福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學學科二輪備考關鍵問題指導系列一(函數(shù)與導數(shù)存在問題及應對策略)(編輯修改稿)
2025-04-03 02:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）解法一：由兩個解，則與的圖像有兩個交點，如圖，當截距時，即時符合，故選擇．解法二：特值法，時，，又在和均為增函數(shù)，從而排除，時，，當，時，由零點定理知存在兩個零點，符合，故選擇．解法三：直接法，只需即可，注意到在和均為增函數(shù)，當時，對于任意的，在上的值域為．【評析】本題易錯的主要原因：轉(zhuǎn)換意識不強，不能將零點問題轉(zhuǎn)化為兩個兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題；其次，未能準確作出函數(shù)圖象．事實上，對于兩個函數(shù)，其一是具體確定的函數(shù)，另一個是含有參數(shù)的函數(shù)，在解決他們之間關系時，如零點、參數(shù)的取值范圍等問題時，可以采取數(shù)形結合的思想，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題．（五）導數(shù)的綜合運用能力較弱導數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，歷屆高考，對導數(shù)應用的考查都非常突出，主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與圖象、曲線相聯(lián)系；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的單調(diào)性；已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)；（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；（4）數(shù)形結合思想的應用． 【例9】（多選題）【武漢市2021屆高中畢業(yè)生三月質(zhì)量檢測12】設函數(shù)，若曲線在點處的切線與該曲線恰有一個公共點，則選項中滿足條件的有（ ）A. B. C. D. 【解析】因為曲線在點處的切線為，設，則函數(shù)有唯一零點.因為，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.（1）當，即時，有且僅有一解，此時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，此時是的唯一零點，符合題意，因此C,D正確；（2）當時，在上單調(diào)遞增，因此是是的唯一零點，符合題意，因此B正確；（3）當時，顯然在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. 此時，顯然，存在，此時有兩個零點，不合題意，選擇BCD．【評析】本題也可以利用驗證法給予解決，即將四個選項代入分別計算的切線，然后進行判斷．本題易錯的主要原因：導數(shù)運算能力差，導致問題無法解決；化歸與轉(zhuǎn)化思想意識不強，未能將問題轉(zhuǎn)化為曲線與曲線在點處的切線有唯一零點．【例10】【2018年全國Ⅰ卷理21】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，證明：．【解析】（1）的定義域為，.（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調(diào)遞減.（ii）若，令得，或.當時，；當時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當.由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設，所以等價于.設函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當時，所以，即.【評析】本題易錯的主要原因：其一，對于，為什么要對進行討論、如何討論、分界點確定的依據(jù)均是易錯點；其二，化歸與轉(zhuǎn)化意識欠缺，不能根據(jù)問題特征，將問題轉(zhuǎn)化為證明．在第（1）問中，分類與整合思想是考查的重點，二次三項式含參討論要綜合考慮到定義域，二次項系數(shù)，判別式，根的大小比較等；第（2）問極值點可求，但是注意到根與系數(shù)的關系，進而將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量，同時要考慮到自變量的范圍，再由不等式的等價轉(zhuǎn)化得到第一問函數(shù)的特殊類型，題目迎刃而解．二、應對策略（一）提高利用函數(shù)性質(zhì)解題的意識，具體函數(shù)抽象化，抽象函數(shù)具體化數(shù)形結合思想將抽象邏輯思維與直觀形象思維有效地結合起來，使得復雜問題簡單化，抽象問題形象化，利于發(fā)現(xiàn)解題策略，優(yōu)化解題過程．給出具體函
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