32第4課時-免費(fèi)閱讀
【正文】 陜西理 ， 18)如圖 1， 在 直角梯形 ABCD 中 ， AD∥ BC， ∠ BAD＝ π2， AB＝ BC＝ 1， AD＝ 2， E 是 AD的中點(diǎn) ， O 是 AC 與 BE 的交點(diǎn) ． 將 △ ABE 沿 BE折起到 △ A1BE的位置 ， 如圖 2. 圖 1 圖 2 (1)證明 ： CD⊥ 平面 A1OC； (2)若平面 A1BE⊥ 平面 BCDE， 求平面 A1BC 與平面 A1CD 夾角的余弦值 ． [解析 ] (1)在題圖 1 中，因?yàn)?AB＝ BC＝ 1， AD＝ 2， E 是 AD 的中點(diǎn)， ∠ BAD＝ π2，所以 BE⊥ AC，即在題圖 2 中， BE⊥ OA1， BE⊥ OC，從而 BE⊥ 平面 A1OC，又 CD∥ BE，所以 CD⊥ 平面 A1OC. (2)由已知，平面 A1BE⊥ 平面 BCDE，又由 (1)知， BE⊥ OA1， BE⊥ OC，所以 ∠ A1OC為二面角 A1－ BE－ C的平面角，所以 ∠ A1OC＝ π2. 如圖，以 O 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?A1B＝ A1E＝ BC＝ ED＝ 1， BC∥ ED，所以 B( 22 ， 0,0)、 E(－ 22 ， 0,0)、 A(0,0， 22 )、 C(0， 22 ， 0)，得 BC― → ＝ (－ 22 ， 22 ， 0)、A1C― → ＝ (0， 22 ，－ 22 )， CD― → ＝ BE― → ＝ (－ 2， 0,0)． 設(shè)平面 A1BC的法向量 n1＝ (x1，y1， z1)，平面 A1CD的法向量 n2＝ (x2， y2， z2)，平面 A1BC與平面 A1CD夾角為 θ，則 ????? n1CP→ ＝ (x－ a2，－ a2， z－ a2)AP→ ＝ 0nn|A1B→ ||n|＝ 12FG→ ||n| [答案 ] C [解析 ] 如圖，以 C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 C－ xyz，設(shè)正方體的棱長為 a，則 A(a， a,0)， B(a,0,0)， D1(0， a， a)， B1(a,0， a)， ∴ BA→ ＝ (0， a,0)， BD1→ ＝ (－ a， a， a)， BB1→ ＝ (0,0， a)， 設(shè)平面 ABD1的法向量為 n＝ (x， y， z)， 則 nOB→ ＋ OA→ CO 得， CM＝ 23， ∴ sin∠ CDM＝ CMCD＝ 23. 2． 把正方形 ABCD 沿對角線 AC 折起成直二面角 ， 點(diǎn) E、 F分別是 AD、 BC的中點(diǎn) ， O是正方形中心 ， 則折起后 ， ∠ EOF 的大小為 ( ) A． (0176。 ∴ |cosθ|＝ cos30176。b＋ 12bb＝ 12， aAB→ ＝ BD→ CN→|AM→ ||CN→ |＝1254＝ D. 解法二：如圖以 D為原點(diǎn)，分別以 DA、 DC、 DD1為 x軸、 y軸、 z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(1,0,0)、 M(1， 12， 1)、 C(0,1,0)、 N(1,1， 12)， ∴ AM→ ＝ ?? ??1， 12， 1 － (1,0,0)＝ (0， 12， 1)， CN→ ＝ (1,1， 12)－ (0,1,0)＝ (1,0， 12)． 故 AM→ 第三章 第 4 課時 一、選擇題 1． 在一個二面角的兩個面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為 (0，－ 1,3)、 (2,2,4)，則這個二面角的余弦值為 ( ) A. 156 B．－ 156 C. 153 D． 以上都不對 [答案 ] D [解析 ] ∵ ?0，－ 1， 3?CN→ ＝ 0 1＋ 12 0＋ 1 12＝ 12， |AM→ |＝ 02＋ ?? ??12 2＋ 12＝ 52 ， |CN→ |＝ 12＋ 02＋ ?? ??12 2＝ 52 . ∴ cosα＝ AM→ AB→ ＝ 0，〈 CA→ ， BD→ 〉＝ 180176。c＝ 0， bc－ 12|b|2＝－ 34. |AD→ |2＝ (c－ b)2＝ |c|2＋ |b|2－ 2b即3a22 1＋ 5a24＝ 32 . 解得 a＝ 2，即 AB的長為 2. 8． (2021 90176。OC→ ＋ OD→ BA→ ＝ (x， y， z)|FG→ |＝122 2＝ 12. ∴ 〈 n， A1B→ 〉＝ 60176。AC→ ＝ 0， ∴ ??? 4z＝ 02x＋ 2 2y＝ 0 ， ∴ ????? x＝ 1y＝－ 22z＝ 0. ∴ n＝ (1，－ 22 ， 0)． 設(shè)直線 QC與平面 PAC所成的角為 θ，則 sinθ＝ |cos〈 CQ→ ， n〉 |＝ |CQ→ (0，－ a， a) ＝ a22＋ a(z－a2)＝ 0， ∴ z＝ 0. ∴ G點(diǎn)坐標(biāo)為 (a2， 0,0)，即 G點(diǎn)為 AD的中點(diǎn) ． (3)設(shè)平面 DEF的法向量為 n＝ (x， y， z)． 則????? nBC― → ＝ 0n1 6＝ 36
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