20xx高考數(shù)學(xué)文人教a版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：選修4—5-第2課時(shí)-不等式的證明-【含解析】(編輯修改稿)
2025-04-03 03:29 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 式,實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮,放縮不當(dāng)則等號(hào)可能不成立,因此,要切記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.在利用算術(shù)—幾何平均不等式或柯西不等式求最值時(shí),要注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件,特別是多次使用不等式時(shí),必須使等號(hào)同時(shí)成立.第2課時(shí) 不等式的證明關(guān)鍵能力學(xué)案突破例1(1)解由f(2x+4)≥4,得|2x+1|≥4,即2x+1≥4或2x+1≤4,解得x≥32或x≤52,綜上所述,不等式的解集為x|x≤52或x≥32.(2)證明f(ab+2)f(ab+3)?|ab1||ab|,因?yàn)閨a|1,|b|1,所以a21,b21,所以|ab1|2|ab|2=a2b22ab+1a2+2abb2=a2b2a2b2+1=(a21)(b21)0,所以|ab1|2|ab|2,即|ab1||ab|,所以原不等式成立.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)解f(x)=|x1|+|x+1|=2x,x1,2,1≤x≤1,2x,x1,則f(x)4等價(jià)于x1,2x4或1≤x≤1,24或x1,2x4,解得2x1或1≤x≤1或1x2,∴2x2,M=(2,2).(2)證明當(dāng)a,b∈M時(shí),即2a2,2b2,∵4(a+b)2(4+ab)2=4a2+4b216a2b2=(a24)(4b2)0,∴4(a+b)2(4+ab)2,∴2|a+b||4+ab|.例2證明(1)因?yàn)閍2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1c,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立.所以1a+1b+1c≤a2+b2+c2.(2)因?yàn)閍,b,c為正數(shù),且abc=1,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥33(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3(2ab)(2bc)(2ac)=24,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)解當(dāng)x0時(shí),f(x)|2x|x等價(jià)于x22x+22,該不等式恒成立。當(dāng)0x≤1時(shí),f(x)|2x|x等價(jià)于x22x0,該不等式解集為?。當(dāng)x1時(shí),f(x)|2x|x等價(jià)于x2+2x22,解得x51.綜上,x0或x51.所以不等式f(x)|2x|x的解集為(∞,0)∪(51,+∞).(2)證明f(x)=x2+2|x1|=x2+2x2,
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