20xx-20xx昆明中考數(shù)學(xué)與二次函數(shù)有關(guān)的壓軸題(編輯修改稿)
2025-03-30 22:32 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 線的解析式為，拋物線的對(duì)稱軸為直線．設(shè)直線BC的解析式為，將、代入中，得：，解得：，直線BC的解析式為．當(dāng)時(shí)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，．分三種情況考慮：當(dāng)時(shí)，有，即，解得：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，有，即，解得：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，有，即，解得：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為綜上所述：當(dāng)是直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為、或【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次一次函數(shù)解析式、二次一次函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對(duì)稱中的最短路徑問題以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；由兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合拋物線的對(duì)稱性找出點(diǎn)P的位置；分、和三種情況，列出關(guān)于m的方程．8．（10分）（2015?佛山）如圖，一小球從斜坡O點(diǎn)處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫．（1）請(qǐng)用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）連接拋物線的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得△POA，求△POA的面積；（4）在OA上方的拋物線上存在一點(diǎn)M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】試題分析：（1）利用配方法拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）聯(lián)立兩解析式，可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B．根據(jù)S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入數(shù)值計(jì)算即可求解；（4）過(guò)P作OA的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，連結(jié)OM、AM，由于兩平行線之間的距離相等，根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，可得△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，將P（2，4）代入，求出直線PM的解析式為y=x+3．再與拋物線的解析式聯(lián)立，得到方程組，解方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．試題解析：（1）由題意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）；（2）聯(lián)立兩解析式可得：，解得：，或．故可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）；（3）如圖，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=24+（+4）（﹣2）﹣=4+﹣=；（4）過(guò)P作OA的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，連結(jié)OM、AM，則△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，∵P的坐標(biāo)為（2，4），∴4=2+b，解得b=3，∴直線PM的解析式為y=x+3．由，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題9．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中,.該拋物線與軸交于點(diǎn),與軸交于另一點(diǎn).(1)求的值及該拋物線的解析式。(2)(不與重合).分別以、為斜邊,在直線的同側(cè)作等腰直角△和等腰直角△,連接,試確定△面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).(3)、,在線段上是否存在點(diǎn),使得以為頂點(diǎn)的三角形與△相似,若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)。若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）當(dāng)，即時(shí)，最大，此時(shí),所以；（3）存在點(diǎn)坐標(biāo)為或.【解析】分析：（1）把A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出m與n的值，確定出A與B坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式求出b與c的值即可； （2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN為直角，由兩直角邊乘積的一半表示出三角形MPN面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出三角形面積最大時(shí)P的坐標(biāo)即可； （3）存在，分兩種情況，根據(jù)相似得比例，求出AQ的長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出Q坐標(biāo)即可．詳解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）． ∵y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與點(diǎn)B，∴，解得：，則二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+6x﹣5； （2）如圖2，△APM與△DPN都為等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45176。，∴∠MPN=90176。，∴△MPN為直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，設(shè)AP=m，則有DP=4﹣m，∴PM=m，PN=（4﹣m），∴S△MPN=PM?PN=m（4﹣m）=﹣m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1，∴當(dāng)m=2，即AP=2時(shí)，S△MPN最大，此時(shí)OP=3，即P（3，0）； （3）存在，易得直線CD解析式為y=x﹣5，設(shè)Q（x，x﹣5），由題意得：∠BAD=∠ADC=45176。，分兩種情況討論：①當(dāng)△ABD∽△DAQ時(shí)，=，即=，解得：AQ=，由兩點(diǎn)間的距離公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=，解得：x=，此時(shí)Q（，﹣）； ②當(dāng)△ABD∽△DQA時(shí)，=1，即AQ=，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此時(shí)Q（2，﹣3）． 綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（，﹣）．點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握各自的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上的兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)M是拋物線C2：（＜0）的頂點(diǎn)．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理
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