【正文】 P 為（ t， 0）， 當(dāng) D 在 x軸上時(shí)，如圖 3，過點(diǎn) B 作 BF⊥ x軸， 易得0B F 2 4 3O P B Ds in 6 0 332? ? ? ?。 （ 3）存在。 ∴ OH=EG= 532 ， DH=72 。 ∠ DBG=60176。 如圖 2，過點(diǎn) D 作 DH⊥ x軸于點(diǎn) H，延長 EB 交 DH 于點(diǎn) G，則 BG⊥ DH。 ∴△ ADP 是等邊三角形。 ∴ AP=AD， ∠ DAB=∠ PAO。 ∴ 直線 AB 的解析式是 3y x 43?? ? 。 ∴ 點(diǎn) B 的 坐標(biāo)是（ 23 ， 2）。 （ 1）求直線 AB的解析式； （ 2）當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（ 3 ， 0）時(shí)，求此時(shí) DP的長及點(diǎn) D的坐標(biāo)； （ 3）是否 存在點(diǎn) P，使 ΔOPD的面積等于 43 ，若存在，請求出符合條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 （ 3）設(shè)出拋物線解析式，將 D 和和 B′點(diǎn)坐標(biāo)代入，得出拋物線系數(shù)與 k 的關(guān)系，再由 m 的取值，求得 k。 【分析】 （ 1）依題意設(shè)所求拋物線的解析式為 2y ax? ，把點(diǎn) B 代入解析式求出拋物線的表達(dá)式。 ∴ 當(dāng) k=4 時(shí)， 1m 3? 。 ∵ 1m 3? ， ∴ 1m 3?? 。 ∴ 拋物線解析式為 2k 2 ky x x22???。 （ 3）由題意得：點(diǎn) B′的坐標(biāo)為（ 1， 1+k）， ∵ 拋物線過原點(diǎn)， ∴ 可設(shè)拋物線解析式為 211y a x b x??。 ∴ 經(jīng)過 D， O， B 三點(diǎn)的拋物線解析式是 2yx? 。 ∵ 由題意可知：經(jīng)過 D， O， B 三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)， ∴ 可設(shè)所求拋物線的解析式為 2y ax? 。 ∴ OA=AB。 7.（ 2020 年 浙江湖州 10 分） 如圖甲，在等腰直角三角形 OAB 中， ∠ OAB=90176。 ② 求重疊部分面積時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為 S 梯形 AMDG+S 矩形 AGCB。 （ 2） ① 由圖形的移動(dòng)可知，從 OF 出發(fā)，重疊部分面積逐漸增大，當(dāng) OF 和 BC 重合時(shí)面積最大，繼續(xù)移動(dòng)時(shí)，面積將減小。 【考點(diǎn)】 平移問題， 梯形、正方形和三角形的面積公式，分類思想的應(yīng)用。 D M B F O C 33S S S x 1 5 x 3 9 x 8 6 x 9 x 944? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。 ∴ ? ? ? ? ? ? 21 1 3 3S x 4 x 6 x 6 x 6 x 1 5 x 3 92 2 2 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 ③ 當(dāng) 6≤x＜ 8 時(shí)，重疊部分為五邊形，如圖 ③ ，可得，點(diǎn) A坐標(biāo)為（ 4， 6）， ∴ OA的解析 式為： 3yx2? 。 ∴ 21 3 3S x x x2 2 4? ? ? ? 。 ∴ 重疊部分的面積是： ? ?A M D G A G C B 1S S S 3 6 2 6 4 3 32? ? ? ? ? ? ? ?梯 形 矩 形。 ② 過點(diǎn) A作 AG∥ BC 交 x軸于 G， 則 AE=DG=EB－ AB=6－ 4=2。 ∴ 正方形 ODEF 的邊長為 6。 6.（ 2020年 浙江 麗水 14分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形 ABCO的邊 OC落在 x軸的正半軸上，且AB∥ OC， BC⊥ OC， AB=4， BC=6， OC=8．正方形 ODEF 的兩邊分別落在坐標(biāo)軸上，且它的面積等于直角梯形 ABCO 面積． 將 正方形 ODEF 沿 x軸的正半軸平行移動(dòng)，設(shè) 它 與 直角梯形 ABCO 的重疊部分面積為 S． （ 1）分析與計(jì)算： 求正方形 ODEF 的邊長； （ 2）操作與求解： ① 正方形 ODEF 平行移動(dòng)過程中，通過操作、觀察，試判斷 S（ S＞ 0）的變化情況是 ▲ ； A．逐漸增大 B．逐漸減少 C．先增大后減少 D．先減少后增大 ② 當(dāng)正方形 ODEF 頂點(diǎn) O 移動(dòng)到點(diǎn) C 時(shí)， 求 S 的值； （ 3）探究與歸納： 設(shè) 正方形 ODEF 的頂點(diǎn) O 向右移動(dòng)的距離為 x，求重疊部分面積 S 與 x的函數(shù)關(guān)系式 ． 【答案】 解：（ 1） ∵ 正方形 ODEF 的面積等于直角梯形 ABCO 面積，且 AB=4， BC=6， OC=8， ∴ ? ?O D E F A B C O 1S S 4 8 6 3 62? ? ? ? ?。 ③ 當(dāng) N、 D 重合時(shí) ，即 t=2 時(shí)，此時(shí) M、 O 也重合，此時(shí)重合部分為等腰梯形。 （ 3）本題要分情況進(jìn)行討論： ① 當(dāng) N 在 D 點(diǎn)左側(cè)且 E 在 PM 右側(cè)或在 PM 上時(shí)，即當(dāng) 0≤t≤1時(shí)，重合部分是直角梯形 EGNO。 （ 2）求等邊三角形的邊長就是求出 PM 的長，可在直角三角形 PMB 中，用 t 表示出 BP 的長，然后根據(jù) ∠ ABO 的度數(shù)，求出 PM 的長。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)面問題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系， 等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，函數(shù)的最值，分類思想的應(yīng)用。 綜上所述： ? ?? ?? ?22 3 t 6 3 0 t 1S 2 3 t 6 3 t 4 3 1 t 28 3 t= 2? ? ? ???? ? ? ?????。 ∵ 23? ＜ 0， ∴ 當(dāng) 3t 2? 時(shí)， S 有最大值，max 17 3S 2?。 ∴ EI 2t 2??。 ② 當(dāng) 1＜ t＜ 2 時(shí)，見圖 2， 設(shè) PM 交 EC 于點(diǎn) I，交 EO 于點(diǎn) F， PN 交 EC 于點(diǎn)G，重疊部分為五邊形 OFIGN，作 GH⊥ OB 于 H。 ∴ 1S 2 t 4 t 2 3 2 3 t 6 32? ? ? ? ? ? ?（ ）。 ∵ OB=12， ∴ ? ? ? ?O N 8 t 1 6 2 t 1 2 4 t? ? ? ? ? ? ?。 ∴ HN=2。 ∵ 點(diǎn) D 是 OB 的中點(diǎn)，即 BD=6， ∴ GH=CD=2 3 。 ∴ 當(dāng)點(diǎn) M 與點(diǎn) O 重合時(shí)， t=2。 ∴ 4 3=2 3t 。 當(dāng)點(diǎn) M 與點(diǎn) O重合時(shí)， ∵∠ BAO=60176。 ∵△ PMN 是等邊三角形， ∴∠ MPB=90176。 ∴ AB=2OA=8 3 。 （ 2） ∵∠ AOB=90176。 設(shè)直線 AB 解析式為 y kx b??， 把 A和 B 坐標(biāo)代入得： b 4 312k b 0? ??? ????，解得： 3k 3b 4 3? ???????。 5.（ 2020年 浙江金華 14 分） 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A（ 0， 4 3 ），點(diǎn) B 在 x正半軸上，且 ∠ ABO=30 度．動(dòng)點(diǎn) P 在線段 AB 上從點(diǎn) A向點(diǎn) B 以每秒 3 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒．在 x軸上取兩 點(diǎn)M， N 作等邊 △ PMN． （ 1）求直線 AB 的解析式； （ 2）求等邊 △ PMN 的邊長（用 t 的代數(shù)式表示），并求出當(dāng)?shù)冗?△ PMN 的頂點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)到與原點(diǎn) O 重合時(shí) t的值； （ 3）如果取 OB 的中點(diǎn) D，以 OD 為邊在 Rt△ AOB 內(nèi)部作如圖 2 所示的矩形 ODCE，點(diǎn) C 在線段 AB 上．設(shè)等邊 △ PMN和矩形 ODCE重疊部分的面積為 S，請求出當(dāng) 0≤t≤2秒時(shí) S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S 的最大值． 【答案】 解：（ 1）由 OA=4 3 ， ∠ ABO=30176。 當(dāng) P 在 O 左邊 時(shí)， △ APO 的面積應(yīng)為 2，高為 4，那么底邊長為 1，所以 P（－ 1， 0）； 當(dāng) P 在 O右邊時(shí)， △ BOP 的面積應(yīng)為 2，高為 2，所以底邊長為 2，此時(shí) P 坐標(biāo)為（ 2， 0）。后可得新四邊形的對角線互相平分，那么先判斷是平行四邊形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到對角線相等，那么所求的四邊形是矩形。 從 A， B 向 x 軸引垂線，把所求的三角形的面積分為一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形的面積減去一個(gè)直角三角形的面積。 【考點(diǎn)】 網(wǎng)格問題， 等腰三角形的性質(zhì)， 勾股定理， 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定，分類思 想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。 （ 3）存在。 又 ∵ AC=BC， ∴ AA1=BB1。 （ 2）四邊形 AB1A1B 是矩形。若存在，請直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo) (不必寫出解答過程 )；若不存在，請說明理由。 （ 1）填空： C 點(diǎn)的坐標(biāo)是 ， △ ABC 的面積是 ； （ 2）將 △ ABC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn) 180176。 4.（ 2020年 浙江湖州 10分） 在 88 的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知 A(2， 4)， B(4， 2)。 （ 4）如圖，分三種情況進(jìn)行討論： ① 如圖 1：此時(shí) QD=AP=1，因此 OP=OA－ 1=1， P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 1， 0）； ② 如圖 2：此時(shí) OP=OA+AP=3， P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 （ 3， 0） ③ 如圖 3：此時(shí) D， Q 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0， 3 ），根據(jù) A， D 的坐標(biāo)可求出直線 AD 的解析式為 y 3x 2 3??，由于 QP∥ AD，因此直線 PQ的解析式為 y 3x 3?? ，可求得 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（－ 1， 0）。要判斷 B 是否在拋物線的解析式上，首先要求出 B點(diǎn)的坐標(biāo)，由于四邊形 APCB是平行四邊形， OA=2，因此將 C點(diǎn)向右平移 2個(gè)單位即可 得出 B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將 B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可判斷出 B 是否在拋物線上。 【分析】 （ 1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知： △ AOC≌△ ABC，由此可得出四邊形 AOCB的兩組對邊分別對應(yīng)相等．由此可得證。 （ 4） P1（ 1， 0）， P2（－ 1， 0）， P3（ 3， 0）。 ∴ 2 x 226? ? ，解得： 4x 3? 。 ∵∠ APD=∠ OAB， ∴△ APD∽△ OAB。 則 tan∠ BOE= 3 ， tan∠ DAF= 3 ， ∴ tan∠ BOE=tan∠ DAF。 （ 3） ∵ ? ? 22y 3 x 2 3 x 3 x 1 3? ? ? ? ?， ∴ 頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 1， 3? ）。 把 x=3 代入此函數(shù)解析式，得： 2y 3 3 2 3 3 9 3 6 3 3 3? ? ? ? ? ? ?。 ∵ 四邊形 ABCO 是平行四邊形， ∴ OA∥ CB。 （ 2） ∵ 拋物線 2y ax 2 3x?? 經(jīng)過點(diǎn) A（ 2， 0）， ∴ 4a 4 3 0??，解得： a= 3 。 ∴ AO=CB， CO=AB。點(diǎn) O 落到點(diǎn) B 的位置，拋物線 2y ax 2 3x?? 經(jīng)過點(diǎn) A，點(diǎn) D 是該拋物線的頂點(diǎn)． （ 1）求證：四邊形 ABCO 是平行四邊形； （ 2）求 a 的值并說明點(diǎn) B 在拋物線上； （ 3）若點(diǎn) P 是線段 OA上一點(diǎn)，且 ∠ APD=∠ OAB，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 4）若點(diǎn) P 是 x軸上一點(diǎn)，以 P、 A、 D 為頂點(diǎn)作平行四邊形，該平行四邊形的另一頂點(diǎn)在 y 軸上，寫出點(diǎn)P 的坐標(biāo)． 【答案】 解：（ 1）證明： ∵△ AOC 繞 AC 的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180176。 （ 3）利用二次函數(shù)的最值表示出 S△ MCN的最大值，讓前面所求的面積的代數(shù)式等于即可。的三角函數(shù)可求得 BG，進(jìn)而求得 BN。 易得 AD=12 t， AB=12，那么 BE=12－ AD－ DE=6－ 12 t?？傻?∠ BNE=30176。 （ 2） ① 由外角 ∠ FEN=60176。 ∠ ADP=∠ CDE，那么可得 △ CQD∽△ APD。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)和平移問題，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的性質(zhì)。 若 S△ PCQ 等于 S△ MCN的最大值，則 23 9 3x 3 3 x24? ? ?，即 22x 12x 9 0? ? ? ，解得 6 3 2x 2?? 。 （ 3）存在。 11B E 6 t B N 3 6 t22? ? ? ?， （ ）。 ∴ ? ? 2PCQ 1 1 3S CP CQ 6 x 3 x x 3 3 x2 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ?。 ∴ AD=3， DC=33。 ∴△ CQD∽△ APD。 ∠ CDE+∠ PDC=90176。 ∴∠ BCD=∠ A=60176。角的直角三角板 Rt△ DEF 與 Rt△ ABC 疊合，使 DE 在 AB 上， DE 過點(diǎn) C，已知 AC=DE=6． （ 1）將圖 1 中的 △ DEF 繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（ DF 與 AB 不重合） ，使邊 DF、 DE 分別交 AC、 BC于點(diǎn) P、 Q，如圖 2． ① 求證： △ CQD∽△ APD； ② 連接 PQ，設(shè) AP=x，求面積 S△ PCQ關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）將圖 1 中的 △ DEF 向左平移（點(diǎn) A、 D 不重合），使邊 FD、 FE 分別交 AC、 BC 于點(diǎn) M、 N 設(shè) AM=t，如圖 3． ① 判斷 △ BEN 是什么三角形？并用含 t 的代數(shù)式表示邊 BE 和 BN； ② 連接 MN，求面積 S△ MCN 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式；