20xx高考數(shù)學文人教a版一輪復(fù)習學案：高考大題專項(一)-突破2-利用導數(shù)研究與函數(shù)零點有關(guān)的問題(編輯修改稿)
2025-04-05 06:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 g(b)2ga+b2中以b為主元構(gòu)造函數(shù),設(shè)F(x)=g(a)+g(x)2ga+x2,則F39。(x)=g39。(x)2ga+x239。=lnxlna+x2.當0xa時,F39。(x)0,因此F(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,當xa時,F39。(x)0,因此F(x)在(a,+∞)上為增函數(shù),從而當x=a時,F(x)有極小值F(a).因為F(a)=0,ba,所以F(b)0,即g(a)+g(b)2ga+b20.設(shè)G(x)=F(x)(xa)ln2,則G39。(x)=lnxlnx+a2ln2=lnxln(x+a),當x0時,G39。(x)0.因此G(x)在(0,+∞)上為減函數(shù).因為G(a)=0,ba,所以G(b)0,即g(a)+g(b)2ga+b2(ba)ln2.注:本題以b為主元構(gòu)造函數(shù),當然也可以以a為主元構(gòu)造函數(shù).突破2 利用導數(shù)研究與函數(shù)零點有關(guān)的問題關(guān)鍵能力學案突破例1解(1)略.(2)函數(shù)f(x)的定義域為R,f39。(x)=ex+(x1)exkx=xexkx=x(exk),①當0k≤1時,令f39。(x)0,解得xlnk或x0.∴f(x)在(∞,lnk)和(0,+∞)上單調(diào)遞增,在[lnk,0]上單調(diào)遞減.由f(0)=1,當x∈(∞,0)時,f(x)≤f(x)max=f(lnk)=(lnk1)kk2ln2k=k2[(lnk1)2+1]0,此時f(x)無零點,當x∈[0,+∞)時,f(2)=e22k≥e220.又f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(x)在[0,+∞)上有唯一的零點,∴函數(shù)f(x)在定義域(∞,+∞)上有唯一的零點.②當k1時,令f39。(x)0,解得x0或xlnk,∴f(x)在(∞,0)和(lnk,+∞)上單調(diào)遞增,在[0,lnk]上單調(diào)遞減.當x∈(∞,lnk)時,f(x)≤f(x)max=f(0)=10,此時f(x)無零點.當x∈[lnk,+∞)時,f(lnk)f(0)=10,f(k+1)=kek+1k(k+1)22=kek+1(k+1)22.令g(t)=et12t2,t=k+12,則g39。(t)=ett,g″(t)=et1,∵t2,g″(t)0,g39。(t)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,g39。(t)g39。(2)=e220,∴g(t)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,得g(t)g(2)=e220,即f(k+1)0.∴f(x)在[lnk,+∞]上有唯一的零點,故函數(shù)f(x)在定義域(∞,+∞)上有唯一的零點.綜合①②可知,當k0時,函數(shù)f(x)在定義域(∞,+∞)上有且只有一個零點.對點訓練1解(1)F(x)=lnxx12x,即F(x)=lnx+12x12(x0),則F39。(x)=1x12x2=2x12x2,令F39。(x)=0,解得x=12.當x∈0,12,F39。(x)0,F(x)在0,12上單調(diào)遞減。當x∈12,+∞,F39。(x)0,F(x)在12,+∞∈(0,+∞)時,F(x)min=F12=12ln2.因為12ln2=lne12ln20,所以F(x)min0.又因為F1e2=2+e2212=e2520,F(e)=1+12e12=12e+120,所以F1e2F120,F(e)F120,所以F(x)分別在區(qū)間1e2,12,12,e上各存在一個零點,函數(shù)F(x)存在兩個零點.(2)假設(shè)f(x)≥g(x)對任意x∈[1,+∞)恒成立,即lnxmxm2x≥0對任意x∈[1,+∞)恒成立.令h(x)=lnxmxm2x(x≥1),則h39。(x)=1xm2x2=2xm2x2.①當m≤2,即2xm≥0時,則h39。(x)≥0且h39。(x)不恒為0,所以函數(shù)h(x)=lnxmxm2x在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.又因為h(1)=ln1m1m21=0,所以h(x)≥0對任意x∈[1,+∞)≤2不符合題意.②當m2時,令h39。(x)=2xm2x20,得1≤xm2。令h39。(x)=2xm2x20,得x(x)=lnxmxm2x在區(qū)間1,m2上單調(diào)遞減,在區(qū)間m2,+∞上單調(diào)遞增,所以hm2h(1)=0,即當m2時,存在x0≥1,使h(x0)0,即f(x0)g(x0).故m2符合題意.綜上可知,實數(shù)m的取值范圍是(2,+∞).例2證明(1)設(shè)g(x)=f39。(x),則g(x)=cosx11+x,g39。(x)=sinx+1(1+x)2.當x∈1,π2時,g39。(x)單調(diào)遞減,而g39。(0
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