【文章內(nèi)容簡介】 解：（ 1）由 OA=4 3 ， ∠ ABO=30176。，得到 OB=12， ∴ B（ 12， 0）。 設(shè)直線 AB 解析式為 y kx b??， 把 A和 B 坐標(biāo)代入得： b 4 312k b 0? ??? ????，解得： 3k 3b 4 3? ???????。 ∴ 直線 AB 的解析式為： 3y x 4 33?? ? 。 （ 2） ∵∠ AOB=90176。， ∠ ABO=30176。， ∴ AB=2OA=8 3 。 ∵ AP= 3t ， ∴ BP=AB－ AP=。 ∵△ PMN 是等邊三角形， ∴∠ MPB=90176。 ∵ PMtan PBM PB??， ∴ PM=? ? 38 3 3t =8 t3? ? ?，即等邊 △ PMN 的邊長為 8t? 。 當(dāng)點 M 與點 O重合時， ∵∠ BAO=60176。， ∴ AO=2AP。 ∴ 4 3=2 3t 。 ∴ t=2。 ∴ 當(dāng)點 M 與點 O 重合時， t=2。 （ 3） ① 當(dāng) 0≤t≤1時，見圖 1， 設(shè) PN交 EC 于點 H，重疊部分為直角梯形 EONG，作 GH⊥ OB 于 H。 ∵ 點 D 是 OB 的中點，即 BD=6， ∴ GH=CD=2 3 。 ∵∠ GNH=60176。， ∴ HN=2。 ∵ 等邊 △ PMN 的邊長為 8t? ， ∴ BM=16－ 2t。 ∵ OB=12， ∴ ? ? ? ?O N 8 t 1 6 2 t 1 2 4 t? ? ? ? ? ? ?。 ∴ O H O N H N 4 t 2 2 t E G? ? ? ? ? ? ? ?。 ∴ 1S 2 t 4 t 2 3 2 3 t 6 32? ? ? ? ? ? ?（ ）。 ∵ S 隨 t 的增大而增大， ∴ 當(dāng) t=1 時， Smax=8 3 。 ② 當(dāng) 1＜ t＜ 2 時，見圖 2， 設(shè) PM 交 EC 于點 I，交 EO 于點 F， PN 交 EC 于點G，重疊部分為五邊形 OFIGN，作 GH⊥ OB 于 H。 ∵ FO 4 3 2 3t??， ∴ E F 2 3 ( 4 3 2 3 t ) 2 3 t 2 3? ? ? ? ?。 ∴ EI 2t 2??。 ∴ ? ? 2F E IONGE 1S S S 2 3 t 6 3 2 t 2 2 3 t 2 3 2 3 t 6 3 t 4 32?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?梯 形 （ ）。 ∵ 23? ＜ 0， ∴ 當(dāng) 3t 2? 時， S 有最大值，max 17 3S 2?。 ③ 當(dāng) t=2 時，見圖 3， MP=MN=6，即 N 與 D 重合， 設(shè) PM交 EC 于點 I， PD 交 EC 于點 G，重疊部 分為等腰梯形 IMNG， 2233S 6 2 8 344? ? ? ? ?。 綜上所述： ? ?? ?? ?22 3 t 6 3 0 t 1S 2 3 t 6 3 t 4 3 1 t 28 3 t= 2? ? ? ???? ? ? ?????。 ∵ 1732 ＞ 83， ∴ S 的最大值是 1732 。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，動點和動面問題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系， 等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，函數(shù)的最值，分類思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）先在直角三角形 AOB 中，根據(jù) ∠ ABO 的度數(shù)和 OA 的長，求出 OB 的長，即可得出 B 點的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線 AB 的解析式。 （ 2）求等邊三角形的邊長就是求出 PM 的長，可在直角三角形 PMB 中，用 t 表示出 BP 的長，然后根據(jù) ∠ ABO 的度數(shù)，求出 PM 的長。 當(dāng) M、 O 重合時，可在直角三角形 AOP 中，根據(jù) OA的長求出 AP 的長，然后根據(jù) P 點的速度即可求出 t 的值。 （ 3）本題要分情況進行討論： ① 當(dāng) N 在 D 點左側(cè)且 E 在 PM 右側(cè)或在 PM 上時，即當(dāng) 0≤t≤1時，重合部分是直角梯形 EGNO。 ② 當(dāng) N 在 D 點左側(cè)且 E 在 PM 左側(cè)時，即當(dāng) 1＜ t＜ 2 時，此時重復(fù)部分為五邊形，其面積可用FEIONGESS??梯 形來求得。 ③ 當(dāng) N、 D 重合時 ，即 t=2 時，此時 M、 O 也重合，此時重合部分為等腰梯形。 根據(jù)上述三種情況，可以得出三種不同的關(guān)于重合部分面積與 t 的函數(shù)關(guān)系式，從而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和各自的自變量的取值范圍求出對應(yīng)的 S 的最大值。 6.（ 2020年 浙江 麗水 14分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形 ABCO的邊 OC落在 x軸的正半軸上，且AB∥ OC， BC⊥ OC， AB=4， BC=6， OC=8．正方形 ODEF 的兩邊分別落在坐標(biāo)軸上，且它的面積等于直角梯形 ABCO 面積． 將 正方形 ODEF 沿 x軸的正半軸平行移動，設(shè) 它 與 直角梯形 ABCO 的重疊部分面積為 S． （ 1）分析與計算： 求正方形 ODEF 的邊長； （ 2）操作與求解： ① 正方形 ODEF 平行移動過程中，通過操作、觀察，試判斷 S（ S＞ 0）的變化情況是 ▲ ； A．逐漸增大 B．逐漸減少 C．先增大后減少 D．先減少后增大 ② 當(dāng)正方形 ODEF 頂點 O 移動到點 C 時， 求 S 的值； （ 3）探究與歸納： 設(shè) 正方形 ODEF 的頂點 O 向右移動的距離為 x，求重疊部分面積 S 與 x的函數(shù)關(guān)系式 ． 【答案】 解：（ 1） ∵ 正方形 ODEF 的面積等于直角梯形 ABCO 面積，且 AB=4， BC=6， OC=8， ∴ ? ?O D E F A B C O 1S S 4 8 6 3 62? ? ? ? ?。 設(shè)正方形的邊長為 x， ∴ x2=36， x=6 或 x=－ 6（舍去）。 ∴ 正方形 ODEF 的邊長為 6。 （ 2） ① C。 ② 過點 A作 AG∥ BC 交 x軸于 G， 則 AE=DG=EB－ AB=6－ 4=2。 當(dāng)正方形 ODEF頂點 O移動 到點 C時， OD=OC－ CD=8－ 6=2。 ∴ 重疊部分的面積是： ? ?A M D G A G C B 1S S S 3 6 2 6 4 3 32? ? ? ? ? ? ? ?梯 形 矩 形。 （ 3） ① 當(dāng) 0≤x＜ 4 時，重疊部分為三角形，如圖 ① ， 可得 △ OMO′∽△ OAN， ∴ M O x 3M O x6 4 2? ? ??， 。 ∴ 21 3 3S x x x2 2 4? ? ? ? 。 ② 當(dāng) 4≤x＜ 6 時，重疊部分為直角梯形，如圖 ② ， ? ?1S x 4 x 6 6 x 1 22? ? ? ? ? ?。 ③ 當(dāng) 6≤x＜ 8 時，重疊部分為五邊形，如圖 ③ ，可得，點 A坐標(biāo)為（ 4， 6）， ∴ OA的解析 式為： 3yx2? 。 ∴ ? ?3M D x 6 A F x 42? ? ? ?， 。 ∴ ? ? ? ? ? ? 21 1 3 3S x 4 x 6 x 6 x 6 x 1 5 x 3 92 2 2 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 ④ 當(dāng) 8≤x＜ 10 時，重疊部分為五邊形，如圖 ④ ， ? ?22A F O 39。 D M B F O C 33S S S x 1 5 x 3 9 x 8 6 x 9 x 944? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。 ⑤ 當(dāng) 10≤x≤14時，重疊部分為矩形，如圖 ⑤ ， ? ?S 6 x 8 6 6 x 8 4? ? ? ? ? ? ? ? ???。 【考點】 平移問題， 梯形、正方形和三角形的面積公式，分類思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）根據(jù)梯形及正方形的面積公式和它們 的面積相等，可求出正方形的邊長。 （ 2） ① 由圖形的移動可知，從 OF 出發(fā)，重疊部分面積逐漸增大，當(dāng) OF 和 BC 重合時面積最大，繼續(xù)移動時，面積將減小。故選 C。 ② 求重疊部分面積時，可將其轉(zhuǎn)化為 S 梯形 AMDG+S 矩形 AGCB。 （ 3）依據(jù)題意將圖形平移，由于移動的距離不同，重疊部分為三角形、五邊形和矩形： ① 利用三角形的面積公式列等式； ② 根據(jù)梯形面積公式列等式； ③④ 利用分割法將五邊形化為三角形和梯形解答； ⑤ 根據(jù)矩形面積公式解答。 7.（ 2020 年 浙江湖州 10 分） 如圖甲，在等腰直角三角形 OAB 中， ∠ OAB=90176。， B 點在第一象限， A 點坐標(biāo)為（ 1， 0）． △ OCD 與 △ OAB 關(guān)于 y 軸對稱． （ 1）求經(jīng)過 D， O， B 三點的拋物線的解析式； （ 2）若將 △ OAB 向上平移 k（ k＞ 0）個單位至 △ O′A′B（如圖乙），則經(jīng)過 D， O， B′三點的拋物線的對稱軸在 y 軸的 ．（填 “左側(cè) ”或 “右側(cè) ”） （ 3）在（ 2）的條件下，設(shè)過 D， O， B′三點的拋物線的對稱軸為直線 x=m．求當(dāng) k 為何值時， |m|=13 ． 【答案】 解：（ 1） ∵∠ OAB=90176。， ∴ OA=AB。 ∴ B 點坐標(biāo)為（ 1， 1）。 ∵ 由題意可知：經(jīng)過 D， O， B 三點的拋物線的頂點是原點， ∴ 可設(shè)所求拋物線的解析式為 2y ax? 。 ∵ B（ 1， 1）在拋物線上， ∴ 21 a1?? ， a=1。 ∴ 經(jīng)過 D， O， B 三點的拋物線解析式是 2yx? 。 （ 2）左側(cè)。 （ 3）由題意得：點 B′的坐標(biāo)為（ 1， 1+k）， ∵ 拋物線過原點， ∴ 可設(shè)拋物線解析式為 211y a x b x??。 ∵ 拋物線經(jīng)過點 D（－ 1， 1）和點 B′（ 1， 1+k）， ∴ 1111a b 1a b 1 k???? ? ? ?? ，解得 11k2a2kb2?? ????? ???。 ∴ 拋物線解析式為 2k 2 ky x x22???。 ∵ 拋物線對稱軸必在 y 軸的左側(cè)， ∴ m＜ 0。 ∵ 1m 3? ， ∴ 1m 3?? 。 ∴ k 12k2 322? ????，解得 k=4。 ∴ 當(dāng) k=4 時， 1m 3? 。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平移的性質(zhì)。 【分析】 （ 1）依題意設(shè)所求拋物線的解析式為 2y ax? ，把點 B 代入解析式求出拋物線的表達式。 （ 2）結(jié)合圖形有 △ OAB≌△ OCD，當(dāng)將 △ OAB 上移，經(jīng)過 D， O， B′三點 的拋物線的對稱軸顯然在y 軸左側(cè)。 （ 3）設(shè)出拋物線解析式，將 D 和和 B′點坐標(biāo)代入，得出拋物線系數(shù)與 k 的關(guān)系，再由 m 的取值，求得 k。 8.（ 2020年 浙江金華 12分） 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 ΔAOB是等邊三角形，點 A的坐標(biāo)是 (0，4)，點 B在第一象限，點 P是 x軸上的一個動點，連結(jié) AP，并把 ΔAOP繞著點 A按逆時針方向旋轉(zhuǎn) .使邊 AO與 AB重合 .得到 ΔABD。 （ 1）求直線 AB的解析式； （ 2）當(dāng)點 P運動到點（ 3 ， 0）時，求此時 DP的長及點 D的坐標(biāo)； （ 3）是否 存在點 P，使 ΔOPD的面積等于 43 ，若存在，請求出符合條件的點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 【答案】 解：（ 1）如圖 1，過點 B 作 BE⊥ y 軸于點 E，作 BF⊥ x軸于點 F， 由已知得： OB=4,BF=OE=2， 22O F 4 2 2 3? ? ?。 ∴ 點 B 的 坐標(biāo)是（ 23 ， 2）。 設(shè)直線 AB 的解析式是 y=kx+b（ k≠0），則有 4b2 2 3k b????? ????，解得 3k 3b4? ???????。 ∴ 直線 AB 的解析式是 3y x 43?? ? 。 （ 2）如圖 2， ∵△ ABD 由 △ AOP 旋轉(zhuǎn)得到， ∴△ ABD≌△ AOP。 ∴ AP=AD， ∠ DAB=∠ PAO。 ∴∠ DAP=∠ BAO=60176。 ∴△ ADP 是等邊三角形。 ∴ 22D P A P 4 ( 3 ) 19? ? ? ?。 如圖 2，過點 D 作 DH⊥ x軸于點 H，延長 EB 交 DH 于點 G，則 BG⊥ DH。 在 Rt△ BDG 中， ∠ BGD=90176。， ∠ DBG=60176。， ∴ 13B G B D c os6 0 3 22? ? ? ? ? ?， 33D G B D sin60 3 22? ? ? ? ? ?。 ∴ OH=EG= 532 ， DH=72 。 ∴ 點 D 的坐標(biāo)為（ 532 ， 72 ）。 （ 3）存在。 假設(shè)存在點 P，在它的運動過程中，使 △ OPD 的面積等于 34 。 設(shè)點 P 為（ t， 0）， 當(dāng) D 在 x軸上時，如圖 3，過點 B 作 BF⊥ x軸， 易得0B F 2 4 3O P B Ds in 6 0 332? ? ? ?。 ∴ P（ 43,03? ） ∴ 分三種情況討論： ① 當(dāng) t＞ 0 時，如圖 2， BD=OP=t， DG= 3t2 ， ∴ DH= 32t2? 。 ∵△ OPD 的面積