32 第4課時-預(yù)覽頁
【正文】 → ， AA1→ 的方向分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標系 (如圖 )． 設(shè) AB＝ a，則 A(0,0,0)、 D(0,1,0)、 D1(0,1,1)、 E(a2， 1,0)、 B1(a,0,1)，故 AD1→ ＝ (0,1,1)， B1E→ ＝ (－ a2， 1，－ 1)， AB1→ ＝ (a,0,1)， AE→ ＝ (a2， 1,0)． ∵ AD1→ ∴ |cosθ|＝ cos30176。AF― → ＝ 0 ，得 ????? 2x－ 2z＝ 02x＋ 2y－ z＝ 0 ， 取 z＝ 2，得 n＝ (2，－ 1,2)． 從而 cos 〈 n， BA― → 〉＝ nCO 得， CM＝ 23， ∴ sin∠ CDM＝ CMCD＝ 23. 2． 把正方形 ABCD 沿對角線 AC 折起成直二面角 ， 點 E、 F分別是 AD、 BC的中點 ， O是正方形中心 ， 則折起后 ， ∠ EOF 的大小為 ( ) A． (0176。 D． (60176。OB→ ＋ OA→ 故選 C. 3． 正方體 ABCD－ A1B1C1D1中 ， 二面角 A－ BD1－ B1的大小為 ( ) A． 30176。 [答案 ] C [解析 ] 如圖，以 C為原點建立空間直角坐標系 C－ xyz，設(shè)正方體的棱長為 a，則 A(a， a,0)， B(a,0,0)， D1(0， a， a)， B1(a,0， a)， ∴ BA→ ＝ (0， a,0)， BD1→ ＝ (－ a， a， a)， BB1→ ＝ (0,0， a)， 設(shè)平面 ABD1的法向量為 n＝ (x， y， z)， 則 n(－ a， a， a)＝－ ax＋ ay＋ az＝ 0， ∵ a≠ 0， ∴ y＝ 0， x＝ z， 令 z＝ 1，則 n＝ (1,0,1)， 同理平面 B1BD1的法向量 m＝ (－ 1，－ 1,0)， cos〈 n， m〉＝ nFG→ ||n|. 即 A1B與平面 A1B1CD所成的角為 30176。n|A1B→ ||n|＝ 12浙江理 ， 13)如圖 ， 在三棱錐 ABCD中 ， AB＝ AC＝ BD＝ CD＝ 3， AD＝ BC＝ 2，點 M、 N 分別為 AD、 BC 的中點 ， 則異面直線 AN、 CM 所成的角的余弦值是__________________． [答案 ] 78 [解析 ] 如圖，連接 DN，取 DN 中點 P，連接 PM、 PC，則可知 ∠ PMC即為異面直線AN、 CM所成角 (或其補角 )易得 PM＝ 12AN＝ 2， PC＝ PN2＋ CN2＝ 2＋ 1＝ 3， CM＝ AC2－ AM2＝ 2 2， ∴ cos∠ PMC＝ 8＋ 2－ 32 2 2 2＝ 78，即異面直線 AN、 CM所成角的余弦值為 78. 二、解答題 7． (2021AP→ ＝ 0nDC→ ＝ (－ a2， 0， a2)CP→ ＝ (x－ a2，－ a2， z－ a2)?a2， a2， a2?＝ 0?x， y， z?陜西理 ， 18)如圖 1， 在 直角梯形 ABCD 中 ， AD∥ BC， ∠ BAD＝ π2， AB＝ BC＝ 1， AD＝ 2， E 是 AD的中點 ， O 是 AC 與 BE 的交點 ． 將 △ ABE 沿 BE折起到 △ A1BE的位置 ， 如圖 2. 圖 1 圖 2 (1)證明 ： CD⊥ 平面 A1OC； (2)若平面 A1BE⊥ 平面 BCDE， 求平面 A1BC 與平面 A1CD 夾角的余弦值 ． [解析 ] (1)在題圖 1 中，因為 AB＝ BC＝ 1， AD＝ 2， E 是 AD 的中點， ∠ BAD＝ π2，所以 BE⊥ AC，即在題圖 2 中， BE⊥ OA1， BE⊥ OC，從而 BE⊥ 平面 A1OC，又 CD∥ BE，所以 CD⊥ 平面 A1OC. (2)由已知，平面 A1BE⊥ 平面 BCDE，又由 (1)知， BE⊥ OA1， BE⊥ OC，所以 ∠ A1OC為二面角 A1－ BE－ C的平面角，所以 ∠ A1OC＝ π2. 如圖，以 O 為原點，建立空間直角坐標系，因為 A1B＝ A1E＝ BC＝ ED＝ 1， BC∥ ED，所以 B( 22 ， 0,0)、 E(－ 22 ， 0,0)、 A(0,0， 22 )、 C(0， 22 ， 0)，得 BC― → ＝ (－ 22 ， 22 ， 0)、A1C― → ＝ (0， 22 ，－ 22 )， CD― → ＝ BE― → ＝ (－ 2， 0,0)． 設(shè)平面 A1BC的法向量 n1＝ (x1，y1， z1)，平面 A1CD的法向量 n2＝ (x2， y2， z2)，平面 A1BC與平面 A1CD夾角為 θ，則 ????? n1A1C― → ＝ 0 ，得 ????? x2＝ 0y2－ z2＝ 0 ，取 n2＝ (0,1,1)， 從而 cos θ＝ |cos〈 n1， n2〉 |＝ 23 2＝ 63 ，即平面 A1BC與平面 A1CD 夾角的余弦值為 63 .
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