【正文】 122 1 2 3 2 1 2 3tt33? ? ???，（舍去）。 ②∴ 當(dāng) 433? ＜ t≤0時(shí)，如圖 1， BD=OP=－ t， BG= 3t2? ， ∴ 33D H G F B F B G 2 t 2 t22? ? ? ? ? ? ? ?（ ）。 解得123t t 33? ? ? ?。 ∵△ OPD 的面積等于 34 ， ∴ 1 3 3t(2 t)2 2 4??。 ∴ 點(diǎn) P4的坐標(biāo)為（ 21 2 33??， 0）。 【考點(diǎn)】 動(dòng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)，等邊三角形的性質(zhì)， 勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義， 特殊角的三角函數(shù)值，解一元二次方程，分類(lèi)思想的應(yīng)用。 （ 2）由 △ ABD 由 △ AOP 旋轉(zhuǎn)得到，證明 △ ABD≌△ AOP ，從而 AP=AD， ∠ DAB=∠ PAO，∠ DAP=∠ BAO=60176。利用勾股定理求出 DP。 ∠ DBG=60176。 DG=BD?sin60176。 （ 3）分 t＞ 0， 433? ＜ t≤0， t≤ 433? 三種情況進(jìn)行討論。 時(shí)， BPBQ的值是 ； （ 2） ① 如圖 2，當(dāng)四邊形 OA′B′C′的頂點(diǎn) B′落在 y 軸正半軸時(shí)，求 BPBQ的值； ② 如圖 3，當(dāng)四邊形 OA′B′C′的頂點(diǎn) B′落在直線 BC 上時(shí)，求 OPB39。 時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn) P 和點(diǎn) Q，使 BP Q12 B? ？ 若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】 解：（ 1）矩形； 47 ， （ 2） ① 如圖 2， ∵∠ POC=∠ B′OA′， ∠ PCO=∠ OA′B′=90176。 ∴ CP OCAB OA?? ? ? 。 ∵ BC=OA=8， ∴ BP=BC－ CP=72 。 ∵ C′O=CO=6， B′C′=BC=8， 22O B 6 8 10?? ? ?， B′C=10－ 6=4， ∴ CQ 468? ， CQ=3。 ∴ 7BP 72BQ 11 22??。 ∴ OP=B′P。 ∴O P B 1 2 5 7 5S62 4 4??? ? ? ?。 【考點(diǎn)】 面動(dòng)問(wèn)題，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，分類(lèi)思想的應(yīng)用。 時(shí)， B P B P 8 4=B Q B P +P Q 8 6 7??? 。 ② 根據(jù)勾股定理求得 PB′的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算。 設(shè) BP=x， ∵ BP=12 BQ， ∴ BQ=2x。 解得1233x 1 6 x 1 622? ? ? ?，（不符實(shí)際，舍去）。 ∴1 3P 9 6 62????????。 ∴ 2 5 7P C B C B P 8 44? ? ? ? ?。 綜上可知，存在點(diǎn)1 3P 9 6 62????????， ，2 7P64???????，使 BP=12 BQ。 （ 7）設(shè)拋物線為 2y ax bx c? ? ? ， ∵ 拋物線過(guò)（ 0， 1）（ 3， 2）（ 1， 3）， ∴ c1a b c 39a 3b c 2???? ? ???? ? ??，解得：5a617b6c1? ????? ??????? 。 （ 3） ① 當(dāng)點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)到 x軸上時(shí)， t=1， 當(dāng) 0＜ t≤1時(shí)， 如圖 1， ∵∠ OFA=∠ GFB′， O A 1tan O FA O F 2? ? ?， ∴ G B G B 1ta n G F BF B 25t??? ? ? ? ??。 ∴ 2F B G 1 1 5 t 5S F B G B 5 t t2 2 2 4?? ? ?? ? ? ? ? ?。 ∴ 5t 5AG 2??? 。 ③ 當(dāng)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)到 x軸上時(shí)， t=3， 當(dāng) 2＜ t≤3時(shí)，如圖 3， ∵ 5t 5AD 2??? ， ∴ 5 t 5 3 5 5 tG D 5 22??? ? ? ?。 ∴ 2 2 2G A B C H 3 5 5 t 5 15 25S 5 ) t t2 4 2 4??? ?? ? ? ? ? ?五 邊 形 （ ） （。 （ 8） ∵ t=3， BB AA 3 5?? ?? , ∴ B B C C A A D DS S S A D A A 5 3 5 1 5? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?陰 影 矩 形 矩 形。 【分析】 （ 1）根據(jù) AB 所在直線的解析式求出 A， B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出 OA、 OB 的長(zhǎng)．過(guò) D 作 DM⊥ y軸于 M，則 △ ADM≌△ BAO，由此可得出 MD、 MA的 長(zhǎng)，也就能求出 D 的坐標(biāo)，同理可求出 C 的坐標(biāo)。 （ 3）要分 0＜ t≤1， 1＜ t≤2， 2＜ t≤3三種情況討論即可。 11.（ 2020年 浙江 臺(tái)州 12分） 如圖 1， Rt△ ABC≌ Rt△ EDF， ∠ ACB=∠ F=90176。． △ EDF 繞 著邊 AB 的中點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)， DE， DF 分別交 線段 ． ． AC 于點(diǎn) M， K． （ 1）觀察： ① 如圖 圖 3，當(dāng) ∠ CDF=0176。時(shí)， AM+CK ▲ MK(填 “”， “”或 “=”)． ② 如圖 4，當(dāng) ∠ CDF=30176。＜ ∠ CDF＜ 60176。 ② ＞ 。 證明 如下 ： 作點(diǎn) C 關(guān)于 FD 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) G，連接 GK， GM， GD， 則 CD=GD， GK=CK， ∠ GDK=∠ CDK。 ∵∠ A=30176。 ∵∠ EDF=60176。∠ ADM+∠ CDK=60176。 ∵ DM=DM， ∴ AD D GAD M G D MD M D M???? ? ????? ，∴△ ADM≌△ GDM，（ SAS） 。 ∵ GM+GK＞ MK， ∴ AM+CK＞ MK。 ； 32 。 【分析】 （ 1）先證明 △ CDA是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明 AM+CK=MK；在 △ MKD 中， AM+CK＞ MK（兩邊之和大于第三邊） ： ① 在 Rt△ ABC 中， D 是 AB 的中點(diǎn)， ∴ AD=BD=CD=12 AB， ∠ B=∠ BDC=60176。 ∴∠ ACD=60176。=30176?；?∠ CDF=60176。 ∴ 在 △ CDA中， AM（ K） =CM（ K），即 AM（ K） =KM（ C）（等腰三角形底邊上的垂線與中線重合） 。 ② 由 ① ，得 ∠ ACD=30176。 又 ∵∠ A=30176。 ∴∠ ADM=30176。∴ AM+CK=MD+KD。 （ 2）作點(diǎn) C 關(guān)于 FD 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) G，連接 GK， GM， GD．證明 △ ADM≌△ GDM 后，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)， GM=AM， GM+GK＞ MK， ∴ AM+CK＞ MK。 ∴∠ GKM=90176。 ∠ FKC=12 ∠ CKG=45176。 ∴∠ FKC=∠ CDF+∠ ACD。 在 Rt△ GKM 中， ∠ MGK=∠ DGK+∠ MGD=∠ A+∠ ACD=60176。 ∴ MK 3GM 2? 。 12.（ 2020 年 浙江 金華、 麗水 10 分） 在平面直角坐標(biāo) 系中，如圖 1，將 n 個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊 OA和 OC 分別落在 x 軸和 y 軸的正半軸上，設(shè)拋物線 ? ?2y ax b x c a 0? ? ? ＜過(guò)矩形頂點(diǎn) B、C． （ 1）當(dāng) n=1 時(shí)，如果 a =﹣ 1，試求 b 的值； （ 2）當(dāng) n=2 時(shí)，如圖 2，在矩形 OABC 上方作一邊長(zhǎng)為 1的正方形 EFMN，使 EF在線段 CB 上，如果 M，N 兩點(diǎn)也在拋物線上，求出此時(shí)拋物線的解析式； （ 3）將矩形 OABC 繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn) B 落到 x 軸的正半軸上，如果該拋物線同時(shí)經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O． ① 試求當(dāng) n=3 時(shí) a 的值； ② 直接寫(xiě)出 a 關(guān)于 n 的關(guān)系式． 【答案】 解：（ 1）由題意可知，當(dāng) n=1 時(shí)，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 0， 1） ∴ 拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線 x =12 ， a =﹣ 1， ∴ b12a 2??，得 b =1。 （ 2）解：設(shè)所求拋物線解析式為 2y ax bx 1? ? ? 由對(duì)稱(chēng)性可知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) B（ 2， 1）和點(diǎn) M（ 12 ， 2），代入 2y ax bx 1? ? ? 得 4a 2b 1 111a b 1 242? ? ???? ? ? ???，解得4a38b3??????????。 （ 3）解： ① 當(dāng) n=3 時(shí)， OC=1， BC=3， 設(shè)所求拋物線解析式為 2y ax bx??， 過(guò) C 作 CD⊥ OB 于點(diǎn) D，則 Rt△ OCD∽ Rt△ CBD。 設(shè) OD=t，則 CD=3t， ∵ OD2+CD2=OC2， ∴ （ 3t） 2+t2=12， ∴ 1 10t10 10??。 又由勾股定理，得 B（ 10 ， 0）， ∴ 把 B、 C 坐標(biāo)代入拋物線解析式，得 10 a 10 b 01 10 3 10ab10 10 10? ???? ????，解得， 10a 3?? 。 ② 答： a 關(guān)于 n 的關(guān)系式是 2n1a n??? 。 【分析】 （ 1）根據(jù)已知得到拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線 x =12 ，代入即可求出 b 。 ② 根據(jù)（ 1）、（ 2） ① 總結(jié)得到答案。 AE=3 3 ， MN=2 22 ． （ 1）求 ∠ COB 的度數(shù)； （ 2）求 ⊙ O 的半徑 R； （ 3）點(diǎn) F 在 ⊙ O 上（ FME 是劣弧），且 EF=5，把 △ OBC經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn) E， F重合．在 EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個(gè)？你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)在 ⊙ O上的三角形嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出這個(gè)三角形，并求出這個(gè)三角形與 △ OBC 的周長(zhǎng)之比． 【答案】 解：（ 1） ∵ AE 切 ⊙ O 于點(diǎn) E， ∴ AE⊥ CE。 又 ∵∠ BCO=∠ ACE， ∴△ AEC∽△ OBC。 ∴∠ COB=∠ A=30176。 ∴ 在 Rt△ AEC 中， tanA=tan30176。=3。 又 ∵ MN=2 22 ， ∴ MB=12 MN= 22 。 在 △ COB 中， ∠ BOC=30176。= OB 3OC 2? ， ∴ BO= 32 OC。 又 ∵ OC+EC=OM=R， ∴ 223R R 22 +33??。 ∴ R=5。 ∵ EF=5，直徑 ED=10，可得出 ∠ FDE=30176。 則 C△ EFD=5+10+5 3 =15+5 3 ， 由（ 2）可得 C△ COB=3+ 3 ， ∴ C△ EFD： C△ COB=（ 15+5 3 ）：（ 3+ 3 ） =5： 1。 【分析】 （ 1）由 AE 與圓 O 相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到 AE⊥ CE，又 OB⊥ AT，可得出兩直角相等，再由一對(duì)對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出 △ AEC∽△ OBC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出所求的角與 ∠ A相等，由 ∠ A的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù)。的值，利用銳角三角函數(shù)定義表示出 OC，用 OE﹣ OC=EC 列出關(guān)于 R 的方程，求出方程的解得到半徑 R 的值。 頂點(diǎn)在圓上的三角形，延長(zhǎng) EO 與圓交于點(diǎn) D，連接 DF， △ FDE 即為所求。利用銳角三角函數(shù)定義求出 DF 的長(zhǎng)，表示出 △ EFD 的周長(zhǎng)，再由（ 2）求出的 △ OBC 的 三邊表示出 △ BOC 的周長(zhǎng)，即可求出兩三角形的周長(zhǎng)之比。得 △ FE′C′，當(dāng) △ FE′C′落在 x軸與拋物線在 x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時(shí)，求 t 的取值范圍．（寫(xiě)出答案即可） 【答案】 解：（ 1）由題意得 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（－ 3 ， 0）， CD 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 3）， 分別代入 y=ax2+b，得 ? ?2 3 a+b=0b3? ??????，解得， a= 1b3????? 。 （ 2） ① 存在。 BE=3， BC=23 ， ∴ B E 3 3sin C =B C 223?? 。 ∠ CBE=30176。 又 ∵ AD∥ BC， ∴∠ ADC+∠ C=180176。60176。 要使 △ ADF 與 △ DEF 相似，則 △ ADF 中必有一個(gè)角為直角。 ∠ EDF=120176。=30176。 又 ∵ E（ t， 3）， F（ t，－ t2+3）， ∴ EF=3－（－ t2＋ 3） =t2。 ∵ t＞ 0， ∴ t=1 。 又 ∵∠ ADF=∠ DEF， ∴△ ADF∽△ DEF?？勺C得 △ DEF∽△ FBA，則 DE EFFB BA? 。 ∴ 3 m m 3 23?? ，即 m2－ 3m＋ 6=0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根。 （ III）由題意得， ∠ DAF＜ ∠ DAB=60176。此時(shí) t 不存在。 ② 66 3 t 2?