【正文】 M B F O C 33S S S x 1 5 x 3 9 x 8 6 x 9 x 944? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。 （ 2） ① 由圖形的移動可知，從 OF 出發(fā)，重疊部分面積逐漸增大，當(dāng) OF 和 BC 重合時面積最大，繼續(xù)移動時，面積將減小。 7.（ 2020 年 浙江湖州 10 分） 如圖甲，在等腰直角三角形 OAB 中， ∠ OAB=90176。 ∵ 由題意可知：經(jīng)過 D， O， B 三點的拋物線的頂點是原點， ∴ 可設(shè)所求拋物線的解析式為 2y ax? 。 （ 3）由題意得：點 B′的坐標(biāo)為（ 1， 1+k）， ∵ 拋物線過原點， ∴ 可設(shè)拋物線解析式為 211y a x b x??。 ∵ 1m 3? ， ∴ 1m 3?? 。 【分析】 （ 1）依題意設(shè)所求拋物線的解析式為 2y ax? ，把點 B 代入解析式求出拋物線的表達式。 （ 1）求直線 AB的解析式； （ 2）當(dāng)點 P運動到點（ 3 ， 0）時，求此時 DP的長及點 D的坐標(biāo)； （ 3）是否 存在點 P，使 ΔOPD的面積等于 43 ，若存在，請求出符合條件的點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 ∴ 直線 AB 的解析式是 3y x 43?? ? 。 ∴△ ADP 是等邊三角形。 ∠ DBG=60176。 （ 3）存在。 ∵△ OPD 的面積等于 34 ， ∴ 1 3 3t(2 t)2 2 4??。 ∵△ OPD 的面積等于 34 ， ∴ 1 3 3t(2 t)2 2 4? ? ?。 解得1 21 2 3t 3??（舍去）， 2 21 2 3t 3???。 【分析】 （ 1）過點 B作 BE⊥ y 軸于點 E，作 BF⊥ x軸于點 F．依題意得 BF=OE=2，利用勾股定理求出 OF，然后可得點 B 的坐標(biāo)．設(shè)直線 AB 的解析式是 y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求解。在 Rt△ BDG 中， ∠ BGD=90176。．然后求出 OH， DH，然后求出點 D 的坐標(biāo)?！?的面積． （ 3）在四邊形 OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) 0 180?? ? 176。 ∵ A′B′=AB=6， OC=6， OA′=OA=8， ∴ CP 668? ， CP=92 。 ∴ BQ=BC+CQ=11。 設(shè) B′P=x， 在 Rt△ OCP 中， ? ?2 228 x 6 x? ? ? ，解得 x= 254 。 【分析】 （ 1）根據(jù)點的坐標(biāo)可判定四邊形 OABC 的形狀是矩形； 當(dāng) 90?? 176。 （ 3）構(gòu)造全等三角形和直角三角形，運用勾股定理求得 PC 的長，進一步求得坐標(biāo)： 過點 Q 作 QH⊥ OA′于 H，連接 OQ，則 QH=OC′=OC， ∵P O Q P O Q11S P Q O C S O P Q H22??? ? ? ?， ∴ PQ=OP。 ∴ 3P C B C B P 9 62? ? ? ?。 ∴2 7P64???????。 ∴ 拋物線的解析式為 25 17y x x 166? ? ? ?。 ② 當(dāng)點 0 運動到 x軸上時， t=2， 當(dāng) 1＜ t≤2時，如圖 2， A′B′=AB= 222 1 5?? ， ∴ A F 5t 5? ? ? 。 ∵A O F 1S 1 2 1, O A 12? ? ? ? ? ?， △ AOF∽△ GD′H， ∴ 2GD HAOFS GDS AO???????????， ∴ 2G D H 3 5 5 tS ( )2?? ?? 。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，面動線動問題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，由實際問題列函數(shù)關(guān)系式，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類和轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用。 （ 4） CE 掃過的圖形是個類平行四邊形，經(jīng)過關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)這個類平行四邊形的面積實際上就是矩形BCD′A′的面積．可通過求矩形的面積來求出 CE 掃過的面積。 或 60176。時， AM+CK ▲ MK，證明你所得到的結(jié)論． （ 3） 如果 2 2 2M K CK AM??，請直接寫出 ∠ CDF 的度數(shù)和 MKAM 的值． 【答案】 解：（ 1） ① =。 ∵ D 是 AB 的中點， ∴ AD=CD=GD。 ∴∠ GDM+∠ GDK=60176?！?GM=AM。 【考點】 旋轉(zhuǎn) 問題， 等腰三角形 的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，軸對稱的應(yīng)用（最短線段問題），勾股定理和逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義， 特殊角的三角函數(shù)值 。 － 30176。時， ∴∠ CKD=90176。 ∠ CDB=60176。 ∴ AM=MD， CK=KD。 （ 3）由（ 2），得 GM=AM， GK=CK， ∵ 2 2 2M K CK AM??，∴ 2 2 2M K GK GM??。 又 由 （ 1），得 ∠ A=∠ ACD=30176。 ∴∠ GMK=30176。 答： b 的值是 1。 ∴ OD OC 1CD BC 3??。 答： a 的值是 103? 。 （ 2）設(shè)所求拋物線為 2y ax bx 1? ? ? ，由對稱性可知拋物線經(jīng)過點 B（ 2， 1）和點 M（ 12 ， 2），把 B、M 的坐標(biāo)代入得到方程組，求出 a 、 b 的值即可得到拋物線解析式； （ 3） ① 當(dāng) n=3 時， OC=1， BC=3，設(shè)所求拋物線解析式為 2y ax bx??，過 C 作 CD⊥ OB 于點 D，則 Rt△ OCD∽ Rt△ CBD，得出 OD OC 1CD BC 3??，設(shè) OD=t，則 CD=3t，根據(jù)勾股定理 OD2+CD2=OC2，求出 t，得出 C 的坐標(biāo)，把 B、 C 坐標(biāo)代入拋物線解析式即可得到方程組，求出 a 即可。 又 ∵ OB⊥ AT ， ∴∠ AEC=∠ CBO=90176。 （ 2） ∵ AE=3 3 ， ∠ A=30176。 ∵ OB⊥ MN， ∴ B 為 MN 的中點。 ∵ cos∠ BOC=cos30176。 整理得： R2+18R﹣ 115=0，即（ R+23）（ R﹣ 5） =0，解得： R=﹣ 23（舍去）或 R=5。 ∴ FD=5 3 。 （ 2）在 Rt△ AEC 中，由 AE 及 tanA的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出 CE 的長，再由 OB⊥ MN，根據(jù)垂徑定理得到 B 為 MN 的中點，根據(jù) MN的長求出 MB的長，在 Rt△ OBM 中，由半徑 OM=R，及 MB 的長，利用勾股定理表示出 OB 的長 ，在 Rt△ OBC 中，由表示出 OB 及 cos30176。 根據(jù) ED 為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到 △ FDE為直角三角形，由 ∠ FDE為 30176。 ∴ 這條拋物線的函數(shù)解析式為 y=－ x2＋ 3。 ∴∠ C=60176。 ∴∠ ADC=180176。 （ I）若 ∠ ADF=90176。 在 Rt△ DEF 中， DE= 3 ，得 EF=1， DF=2。 此時 A D 2 3 D F 22 = 2D E E F 13? ? ? ， ∴ AD DF=DE EF 。 設(shè) EF=m，則 FB=3－ m。 ∴∠ DAF≠90176。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系 ，菱形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行的性質(zhì)，相似三角形的判定，解。 綜上所述，存在 t=1，使 △ ADF 與 △ DEF 相似。 ∴ 此時 t 不存在。 （ II）若 ∠ DFA=90176。 ∴ t2=1。－ 90176。=120176。 ∴ EC=12 BC= 3 ， DE= 3 。如圖 2 所示，在 Rt△ BCE 中， ∠ BEC=90176。 14.（ 2020年浙江湖 州 12分） 如圖 1，已知菱形 ABCD的邊長為 23，點 A在 x軸負半軸上，點 B 在坐標(biāo)原點．點 D 的坐標(biāo)為（ 3 ， 3），拋物線 y=ax2+b（ a≠0）經(jīng)過 AB、 CD 兩邊的中點． （ 1）求這條拋物線的函數(shù)解析式； （ 2）將菱形 ABCD以每秒 1個單位長度的速度沿 x軸正方向勻速平移（如圖 2），過點 B 作 BE⊥ CD于點 E，交拋物線于點 F，連接 DF、 AF．設(shè)菱形 ABCD 平移的時間為 t 秒（ 0＜ t＜ 3 ） ① 是否存在這樣的 t，使 △ ADF 與 △ DEF 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，請說明理由； ② 連接 FC，以點 F為旋轉(zhuǎn)中心，將 △ FEC 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 180176。 （ 3）把 △ OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點 E， F重合．在 EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有 6 個。 【考點】 切線的性質(zhì)，含 30 度角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，垂徑定理，平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 相似三角形的判定和性質(zhì)。 （ 3）在 EF 同一側(cè)， △ COB 經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，這樣的三角形有 6 個， 如圖，每小圖 2 個，頂點在圓上的三角形，如圖所示： 延長 EO 交圓 O 于點 D，連接 DF，如圖所示， △ FDE 即為所求。 ∴ 22 3 2 3O C O B R 2 233? ? ?。 連接 OM，在 △ MOB 中， OM=R， MB= 22 ， ∴ 2 2 2O B O M M B R 2 2? ? ? ?。=ECAE ，即 EC=AEtan30176。 又 ∵∠ A=30176。 13.（ 2020年 浙江杭州 12分） 如圖， AE 切 ⊙ O 于點 E， AT 交 ⊙ O于點 M， N，線段 OE 交 AT 于點 C， OB⊥ AT于點 B，已知 ∠ EAT=30176。 【考點】 二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，；勾股定理；正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類歸納。 ∴ C（ 10 3 , 1010 10 ，）。 ∴ 所求拋物線解析式為 248y x x 133? ? ? ?。∴ MK 3AM 2? 。 ∴∠ CDF=∠ FKC－ ∠ ACD=15176。 又 ∵ 點 C 關(guān)于 FD 的對稱點 G， ∴∠ CKG=90176。 ∴ 在 △ MKD 中， AM+CK＞ MK（兩邊之和大于第三邊） 。 ∠ CDF=30， ∠ EDF=60176。 ∵ CK=0，或 AM=0， ∴ AM+CK=MK。 又 ∵∠ CDE=60176。 又 ∵∠ A=30176。 （ 3） 15176?！唷?ADM=∠ GDM。 ∴∠ CDA=120176。 （ 2） ＞ 。 時， AM+CK ▲ MK(只填 “”或 “”)． （ 2）猜想：如圖 1，當(dāng) 0176。 ∠ A=∠ E=30176。 （ 2）可根據(jù) A、 C、 D 三點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。 綜上所述， S 關(guān)于滑行時間 t 的函數(shù)關(guān)系 式為? ?? ?? ?225 t 0 t 1455S t 1 t 2245 15 25t t 2 t 34 2 4? ????? ? ???? ? ? ? ???。 又 ∵ 5tBH 2?? ， ∴ ? ?A B H G 1 1 5 t 5 5 t 5 5S A G B H A B ( ) 5 t2 2 2 2 2 4?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?梯 形。 ∴ 15GB t2?? 。 10.（ 2020年 浙江 臺州 14 分） 如圖，已知直線 1y x 12?? ? 交坐標(biāo)軸于 A， B兩點，以線段 AB 為邊向上作正方形 ABCD，過點 A， D， C 的拋物 線與直線另一個交點為 E． （ 1）請直接寫出點 C， D 的坐標(biāo)； （ 2）求拋物線的解析式； （ 3）若正方形以每秒 5 個單位長度的速度沿射線 AB 下滑，直至頂點 D落在 x軸上時停止．設(shè)正方形落在x軸下方部分的面積為 S，求 S 關(guān)于滑行時間 t 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量 t 的取值范圍； （ 4）在（ 3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時 D 停止，求拋物線上 C， E 兩點間的拋物線弧所掃過的面積． 【答案】 解：（ 1） C（ 3， 2） D（ 1， 3）。 如圖，當(dāng)點 P 在點 B 右側(cè)時， OP=PQ=BQBP=x， PC=8－ x， 在 Rt△ PCO 中， ? ?2 228 x 6 x? ? ? ， 解得 25x 4? 。 如圖，當(dāng)點 P 在點 B 左側(cè) 時， OP=PQ=BQ+BP=3x， 在 Rt△ PCO 中， ? ? ? ?2228 x 6 3x? ? ? 。 （ 2） ① 利用相似三角形求得 CP 的比，就可求得 BP， BQ 的值。 （ 3）存在這樣的點 P 和點 Q，使 BP=12 BQ，點 P 的坐標(biāo)是1 3P 9 6 62????????，2 7P64???????。 ② 如圖 3， 在 △ OCP 和 △ B′A′P中， ∵ O P C B P AO CP A 90O C B A