32第4課時(shí)(存儲(chǔ)版)
【正文】 ， ∴ DB與平面 DEF所成角的正弦值為 36 . 9． (2021(a,0,0) ＝ a(x－ a2)＝ 0， ∴ x＝ a2； FG→ AC→ ＝－ 8＋ 8＝ 0， ∴ BD⊥ AP， BD⊥ AC，又 AP∩ AC＝ A， ∴ BD⊥ 平面 PAC. (2)CQ→ ＝ (0，－ 2 2， 2)． 設(shè)平面 PAC的一個(gè)法向量為 n＝ (x， y， z)，則 ????? nDC→ ＝ 0， ∴????? x＋ z＝ 0y＝ 0 ，令 z＝－ 1得 x＝ 1. ∴ n＝ (1,0，－ 1)，又 B(1,1,0)， ∴ A1B→ ＝ (0,1，－ 1)， cos〈 n， A1B→ 〉＝ A1B→ . 4． 在正方體 ABCD－ A1B1C1D1中 ， 若 F、 G 分別是棱 AB、 CC1的中點(diǎn) ， 則直線 FG 與平面 A1ACC1所成角的正弦值等于 ( ) A. 23 B. 54 C. 33 D. 36 [答案 ] D [解析 ] 解法一：如圖，過(guò) F作 BD的平行線交 AC于 M，則∠ MGF即為所求 ． 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 1， MF＝ 24 ， GF＝ 62 ， ∴ sin∠ MGF＝ 36 . 解法二：如圖，分別以 AB、 AD、 AA1為 x軸、 y軸、 z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 1，則易知平面 ACC1A1的一個(gè)法向量為 n＝ (－ 1,1,0)， ∵ F(12， 0,0)、 G(1,1， 12)， ∴ FG→ ＝ ?? ??12， 1， 12 ， 設(shè)直線 FG與平面 A1ACC1所成角 θ， 則 sinθ＝ |cos〈 n， FG→ 〉 |＝ |n D． 150176。OF→ ＝ 14(OA→ C1O＝ CC1|AD1→ |＝－ a2－ a2 1＋ a24＋ a2 . ∵ 二面角 A－ B1E－ A1的大小為 30176。c－ 12a|e|＝ 64 . 解法三：設(shè) BA→ ＝ b， BC→ ＝ a， BD→ ＝ c， 由條件知 a [解析 ] 設(shè)〈 AC→ ， BD→ 〉＝ θ， ∵ CA⊥ AB， AB⊥ BD， ∴ AC→ ?AA1→ ＋ A1M→ ? ＝ |AA1→ |2＋ |A1M→ |2＝ 1＋ 14＝ 52 . 同理， |CN→ |＝ 52 .如令 α為所求角，則 cosα＝ AM→ ?2， 2， 4?1＋ 9 4＋ 4＋ 16 ＝ 156 ， ∴ 這個(gè)二面角的余弦值為 156 或－ 156 . 2． 在正方體 ABCD－ A1B1C1D1中 ， E 是 C1C的中點(diǎn) ， 則直線 BE與平面 B1BD所成的角的正弦值為 ( ) A． － 105 B. 105 C．－ 155 D. 155 [答案 ] B [解析 ] 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2，則 D(0,0,0)、 B(2,2,0)、B1(2,2,2)、 E(0,2,1)． ∴ BD→ ＝ (－ 2，－ 2,0)、 BB1→ ＝ (0,0,2)、 BE→ ＝ (－ 2,0,1)． 設(shè)平面 B1BD的法向量為 n＝ (x， y， z)． ∵ n⊥ BD→ ， n⊥ BB1→ ， ∴????? － 2x－ 2y＝ 02z＝ 0 ， ∴ ????? x＝－ yz＝ 0 . 令 y＝ 1， 則 n＝ (－ 1,1,0)． ∴ cos〈 n， BE→ 〉＝ nCN→|AM→ ||CN→ |＝1252 － θ， ∴ |CD→ |2＝ (CA→ ＋ AB→ ＋ BD→ )2 ＝ |CA→ |2＋ |AB→ |2＋ |BD→ |2＋ 2|CA→ ||BD→ |cos(180176。c＝ 0， 又 AD→ ＝ BD→ － BA→ ＝ c－ b， 平面 AA1C1C的法向量 BM→ ＝ 12(a＋ b)． 設(shè)直線 AD與平面 AA1C1C成角為 θ，則 sinθ＝ |cos〈 AD→ ， BM→ 〉 |＝ |AD→ c＝ 2， ∴ |AD→ |＝ 2， |BM→ |2＝ 14(a＋ b)2＝ 14(|a|2＋ |b|2＋ 2a福建理 ， 17)如圖 ， 在幾何體 ABCDE 中 ， 四邊形 ABCD是矩形 ， AB⊥ 平面 BEC，BE⊥ EC， AB＝ BE＝ EC＝ 2， G、 F 分別是線段 BE、 DC 的中點(diǎn) ． (1)求證 ： GF∥ 平面 ADE； (2)求平面 AEF 與平面 BEC 所成銳二面角的余弦值 ． [解析 ] 解法一： (1)如圖，取 AE的中點(diǎn) H，連接 HG、 HD，又 G是 BE的中點(diǎn)， 所以 GH∥ AB，且 GH＝ 12AB. 又 F是 CD中點(diǎn)， 所以 DF＝ 12CD， 由四邊形 ABCD是矩形得， AB∥ CD， AB＝ CD，所以 GH∥ DF，且 GH＝ HGFD是平行四邊形， 所以 GF∥ DH. 又 DH? 平面 ADE
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