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2025-02-10 10:28本頁(yè)面
【正文】 CA→ ＋ AB→ ＋ BD→ )2 ＝ |CA→ |2＋ |AB→ |2＋ |BD→ |2＋ 2|CA→ ||BD→ |cos(180176。. 因此，所求二面角的度數(shù)為 60176。e||AD→ |b＝ 12， ac＝ 0， 又 AD→ ＝ BD→ － BA→ ＝ c－ b， 平面 AA1C1C的法向量 BM→ ＝ 12(a＋ b)． 設(shè)直線 AD與平面 AA1C1C成角為 θ，則 sinθ＝ |cos〈 AD→ ， BM→ 〉 |＝ |AD→ |BM→ |， ∵ AD→ 12(a＋ b) ＝ 12ab＋ 12bc＝ 2， ∴ |AD→ |＝ 2， |BM→ |2＝ 14(a＋ b)2＝ 14(|a|2＋ |b|2＋ 2a 求 AB 的長(zhǎng) ． [解析 ] (1)以 A為原點(diǎn)， AB→ ， AD→ ， AA1→ 的方向分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖 )． 設(shè) AB＝ a，則 A(0,0,0)、 D(0,1,0)、 D1(0,1,1)、 E(a2， 1,0)、 B1(a,0,1)，故 AD1→ ＝ (0,1,1)， B1E→ ＝ (－ a2， 1，－ 1)， AB1→ ＝ (a,0,1)， AE→ ＝ (a2， 1,0)． ∵ AD1→ AD1→|n| ∴ |cosθ|＝ cos30176。福建理 ， 17)如圖 ， 在幾何體 ABCDE 中 ， 四邊形 ABCD是矩形 ， AB⊥ 平面 BEC，BE⊥ EC， AB＝ BE＝ EC＝ 2， G、 F 分別是線段 BE、 DC 的中點(diǎn) ． (1)求證 ： GF∥ 平面 ADE； (2)求平面 AEF 與平面 BEC 所成銳二面角的余弦值 ． [解析 ] 解法一： (1)如圖，取 AE的中點(diǎn) H，連接 HG、 HD，又 G是 BE的中點(diǎn)， 所以 GH∥ AB，且 GH＝ 12AB. 又 F是 CD中點(diǎn)， 所以 DF＝ 12CD， 由四邊形 ABCD是矩形得， AB∥ CD， AB＝ CD，所以 GH∥ DF，且 GH＝ HGFD是平行四邊形， 所以 GF∥ DH. 又 DH? 平面 ADE， GF?平面 ADE, 所以 GF∥ 平面 ADE. (2)如圖，在平面 BEC內(nèi)， 過(guò)點(diǎn) B作 BQ∥ EC，因?yàn)?BE⊥ CE，所以 BQ⊥ BE. 又因?yàn)?AB⊥ 平面 BEC，所以 AB⊥ BE， AB⊥ BQ. 以 B為原點(diǎn)，分別以 BE― → ， BQ― → ， BA― → 的方向?yàn)?x軸、 y軸、 z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(0,0,2)、 B(0,0,0)、 E(2,0,0)、 F(2,2， 1)． 因?yàn)?AB⊥ 平面 BEC，所以 BA― → ＝ (0,0,2)為平面 BEC的法向量 ． 設(shè) n＝ (x， y， z)為平面 AEF的法向量 ． 又 AE― → ＝ (2,0，－ 2)、 AF― → ＝ (2,2，－ 1)， 由????? nAF― → ＝ 0 ，得 ????? 2x－ 2z＝ 02x＋ 2y－ z＝ 0 ， 取 z＝ 2，得 n＝ (2，－ 1,2)． 從而 cos 〈 n， BA― → 〉＝ n|BA― → |＝ 43 2＝ 23， 所以平面 AEF與平面 BEC所成銳二面角的余弦值為 23. 解法二： (1)如圖，取 AB中點(diǎn) M，連接 MG、 MF，又 G是 BE的中點(diǎn)，可知 GM∥ AE， 又 AE? 平面 ADE, GM?平面 ADE， 所以 GM∥ 平面 ADE. 在矩形 ABCD中，由 M、 F分別是 AB、 CD的中點(diǎn)得 MF∥ AD. 又 AD? 平面 ADE, MF?平面 ADE， 所以 MF∥ 平面 ADE. 又因?yàn)?GM∩ MF＝ M， GM? 平面 GMF， MF? 平面 GMF， 所以平面 GMF∥ 平面 ADE， 因?yàn)?GF? 平面 GMF，所以 GF∥ 平面 ADE. (2)同解法一 ． 一、選擇題 1． 已知正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中 ， AA1＝ 2AB， 則 CD 與平面 BDC1所成角的正弦值等于 ( ) B. 33 C. 23 [答案 ] A [解析 ] 如圖，連接 C1O，過(guò) C作 CM⊥ C1O. ∵ BD⊥ 平面 C1CO， ∴ BD⊥ CM， ∵ C1O∩ BD＝ O， ∴ CM⊥ 平面 BC1D， ∴∠ CDM即為 CD與平面 BDC1所成的角， 令 AB＝ 1， ∴ AA1＝ 2， CO＝ 22 ， C1O＝ 22＋ ? 22 ?2＝ 92＝ 32 2， 由 CMCO 得， CM＝ 23， ∴ sin∠ CDM＝ CMCD＝ 23. 2． 把正方形 ABCD 沿對(duì)角線 AC 折起成直二面角 ， 點(diǎn) E、 F分別是 AD、 BC的中點(diǎn) ， O是正方形中心 ， 則折起后 ， ∠ EOF 的大小為 ( ) A． (0176。) B． 90
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