20xx高考數(shù)學(xué)文人教a版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：46-正弦、余弦定理與解三角形-【含解析】(編輯修改稿)
2025-04-03 03:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 B,B到直線l的距離分別為AC和BD(C,D為垂足),測(cè)得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長(zhǎng)。(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處?并說明理由。(3)在規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d(單位:百米),求當(dāng)d最小時(shí),P,Q兩點(diǎn)間的距離.解(方法1)(1)過A作AE⊥BD,垂足為E.由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因?yàn)镻B⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE=810=45.所以PB=BDcos∠PBD=1245=15.因此道路PB的長(zhǎng)為15(百米).(2)①若P在D處,由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(diǎn)(除B,E)到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處,連接AD,由(1)知AD=AE2+ED2=10,從而cos∠BAD=AD2+AB2BD22ADAB=7250,所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP90176。時(shí),線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑,點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求。當(dāng)∠OBP≥90176。時(shí),對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F,OF≥OB,即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑,點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點(diǎn),且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此時(shí)P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=1535=9。當(dāng)∠OBP90176。時(shí),在△PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè),=15時(shí),CQ=QA2AC2=15262=321.此時(shí),線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上,當(dāng)PB⊥AB,點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè),且CQ=321時(shí),d最小,此時(shí)P,Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小時(shí),P,Q兩點(diǎn)間的距離為17+321(百米).(方法2)(1)如圖,過O作OH⊥l,垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OH為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽D=12,AC=6,所以O(shè)H=9,直線l的方程為y=9,點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)分別為3,3.因?yàn)锳B為圓O的直徑,AB=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A(4,3),B(4,3),直線AB的斜率為34.因?yàn)镻B⊥AB,所以直線PB的斜率為43,直線PB的方程為y=43x253.所以P(13,9),PB=(13+4)2+(9+3)2=15.因此道路PB的長(zhǎng)為15(百米).(2)①若P在D處,取線段BD上一點(diǎn)E(4,0),則EO=45,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處,連接AD,由(1)知D(4,9),又A(4,3),所以線段AD:y=34x+6(4≤x≤4).在線段AD上取點(diǎn)M3,154,因?yàn)镺M=32+154232+42=5,所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP90176。時(shí),線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑,點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求。當(dāng)∠OBP≥90176。時(shí),對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F,OF≥OB,即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑,點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點(diǎn),且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此時(shí)P1(13,9)。當(dāng)∠OBP90176。時(shí),在△PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè),=15時(shí),設(shè)Q(a,9),由AQ=(a4)2+(93)2=15(a4),得a=4+321,所以Q(4+321,9).此時(shí),線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上,當(dāng)P(13,9),Q(4+321,9)時(shí),d最小,此時(shí)P,Q兩點(diǎn)間的距離PQ=4+321(13)=17+321.因此,d最小時(shí),P,Q兩點(diǎn)間的距離為17+321(百米).,無論題型如何變化,即兩點(diǎn)的情況如何,實(shí)質(zhì)都是要求這兩點(diǎn)間的距離,無非就是兩點(diǎn)所在三角形及其構(gòu)成元素所知情況不同而已,恰當(dāng)?shù)禺嫵?找出)適合解決問題的三角形是解題的基礎(chǔ),將已知線段長(zhǎng)度和角度轉(zhuǎn)化為要解的三角形的邊長(zhǎng)和角是解題的關(guān)鍵.(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形,首先確定所求量所在的三角形,若其他量已知?jiǎng)t直接求解。若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計(jì)算的定理.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2020廣東湛江一中模擬)一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東60176。的方向上,行駛4 h后,船到達(dá)C處,看到這個(gè)燈塔在北偏東15176。的方向上,這時(shí)船與燈塔的距離為 km.二、測(cè)量角度問題的模型【例3】如圖,甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60176。方向的B處,兩船相距a海里,乙船正向北行駛,若甲船速度是乙船速度的3倍,問甲船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能在最短時(shí)間內(nèi)追上乙船,此時(shí)乙船行駛了多少海里?解設(shè)甲船沿北偏東θ角去追趕乙船,在C點(diǎn)處追上,若乙船行駛的速度是v海里/時(shí),則甲船行駛的速度是3v海里/時(shí).由于甲、乙兩船到C的時(shí)間相等,都設(shè)為t小時(shí)
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