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8圓錐曲線1圓錐曲線的兩個(gè)定義:(1)第一定義中要重視“括號(hào)”內(nèi)的(文件)

2025-09-11 17:05 上一頁面

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【正文】 正棱錐的各側(cè)棱相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底邊上的高(叫側(cè)高)也相等。 2側(cè)面積 (各個(gè)側(cè)面面積之和): ( 1) 棱柱 :側(cè)面積 S =直截面(與各側(cè)棱都垂直相交的截面)周長側(cè)棱長,特別地,直棱柱的側(cè)面積 S =底面周長側(cè)棱長。 ( 2) 正棱錐 :正棱錐的側(cè)面積 S =12 底面周長斜高。 2體積 : ( 1) 棱柱 :體積=底面積高,或體積 V =直截面面積側(cè)棱長,特別地,直棱柱的體積=底面積側(cè)棱長;三棱柱的體積 12V Sd? (其中 S 為三棱柱一個(gè)側(cè)面的面積, d 為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離)。 如( 1) 已知棱長為 1 的正方體容器ABCD—A1B1C1D1中,在 A1B、 A1BB1C1的中點(diǎn) E、 F、G 處各開有一個(gè)小孔,若此容器可以任意放置,則裝水較多的容積(小孔面積對(duì)容積的影響忽略不計(jì))是 _____ (答: 1211 ); ( 2) 在正三棱錐 ABCD 中, E、 F是 AB、 BC 的中點(diǎn) , EF⊥ DE,若 BC=a ,則正三棱錐 ABCD 的體積為 __(答:3242 a ); ( 3) 已知正三棱錐 ABCP? 底面邊長為 32 ,體積為 34 ,則底面三角形 ABC的中心 O 到側(cè)面 PAB的距離為___(答: 41717 ); ( 4) 在 平面幾何中有: Rt△ ABC 的直角邊分別為 a,b,斜邊上的高為 h,則 65 GFE DCB A222 111 hba ??。 ( 2)正多面體的 種類 :只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。 如( 1) 在球內(nèi)有相距 9cm 的兩個(gè)平行截面,面積分別為 49? cm 400? cm2,則球的表面積為 ______ (答: 22500cm? ); ( 2) 三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為 1的三棱錐 PABC 內(nèi)接于球 O,求球 O的表面積與體積。 如( 1) 長方體中若一條對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三個(gè)面中的二個(gè)面所成的角為30176。 (答: 2 2 2sin sin sin 2? ? ?? ? ?) ⑹若 正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為 ? ,則 cosSS ??側(cè)底 = 。 如( 1) 1! +2! +3! +? +n?。?*4,n n N??)的個(gè)位數(shù)字為 (答: 3); ( 2) 滿足2886xxAA?? 的 x = (答: 8) (2)組合數(shù)公式 ? ?( 1 ) ( 1 ) ! ()( 1 ) 2 1 ! !mm nn mmA n n n m nC m nA m m m n m? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?; 68 A C B D 規(guī)定 01! ? , 0 1nC? . 如: 已知 1 6m n mn m nC C A?? ? ?, 求 n, m的值(答: m= n= 2) (3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì) :① m n mnnCC?? ; ② 111m m mn n nC C C ?????; ③ 11kknnkC nC ??? ; ④ 1121 ???? ????? rnrnrrrrrr CCCCC ?; ⑤ ! ( 1)! !n n n n? ? ? ?; ⑥ 11( 1) ! ! ( 1) !nn n n????. : 分類相加 (每類方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是相互獨(dú)立的,一次的且每次得出的是最后的結(jié)果,只需一種方法就能完成這件事), 分步相乘 (一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事,只有各個(gè)步驟都完成了,才能完成這件事,各步是關(guān)聯(lián)的), 有序排列,無序組合 . 如( 1) 將 5封信投入 3個(gè)郵筒,不同的投法共 有 種(答: 53 ); ( 2) 從 4 臺(tái)甲型和 5 臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出 3 臺(tái),其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái),則不同的取法共有 種(答: 70); ( 3) 從集合 ? ?1,2,3 和 ? ?1,4,5,6 中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則在直角坐標(biāo)系中能確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ___(答:23); ( 4) 72 的正約數(shù)(包括 1 和 72)共有 個(gè)(答: 12); ( 5) A? 的一邊 AB 上有 4 個(gè)點(diǎn),另一邊 AC 上有 5 個(gè)點(diǎn),連同 A? 的頂點(diǎn)共10 個(gè)點(diǎn),以這些點(diǎn)為頂點(diǎn),可以構(gòu)成_____個(gè)三角形(答:90); ( 6) 用六種不同顏色把右圖中 A、 B、C、 D 四塊區(qū)域分開,允許同一顏色涂不同。 ⑻ 正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對(duì)角線長;正四面體的外接球半徑 R 與內(nèi)切球半徑 r之比為 R: r= 3:1。則與第三個(gè)面所成的角為____________(答: 30176。 如( 1) 甲球與某立方體的各個(gè)面都相切,乙球與這個(gè)立方體的各條棱都相切,丙球過這個(gè)立方體的所有頂點(diǎn),則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為_____(答: 1∶ 2∶ 3); ( 2) 若正四面體的棱長為 2 ,則此正四面體的外接球的表面積為 _____(答: 3? ); ( 3) 已知一個(gè)半徑為 21 的球中有一個(gè)各條棱長都相等的內(nèi)接正三棱柱,則這一正三棱柱的體積是 _____( 答: 354 ); ( 3)求曲面上兩點(diǎn)之間的最短距離,通過化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點(diǎn)間的距離。 提醒 :球與球面的區(qū)別(球不僅包括球面,還包括其內(nèi)部)。補(bǔ)形 :三棱錐 ?三棱柱 ?平行六面體;分割 :三棱柱中三棱錐、四棱錐、 三棱柱的體積關(guān)系是 (答: 1: 2: 3)和等積變換法 (平行換點(diǎn)、換面 )和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換 )法等 . 如( 1 ) 用 平 面 去 截 三 棱 錐S ABC? ,與三條側(cè)棱交于 1 1 1,A B C 三點(diǎn),若1 12SA SA?,111 ,3SB SB SC? 1 1 13 ,14 S A B CSC V ???, 則 多 面 體1 1 1A B C ABC? 的體積為 _____ (答: 7); ( 2) 直三棱柱 ABC—A1B1C1 的體積為V , P、 Q分別是側(cè)棱 AA CC1上的點(diǎn),且 AP=C1Q,則四棱錐 B—APQC的體積為 (答: 13V ); ( 3) 如圖的多面體 ABCDEFG 中, AB、AC、 AD 兩兩垂直,平面 ABC∥ DEFG,平面 BEF∥ ADGC, AB=AD=DG=2,AC=EF=1 ,則該多面體的體積為________(答: 4)。的角 ,則棱柱的側(cè)面積為 ___,體積為 ___ (答: ( 2 1)ab? ; 214ab )。則該正四棱錐的側(cè)面積是 _______(答:3273 ); ( 2) 已知正四面體 ABCD 的表面積為 S,其四個(gè)面的中心分別為 E、 F、 G、 EFGH 的表面積為 T,則 TS等于 ______(答: 19)。側(cè)棱 AA1 于另外兩條棱的距離分別為 7cm、 8cm, 64 GFED 1 C1B 1A 1D CBAAA1=12cm,則斜三棱柱的側(cè)面積為______(答: 2336cm ); ( 3) 若斜三棱柱的高為 4 3 ,側(cè)棱與底面所成的角為 60176。如圖,正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角 形 中 : ,Rt SO B Rt SO E??,,Rt EO B Rt SBE??,其中 , , ,al?? 分別表示底面邊長、側(cè)棱長、側(cè)面與底面所成的角和側(cè)棱與底面所成的角。特別地,側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做 正四面體 。其中真命題的為 _____ (答:②④)。②按底面邊數(shù)的多少分類:底面分別為三角形,四邊形,五邊形?,分別稱為三棱柱,四棱柱,五棱柱,?; ( 2) 棱柱的性質(zhì) :①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形,所有的側(cè)棱都相等,直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形,正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。 多面體的相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱 。 ( 6)球面距離(球面上經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度):求球面上兩點(diǎn) A、 B 間的距離的步驟: ①計(jì)算線段 AB 的長; ② 計(jì)算球心角∠ AOB的弧度數(shù); ③ 用弧長公式計(jì)算劣弧 AB 62 的長。 ( 3)點(diǎn)到平面的距離: ① 垂面法:借助于面面垂直的性質(zhì)來作垂線,其中過已知點(diǎn)確定已知面的垂面是關(guān)鍵; ②體積法:轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高; ③ 等價(jià)轉(zhuǎn)移法。 如 : 已知正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為 a ,則異面直線 BD 與 B1C 的距離為 _____(答: 33a )。 特別指出 : 立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化,即: 線∥線 線∥面 面∥面判定 線⊥線 線⊥面 面⊥面 性質(zhì)線∥線 線⊥面 面∥面? ?? ? ??? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? 如( 1) 已知直線 l ? 平面 ? ,直線m ? 平面 ? ,給出下列四個(gè)命題: ① ml ???? // ② ml //?? ?? ; ③ ?? ??ml // ; ④ ?? //?? ml 。②定義法:即證兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角; ( 2) 性質(zhì) :如果兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。則二面角 BPAC 的余 弦值是 ______ (答: 13 ); ( 5) 二面角α l β的平面角為120176。對(duì)于一類沒有給出棱的二面角,應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面,使之相交出現(xiàn)棱,然后再選用上述方法(尤其可考慮面積 60 射影法)。 如( 1) ??, 是兩個(gè)不重合的平面 ,在下列條件中,不能判定平面 ??// 的條件是: A、 nm, 是 ? 內(nèi)一個(gè)三角形的兩條邊,且 ?? //,// nm B、 ? 內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到 ? 的距離都相等 C、 ??, 都垂直于同一條直線 a D 、 nm, 是兩 條 異 面 直 線 ,?? ?? nm , ,且 ?? //,// nm (答: B); ( 2) 給出以下六個(gè)命題:①垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行;②平行于同一直線的兩個(gè)平面平行;③平行于同一平面的兩個(gè)平面平行;④與同一直線成等角的兩個(gè)平面平行;⑤一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行,則這兩個(gè)平面平行;⑥兩個(gè)平面分別與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線平行,則這兩個(gè)平面平行。 如( 1) 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,已知 AB=1, D 在棱 BB1 上, BD=1,則AD 與平面 AA1C1C 所成的角為 ______ (答: arcsin 46 ); ( 2) 正方體 ABCDA1B1C1D1中, E、F分別是 AB、 C1D1的中點(diǎn),則棱 A1B1 與截面 A1ECF所成的角的余弦值是 ______ (答: 13 ); ( 3) PCPBPA , 是從點(diǎn) P 引出的三條射線,每兩條的夾角都是 ?60 ,則 59 直線 PC 與平面 PAB 所成角的余弦值為 ______(答: 33 ); ( 4) 若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角θ,則 sinθ的值為 ______(答: 33 )。 ( 2) 逆定理 :在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個(gè)平面的一條斜線,那么它也和這條斜 線在平面內(nèi)的射影垂直。 ( 2) 性質(zhì) : ① 如果一條直線和一個(gè)平面垂直,那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直。 在遇到線面平行時(shí),常需 作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面,以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì) 。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。 兩直線垂直的判定 : ( 1)轉(zhuǎn)化為證線面垂直; ( 2)三垂線定理及逆定理。的直線有且僅有____條(答: 2); ( 4) 若異面直線 ,ab所成的角為3?,且直線 ca? ,則異面直線 ,bc所成角的范圍是 ____(答: [ , ]62??); 異面直線的距離的概念 :和兩條異面直線 都垂直相交 的直線叫異面直線的公垂線。其中正確的結(jié)論是 _____(答:②); ( 5) 如果兩條異面直線稱作一對(duì),那么正方體的十二條棱中異面直線的對(duì)數(shù)為 _____(答: 24); ( 6 ) 已知平面,//, accAabba 且平面 ???? ??????求證: b、 c 是異面直線. 異面直線所成角 ? 的求法 :( 1)范圍 : (0, ]2??? ;( 2) 求法 :計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是 平移 ( 中點(diǎn)平移,頂點(diǎn)平移以及 補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系)轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。 如( 1) 空間四邊形 ABCD 中, E、F、 G、 H 分別是四
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