【正文】 正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等。 2側(cè)面積 （各個側(cè)面面積之和）： （ 1） 棱柱 ：側(cè)面積 S ＝直截面（與各側(cè)棱都垂直相交的截面）周長側(cè)棱長，特別地，直棱柱的側(cè)面積 S ＝底面周長側(cè)棱長。 （ 2） 正棱錐 ：正棱錐的側(cè)面積 S ＝12 底面周長斜高。 2體積 ： （ 1） 棱柱 ：體積＝底面積高，或體積 V ＝直截面面積側(cè)棱長，特別地，直棱柱的體積＝底面積側(cè)棱長；三棱柱的體積 12V Sd? （其中 S 為三棱柱一個側(cè)面的面積， d 為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離）。 如（ 1） 已知棱長為 1 的正方體容器ABCD—A1B1C1D1中，在 A1B、 A1BB1C1的中點 E、 F、G 處各開有一個小孔，若此容器可以任意放置，則裝水較多的容積（小孔面積對容積的影響忽略不計）是 _____ （答： 1211 ）； （ 2） 在正三棱錐 ABCD 中， E、 F是 AB、 BC 的中點 ， EF⊥ DE，若 BC=a ，則正三棱錐 ABCD 的體積為 __（答：3242 a ）； （ 3） 已知正三棱錐 ABCP? 底面邊長為 32 ，體積為 34 ，則底面三角形 ABC的中心 O 到側(cè)面 PAB的距離為___（答： 41717 ）； （ 4） 在 平面幾何中有： Rt△ ABC 的直角邊分別為 a,b，斜邊上的高為 h，則 65 GFE DCB A222 111 hba ??。 （ 2）正多面體的 種類 ：只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。 如（ 1） 在球內(nèi)有相距 9cm 的兩個平行截面，面積分別為 49? cm 400? cm2，則球的表面積為 ______ （答： 22500cm? ）； （ 2） 三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為 1的三棱錐 PABC 內(nèi)接于球 O，求球 O的表面積與體積。 如（ 1） 長方體中若一條對角線與過同一頂點的三個面中的二個面所成的角為30176。 （答： 2 2 2sin sin sin 2? ? ?? ? ?） ⑹若 正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為 ? ，則 cosSS ??側(cè)底 ＝ 。 如（ 1） 1！ +2！ +3！ +? +n！（ *4,n n N??）的個位數(shù)字為 （答： 3）； （ 2） 滿足2886xxAA?? 的 x ＝ （答： 8） (2)組合數(shù)公式 ? ?( 1 ) ( 1 ) ! ()( 1 ) 2 1 ! !mm nn mmA n n n m nC m nA m m m n m? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?； 68 A C B D 規(guī)定 01！ ? ， 0 1nC? . 如： 已知 1 6m n mn m nC C A?? ? ?， 求 n， m的值（答： m＝ n＝ 2） (3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì) ：① m n mnnCC?? ； ② 111m m mn n nC C C ?????； ③ 11kknnkC nC ??? ； ④ 1121 ???? ????? rnrnrrrrrr CCCCC ?； ⑤ ! ( 1)! !n n n n? ? ? ?； ⑥ 11( 1) ! ! ( 1) !nn n n????. ： 分類相加 （每類方法都能獨(dú)立地完成這件事，它是相互獨(dú)立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事）， 分步相乘 （一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的）， 有序排列，無序組合 ． 如（ 1） 將 5封信投入 3個郵筒，不同的投法共 有 種（答： 53 ）； （ 2） 從 4 臺甲型和 5 臺乙型電視機(jī)中任意取出 3 臺，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有 種（答： 70）； （ 3） 從集合 ? ?1,2,3 和 ? ?1,4,5,6 中各取一個元素作為點的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中能確定不同點的個數(shù)是 ___（答：23）； （ 4） 72 的正約數(shù)（包括 1 和 72）共有 個（答： 12）； （ 5） A? 的一邊 AB 上有 4 個點，另一邊 AC 上有 5 個點，連同 A? 的頂點共10 個點，以這些點為頂點，可以構(gòu)成_____個三角形（答：90）； （ 6） 用六種不同顏色把右圖中 A、 B、C、 D 四塊區(qū)域分開，允許同一顏色涂不同。 ⑻ 正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；正四面體的外接球半徑 R 與內(nèi)切球半徑 r之比為 R： r＝ 3：1。則與第三個面所成的角為____________（答： 30176。 如（ 1） 甲球與某立方體的各個面都相切，乙球與這個立方體的各條棱都相切，丙球過這個立方體的所有頂點，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為_____（答： 1∶ 2∶ 3）； （ 2） 若正四面體的棱長為 2 ，則此正四面體的外接球的表面積為 _____（答： 3? ）； （ 3） 已知一個半徑為 21 的球中有一個各條棱長都相等的內(nèi)接正三棱柱，則這一正三棱柱的體積是 _____（ 答： 354 ）； （ 3）求曲面上兩點之間的最短距離，通過化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點間的距離。 提醒 ：球與球面的區(qū)別（球不僅包括球面，還包括其內(nèi)部）。補(bǔ)形 ：三棱錐 ?三棱柱 ?平行六面體；分割 ：三棱柱中三棱錐、四棱錐、 三棱柱的體積關(guān)系是 （答： 1： 2： 3）和等積變換法 (平行換點、換面 )和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換 )法等 . 如（ 1 ） 用 平 面 去 截 三 棱 錐S ABC? ，與三條側(cè)棱交于 1 1 1,A B C 三點，若1 12SA SA?，111 ,3SB SB SC? 1 1 13 ,14 S A B CSC V ???， 則 多 面 體1 1 1A B C ABC? 的體積為 _____ （答： 7）； （ 2） 直三棱柱 ABC—A1B1C1 的體積為V ， P、 Q分別是側(cè)棱 AA CC1上的點，且 AP=C1Q，則四棱錐 B—APQC的體積為 （答： 13V ）； （ 3） 如圖的多面體 ABCDEFG 中， AB、AC、 AD 兩兩垂直，平面 ABC∥ DEFG，平面 BEF∥ ADGC， AB=AD=DG=2，AC=EF=1 ，則該多面體的體積為________（答： 4）。的角 ，則棱柱的側(cè)面積為 ___，體積為 ___ （答： ( 2 1)ab? ； 214ab ）。則該正四棱錐的側(cè)面積是 _______（答：3273 ）； （ 2） 已知正四面體 ABCD 的表面積為 S，其四個面的中心分別為 E、 F、 G、 EFGH 的表面積為 T，則 TS等于 ______（答： 19）。側(cè)棱 AA1 于另外兩條棱的距離分別為 7cm、 8cm， 64 GFED 1 C1B 1A 1D CBAAA1=12cm，則斜三棱柱的側(cè)面積為______（答： 2336cm ）； （ 3） 若斜三棱柱的高為 4 3 ，側(cè)棱與底面所成的角為 60176。如圖，正棱錐的計算集中在四個直角三角 形 中 ： ,Rt SO B Rt SO E??，,Rt EO B Rt SBE??，其中 , , ,al?? 分別表示底面邊長、側(cè)棱長、側(cè)面與底面所成的角和側(cè)棱與底面所成的角。特別地，側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做 正四面體 。其中真命題的為 _____ （答：②④）。②按底面邊數(shù)的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形?，分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，?； （ 2） 棱柱的性質(zhì) ：①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等，直棱柱的各個側(cè)面都是矩形，正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形。 多面體的相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱 。 （ 6）球面距離（球面上經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度）：求球面上兩點 A、 B 間的距離的步驟： ①計算線段 AB 的長； ② 計算球心角∠ AOB的弧度數(shù)； ③ 用弧長公式計算劣弧 AB 62 的長。 （ 3）點到平面的距離： ① 垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來作垂線，其中過已知點確定已知面的垂面是關(guān)鍵； ②體積法：轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高； ③ 等價轉(zhuǎn)移法。 如 ： 已知正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為 a ，則異面直線 BD 與 B1C 的距離為 _____（答： 33a ）。 特別指出 ： 立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即： 線∥線 線∥面 面∥面判定 線⊥線 線⊥面 面⊥面 性質(zhì)線∥線 線⊥面 面∥面? ?? ? ??? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? 如（ 1） 已知直線 l ? 平面 ? ，直線m ? 平面 ? ，給出下列四個命題： ① ml ???? // ② ml //?? ?? ； ③ ?? ??ml // ； ④ ?? //?? ml 。②定義法：即證兩個相交平面所成的二面角為直二面角； （ 2） 性質(zhì) ：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。則二面角 BPAC 的余 弦值是 ______ （答： 13 ）； （ 5） 二面角α l β的平面角為120176。對于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其可考慮面積 60 射影法）。 如（ 1） ??, 是兩個不重合的平面 ，在下列條件中，不能判定平面 ??// 的條件是： A、 nm, 是 ? 內(nèi)一個三角形的兩條邊，且 ?? //,// nm B、 ? 內(nèi)有不共線的三點到 ? 的距離都相等 C、 ??, 都垂直于同一條直線 a D 、 nm, 是兩 條 異 面 直 線 ，?? ?? nm , ，且 ?? //,// nm （答： B）； （ 2） 給出以下六個命題：①垂直于同一直線的兩個平面平行；②平行于同一直線的兩個平面平行；③平行于同一平面的兩個平面平行；④與同一直線成等角的兩個平面平行；⑤一個平面內(nèi)的兩條相交直線于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行，則這兩個平面平行；⑥兩個平面分別與第三個平面相交所得的兩條交線平行，則這兩個平面平行。 如（ 1） 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AB=1， D 在棱 BB1 上， BD=1，則AD 與平面 AA1C1C 所成的角為 ______ （答： arcsin 46 ）； （ 2） 正方體 ABCDA1B1C1D1中， E、F分別是 AB、 C1D1的中點，則棱 A1B1 與截面 A1ECF所成的角的余弦值是 ______ （答： 13 ）； （ 3） PCPBPA , 是從點 P 引出的三條射線，每兩條的夾角都是 ?60 ，則 59 直線 PC 與平面 PAB 所成角的余弦值為 ______（答： 33 ）； （ 4） 若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角θ，則 sinθ的值為 ______（答： 33 ）。 （ 2） 逆定理 ：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線，那么它也和這條斜 線在平面內(nèi)的射影垂直。 （ 2） 性質(zhì) ： ① 如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內(nèi)所有直線都垂直。 在遇到線面平行時，常需 作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì) 。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。 兩直線垂直的判定 ： （ 1）轉(zhuǎn)化為證線面垂直； （ 2）三垂線定理及逆定理。的直線有且僅有____條（答： 2）； （ 4） 若異面直線 ,ab所成的角為3?，且直線 ca? ，則異面直線 ,bc所成角的范圍是 ____（答： [ , ]62??）； 異面直線的距離的概念 ：和兩條異面直線 都垂直相交 的直線叫異面直線的公垂線。其中正確的結(jié)論是 _____（答：②）； （ 5） 如果兩條異面直線稱作一對，那么正方體的十二條棱中異面直線的對數(shù)為 _____（答： 24）； （ 6 ） 已知平面,//, accAabba 且平面 ???? ??????求證： b、 c 是異面直線． 異面直線所成角 ? 的求法 ：（ 1）范圍 ： (0, ]2??? ；（ 2） 求法 ：計算異面直線所成角的關(guān)鍵是 平移 （ 中點平移，頂點平移以及 補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。 如（ 1） 空間四邊形 ABCD 中， E、F、 G、 H 分別是四