【文章內(nèi)容簡介】 ； （ 4）計算購進(jìn)股票的數(shù)量和借款數(shù)額； （ 5）根據(jù)上述計算結(jié)果計算期權(quán)價值。 [答疑編號 3949090405] 『正確答案』 （ 1）上行股價＝ 10 （ 1＋ 25%）＝ （元） 下行股價＝ 10 （ 1－ 20%）＝ 8（元） （ 2）股價上行時期權(quán)到期日價值 ＝上行股價－執(zhí)行價格＝ － 12＝ （元） 股價下行時期權(quán)到期日價值＝ 0 （ 3）套期保值比率＝期權(quán)價值變化 /股價變化＝（ － 0） /（ － 8）＝ （ 4）購進(jìn)股票的數(shù)量＝套期保值比率＝ （股） 借款數(shù)額＝（到期日下行股價 套期保值率） /（ 1＋ 6%9/12 ） ＝（ 8 ） /（ 1＋ %）＝（元） （ 5）期權(quán)價值＝購買股票支出－借款＝ 10 － ＝ （元） 二、風(fēng)險中性原理 所謂風(fēng)險中性原理是指：假設(shè)投資者對待風(fēng)險的態(tài)度是中性的，所有證券的預(yù)期收益率都應(yīng)當(dāng)是無風(fēng)險利率。風(fēng)險中性的投資者不需要額外的收益補(bǔ)償其承擔(dān)的風(fēng)險。在風(fēng)險中性的世界里，將期望值用無風(fēng)險利率折現(xiàn)，可以獲得現(xiàn)金流量的現(xiàn)值。 在這種情況下，期望報酬率應(yīng)符合下列公式： 期望報酬率＝無風(fēng)險利率＝（上行概率 上行時收益率）＋（下行概率 下行時收益率） 假設(shè)股票不派發(fā)紅利，股票價格的上升百分比就是股票投資的收益率，股價下降的百分比就是“ －收益率 ” ，因此： 期望報酬率＝無風(fēng)險利率＝（上行概率 股價上升百分比）＋（下行概率 －股價下降百分比） 【公式推導(dǎo)】 假設(shè)上行概率為 P，則下行概率為 1－ P，于是有： r＝ P （ u－ 1）＋（ 1－ P） （ d－ 1） 解之得： 有了概率之后，即可計算期權(quán)到期日價值的期望值，然后，使用無風(fēng)險利率折現(xiàn)，就可以求出期權(quán)的現(xiàn)值。 風(fēng)險中性原理計算期權(quán)價值的基本步驟（假設(shè)股票不派發(fā)紅利）： 【方法一】 期望報酬率＝（上行概率 股價上升百分比）＋（下行概率 －股價下降百分比）＝無風(fēng)險利率 【方法二】 期權(quán)價值＝（上行概率 上行時的到期日價值＋下行概率 下行時的到期日價值） /（ 1＋ r） 【例】假設(shè) ABC公司的股票現(xiàn)在的市價為 50元。有 1股以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)，執(zhí)行價格為 元。到期時間是 6個月。 6個月后股價有兩種可能：上升 %，或者降低 25%。無風(fēng)險利率為每年 4%。 假設(shè)該股票不派發(fā)紅利。 要求：根據(jù)風(fēng)險中性原理計算該看漲期權(quán)的價值。 [答疑編號 3949090501] 『正確答案』 （ 1）確定可能的到期日股票價格 Su＝ 50 （ 1＋ %）＝ （元） Sd＝ 50 （ 1－ 25%）＝ （元） （ 2）根據(jù)執(zhí)行價格計算確定到期日期權(quán)價值 Cu＝ Max（ － ， 0）＝ （元） Cd＝ Max（ － ， 0）＝ 0 （ 3）計算上行概率和下行概率 期望報酬率＝ 2%＝上行概率 % ＋（ 1－上行概率） （－ 25%） 上行概率＝ 下行概率＝ 1－ ＝ 【提示】 （ 4）計算期權(quán)價值 6個月后的期權(quán)價值期望值＝ ＋ 0 ＝ （元） 期權(quán)價值 C0＝ （ 1＋ 2%）＝ （元） 【分析】期權(quán)定價以套利理論為基礎(chǔ)。 期權(quán)價值＝ 等價投資組合：購買 ，借入 元。 （ 1）如果期權(quán)的價格高于 對策：賣出 1股看漲期權(quán)；購入 ，借 入 —— 肯定盈利 （ 2）如果期權(quán)價格低于 對策：買入 1股看漲期權(quán)；賣空 ，同時借出 元。 —— 肯定盈利 結(jié)論：只要期權(quán)定價不是 ，市場上就會出現(xiàn)一臺 “ 造錢機(jī)器 ” 。套利活動會促使期權(quán)只能定價為 。 【例 計算分析題】（ 2021舊制度） D公司是一家上市公司，其股票于 2021年 8月 1日的收盤價為每股 40元。有一種以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)，執(zhí)行價格為 42元，到期時間是 3個月。 3個月以內(nèi)公司不會派發(fā)股利， 3個月以后股價有 2種變動的可能：上升到 46元或者下降到 30元。 3個月到期的國庫券利率為 4%（年名義利率）（注 :報價利率）。 要求： （ 1）利用風(fēng)險中性原理，計算 D公司股價的上行概率和下行概率，以及看漲期權(quán)的價值。 （ 2）如果該看漲期權(quán)的現(xiàn)行價格為 ，請根據(jù)套利原理，構(gòu)建一個投資組合進(jìn)行套利。 [答疑編號 3949090502] 『正確答案』 （ 1）股價上升百分比＝（ 46－ 40） /40100% ＝ 15% 股價下降百分比＝（ 30－ 40） /40100% ＝－ 25% Cu＝ 46－ 42＝ 4（元） Cd＝ 0 期望報酬率＝ 4%/4＝上行概率 15% ＋（ 1－上行概率） （－ 25%） 上行概率＝ 下行概率＝ 1－上行概率＝ 看漲期權(quán)價值＝（ 4 ＋ 0 ） /（ 1＋ 1%）＝ （元） 【提示】概率也可直接按照公式計算： （ 2）套期保值比率＝（ 4－ 0） /（ 46－ 30）＝ 借款＝ 30（ 1＋ 1%）＝ （元） 由于期權(quán)價格（ ）低于期權(quán)價值（ ），可以賣空 ，借出款項 ，同時買入 1股看漲期權(quán)。 【獲利情況計 算】 賣出 ，借出款項 ，此時獲得 40 － ＝ （元）； 買入 1股看漲期權(quán)，支付 獲利 － ＝ （元）。 【知識點 2】二叉樹期權(quán)定價模型 一、單期二叉樹模型 關(guān)于單期二叉樹模型，其計算結(jié)果與前面介紹的復(fù)制組合原理和風(fēng)險中性原理是一樣的。 以風(fēng)險中性原理為例： 根據(jù)前面推導(dǎo)的結(jié)果： 式中： Co＝期權(quán)價格； Cu＝股價上升時期權(quán)到期日價值 Cd＝股價下行時期權(quán)到期日價值； r＝無 風(fēng)險利率 u＝股價上行乘數(shù)； d＝股價下行乘數(shù) 【提示】二叉樹模型建立在復(fù)制原理和風(fēng)險中性原理基礎(chǔ)之上的，比較而言，風(fēng)險中性原理比較簡單，應(yīng)用風(fēng)險中性原理時，可以直接應(yīng)用這里的上行概率計算公式計算上行概率，然后計算期權(quán)價值。 二、兩期二叉樹 模型 如果把單期二叉樹模型的到期時間分割成兩部分，就形成了兩期二叉樹模型。由單期模型向兩期模型的擴(kuò)展，不過是單期模型的兩次應(yīng)用。 計算出 Cu、 Cd后，再根據(jù)單期定價模型計算出 C0。 【例】假設(shè) ABC公司的股票現(xiàn)在的市價為 50元。有 1股以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)，執(zhí)行價格為 元。到期時間是 6個月。無風(fēng)險利率為每年 4%。 把 6個月的時間分為 2期，每期 3個月。每期股價有兩種可能：上升 %，或下降 %。 【提示】本例前面為 6個月一期時，無風(fēng)險利率 2%，本題三個月一期時，無風(fēng)險利率 1%。并沒有考慮報價利率和有效年利率的問題。 [答疑編號 3949090503] 『正確答案』 第一步，計算 Cu、 Cd的價值 【采用復(fù)制組合定價】 套期保值比率＝期權(quán)價值變化 /股價變化＝（ － 0） /（ － 50）＝ 購買股票支出＝套期保值比率 股票現(xiàn)價＝ ＝ （元） 借款數(shù)額＝（到期日下行股價 套期保值比率） /（ 1＋利率） ＝ 50＝ （元） Cu＝ － ＝ （元） 由于 Cud、 Cdd均為 0，因此， Cd＝ 0 【采用風(fēng)險中性定價】 1%＝上行概率 % ＋（ 1－上行概率） （－ %） 上行概率＝ 期權(quán)價值 6個月后的期望值＝ ＋（ 1－ ） 0 ＝ Cu＝ ＝ （元） 由于 Cud、 Cdd均為 0，因此， Cd＝ 0 【采用兩期二叉樹模型】 第二步，根據(jù) Cu、 Cd計算 C0的價值。 【采用復(fù)制組合定價】 套期保值比率＝ （ － ）＝ 購買股票支出＝ 50 ＝ （元） 借款數(shù)額＝（ ） /＝ （元） C0＝ － ＝ （元） 【采用風(fēng)險中性原理】 【采用兩期二叉樹模型】 三、多期二叉樹模型 原理 從原理上看，與兩期模型一樣，從后向前逐級推進(jìn) 乘數(shù)確定 期數(shù)增加以后帶來的主要問題是股價上升與下降的百分比如何確定問題。期數(shù)增加以后，要調(diào)整價格變化的升降幅度，以保證年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差不變。把年收益率標(biāo)準(zhǔn)差和升降百分比聯(lián)系起來的公式是： 其中： e＝自然常數(shù)，約等于 σ ＝標(biāo)的資產(chǎn)連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差 t＝以年表示的時間長度 【例】已知某期權(quán)標(biāo)的股票收益率的標(biāo)準(zhǔn)差 σ ＝ ，該期權(quán)的到期時間為 6個月。要求計算上行乘數(shù)和下行乘數(shù)。 [答疑編號 3949090601] 『正確答案』 如果將 6個月劃分為 2期，計算上行乘數(shù)和下行乘數(shù)。 時間間隔為 1/4年，則 u＝ ，即上升 %； d＝ ，即下降 % 做題程序： （ 1）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差和每期時間間隔確定每期股價變動乘數(shù)（應(yīng)用上述的兩個公式） （ 2）建立股票價格二叉樹模型 （ 3）根據(jù)股票價格二叉樹和執(zhí)行價格，構(gòu)建期權(quán)價值的二叉樹。 構(gòu)建順序由后向前，逐級推進(jìn)。 —— 復(fù)制組合定價或者風(fēng)險中性定價。 （ 4）確定期權(quán)的現(xiàn)值 【例】已知：股票價格 So＝ 50元，執(zhí)行價格 元，年無風(fēng)險利率 4%，股價波動率（標(biāo)準(zhǔn)差） ，到期時間 6個月，劃分期數(shù)為 6期。要求計算期權(quán)價值。 [答疑編號 3949090602] 『正確答案』 u＝ d＝ 【注意】計算中注意 t必須為年數(shù)，這里由于每期為 1個月，所以 t＝ 1/12年。 上行百分比＝ u－ 1＝ － 1＝ % 下行百分比＝ 1－ d＝ 1－ ＝ % 4%/12＝上行概率 % ＋（ 1－上行概率） （－ %） 上行概率＝ 下行概率＝ 1－ ＝ 【提示】概率的計算也可以采用下式： 上行概率 下行概率＝ 1－ ＝ 【填表規(guī)律】以當(dāng)前股價 50為基礎(chǔ)，先按照下行乘數(shù)計算對角線的數(shù)字；對角線數(shù)字確定之后，各行該數(shù)字右邊的其他數(shù)字均按照上行乘數(shù)計算。 ，構(gòu)建期權(quán)價值二叉樹。并計算期權(quán)價值 買 入期權(quán)價格 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 【提示】運用風(fēng)險中性原理的關(guān)鍵是計算概率。概率的計算有兩種方法： （ 1）直接按照風(fēng)險中性原理計算 期望報酬率＝（上行概率 上行時收益率）＋（下行概率 下行時收益率） 假設(shè)股票不派發(fā)紅利，股票價格的上升百分比就是股票投資的收益率，因此： 期望報酬率＝（上行概率 股價上升百分比）＋（下行概率 －股價下降百分比） （ 2）按照公式計算 【知識點 3】布萊克 — 斯科爾斯期權(quán)定價模型（ B－ S模型） 一、布萊克 — 斯科爾斯期權(quán)定價模型假設(shè) （ 1）在期權(quán)壽命期內(nèi)，買方期權(quán)標(biāo)的股票不發(fā)放股利，也不做其他分配； （ 2）股票或期權(quán)的買賣沒有交易成本； （ 3）短期的無風(fēng)險利率是已知的，并且在期權(quán)壽命期內(nèi)保持不變； （ 4）任何證券購買者能以短期的無風(fēng)險利率借得任何數(shù)量的資金； （ 5）允許賣空，賣空者將立即得到賣空股票當(dāng)天價格的資金； （ 6）看漲期權(quán)只能在到期日執(zhí)行； （ 7）所有者證券交易都是連續(xù)發(fā)生的，股票價格隨機(jī)游走。 二、布萊克 — 斯科爾斯期權(quán)定價模型 布萊克 — 斯科爾斯期權(quán)定價模型，包括三個公式： 其中： C0—— 看漲期權(quán)的當(dāng)前價值 S0—— 標(biāo)的股票的當(dāng)前價格 N（ d） —— 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中離差小于 d的概率 —— 查附表六（正態(tài)分布下的累積概率） X—— 期權(quán)的執(zhí)行價格 e—— 自然對數(shù)的底數(shù)， e≈ rc—— 連續(xù)復(fù)利的年度的無風(fēng)險利率 t—— 期權(quán)到期日前的時間（年） ln（ S0/X）＝ S0/X的自然對數(shù) σ 2＝連續(xù)復(fù)利的以年計的股票回報率的方差（ sigma） 【總結(jié)】 （ 1）期權(quán)價值的五個影響因素： S0、 X、 rc、 σ 、 t（注意多選）。 （ 2）做題的程序 :d1 ； d2→N （ d1）； N（ d2） →C 0 【例 計算分析題】 2021年 8月 15日，甲公司股票價格為每股 20元，以甲公司股票為標(biāo)的的代號為甲 20的看漲 期權(quán)的收盤價格為每股 ，甲 20表示此項看漲期權(quán)的行權(quán)價格為