , ,al?? 分別表示底面邊長、側(cè)棱長、側(cè)面與底面所成的角和側(cè)棱與底面所成的角。特別地，側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做 正四面體 。其中真命題的為 _____ （答：②④）。②按底面邊數(shù)的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形?，分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，?； （ 2） 棱柱的性質(zhì) ：①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等，直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形，正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。 多面體的相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱 。 （ 6）球面距離（球面上經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度）：求球面上兩點(diǎn) A、 B 間的距離的步驟： ①計(jì)算線段 AB 的長； ② 計(jì)算球心角∠ AOB的弧度數(shù)； ③ 用弧長公式計(jì)算劣弧 AB 62 的長。 （ 3）點(diǎn)到平面的距離： ① 垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來作垂線，其中過已知點(diǎn)確定已知面的垂面是關(guān)鍵； ②體積法：轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高； ③ 等價(jià)轉(zhuǎn)移法。 如 ： 已知正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為 a ，則異面直線 BD 與 B1C 的距離為 _____（答： 33a ）。 特別指出 ： 立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即： 線∥線 線∥面 面∥面判定 線⊥線 線⊥面 面⊥面 性質(zhì)線∥線 線⊥面 面∥面? ?? ? ??? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? 如（ 1） 已知直線 l ? 平面 ? ，直線m ? 平面 ? ，給出下列四個(gè)命題： ① ml ???? // ② ml //?? ?? ； ③ ?? ??ml // ； ④ ?? //?? ml 。②定義法：即證兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角； （ 2） 性質(zhì) ：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。則二面角 BPAC 的余 弦值是 ______ （答： 13 ）； （ 5） 二面角α l β的平面角為120176。對(duì)于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其可考慮面積 60 射影法）。 如（ 1） ??, 是兩個(gè)不重合的平面 ，在下列條件中，不能判定平面 ??// 的條件是： A、 nm, 是 ? 內(nèi)一個(gè)三角形的兩條邊，且 ?? //,// nm B、 ? 內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到 ? 的距離都相等 C、 ??, 都垂直于同一條直線 a D 、 nm, 是兩 條 異 面 直 線 ，?? ?? nm , ，且 ?? //,// nm （答： B）； （ 2） 給出以下六個(gè)命題：①垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；②平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；③平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；④與同一直線成等角的兩個(gè)平面平行；⑤一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行，則這兩個(gè)平面平行；⑥兩個(gè)平面分別與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線平行，則這兩個(gè)平面平行。 如（ 1） 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AB=1， D 在棱 BB1 上， BD=1，則AD 與平面 AA1C1C 所成的角為 ______ （答： arcsin 46 ）； （ 2） 正方體 ABCDA1B1C1D1中， E、F分別是 AB、 C1D1的中點(diǎn)，則棱 A1B1 與截面 A1ECF所成的角的余弦值是 ______ （答： 13 ）； （ 3） PCPBPA , 是從點(diǎn) P 引出的三條射線，每兩條的夾角都是 ?60 ，則 59 直線 PC 與平面 PAB 所成角的余弦值為 ______（答： 33 ）； （ 4） 若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角θ，則 sinθ的值為 ______（答： 33 ）。 （ 2） 逆定理 ：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線，那么它也和這條斜 線在平面內(nèi)的射影垂直。 （ 2） 性質(zhì) ： ① 如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直。 在遇到線面平行時(shí)，常需 作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì) 。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。 兩直線垂直的判定 ： （ 1）轉(zhuǎn)化為證線面垂直； （ 2）三垂線定理及逆定理。的直線有且僅有____條（答： 2）； （ 4） 若異面直線 ,ab所成的角為3?，且直線 ca? ，則異面直線 ,bc所成角的范圍是 ____（答： [ , ]62??）； 異面直線的距離的概念 ：和兩條異面直線 都垂直相交 的直線叫異面直線的公垂線。其中正確的結(jié)論是 _____（答：②）； （ 5） 如果兩條異面直線稱作一對(duì)，那么正方體的十二條棱中異面直線的對(duì)數(shù)為 _____（答： 24）； （ 6 ） 已知平面,//, accAabba 且平面 ???? ??????求證： b、 c 是異面直線． 異面直線所成角 ? 的求法 ：（ 1）范圍 ： (0, ]2??? ；（ 2） 求法 ：計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是 平移 （ 中點(diǎn)平移，頂點(diǎn)平移以及 補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。 如（ 1） 空間四邊形 ABCD 中， E、F、 G、 H 分別是四