32 第4課時(shí)(文件)
【正文】 12 ， 設(shè)直線 FG與平面 A1ACC1所成角 θ， 則 sinθ＝ |cos〈 n， FG→ 〉 |＝ |n [解析 ] 解法一：連接 BC1，設(shè)與 B1C交于 O點(diǎn)，連接 A1O. ∵ BC1⊥ B1C， A1B1⊥ BC1， A1B1∩ B1C＝ B1. ∴ BC1⊥ 平面 A1B1C， ∴ A1B在平面 A1B1CD內(nèi)的射影為 A1O.∴∠ OA1B就是 A1B與平面A1B1CD所成的角， 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1. 在 Rt△ A1OB中， A1B＝ 2， BO＝ 22 ， ∴ sin∠ OA1B＝ BOA1B＝222＝12.∴∠ OA1B＝ 30176。DC→ ＝ 0， ∴????? x＋ z＝ 0y＝ 0 ，令 z＝－ 1得 x＝ 1. ∴ n＝ (1,0，－ 1)，又 B(1,1,0)， ∴ A1B→ ＝ (0,1，－ 1)， cos〈 n， A1B→ 〉＝ A1B→ . 6． (2021AC→ ＝－ 8＋ 8＝ 0， ∴ BD⊥ AP， BD⊥ AC，又 AP∩ AC＝ A， ∴ BD⊥ 平面 PAC. (2)CQ→ ＝ (0，－ 2 2， 2)． 設(shè)平面 PAC的一個(gè)法向量為 n＝ (x， y， z)，則 ????? n|n|＝ 22 3 62＝ 23 . 故直線 QC與平面 PAC所成角的正弦值為 23 . 8． 如圖 ， 在四棱錐 P－ ABCD中 ， PD⊥ 底 面 ABCD， 底面 ABCD 為正方形 ， PD＝ DC，E、 F 分別是 AB、 PB 的中點(diǎn) ． (1)求證 ： EF⊥ CD； (2)在平面 PAD 內(nèi)求一點(diǎn) G， 使 GF⊥ 平面 PCB， 并證明你的結(jié)論 ； (3)求 DB 與平面 DEF 所成角的正弦值 ． [解析 ] 以 DA、 DC、 DP 所在直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖 )，設(shè)AD＝ a，則 D(0,0,0)、 A(a,0,0)、 B(a， a,0)、 C(0， a,0)、 E(a， a2， 0)、 F(a2， a2， a2)、 P(0,0， a)． (1)EF→ (a,0,0) ＝ a(x－ a2)＝ 0， ∴ x＝ a2； FG→ DE→ ＝ 0， ∴??? ?x， y， z? 6＝ 36 ， ∴ DB與平面 DEF所成角的正弦值為 36 . 9． (2021CD― → ＝ 0n2BC― → ＝ 0n1?a， a2， 0?＝ 0， 即??? a2?x＋ y＋ z?＝ 0ax＋ a2y＝ 0， 取 x＝ 1，則 y＝－ 2， z＝ 1， ∴ n＝ (1，－ 2,1)． cosBD→ ， n＝ BD→ (0，－ a， a) ＝ a22＋ a(z－a2)＝ 0， ∴ z＝ 0. ∴ G點(diǎn)坐標(biāo)為 (a2， 0,0)，即 G點(diǎn)為 AD的中點(diǎn) ． (3)設(shè)平面 DEF的法向量為 n＝ (x， y， z)． 則????? n(0， a,0)＝ 0， ∴ EF⊥ DC. (2)設(shè) G(x,0， z)，則 FG→ ＝ (x－ a2，－ a2， z－ a2)， FG→ AC→ ＝ 0， ∴ ??? 4z＝ 02x＋ 2 2y＝ 0 ， ∴ ????? x＝ 1y＝－ 22z＝ 0. ∴ n＝ (1，－ 22 ， 0)． 設(shè)直線 QC與平面 PAC所成的角為 θ，則 sinθ＝ |cos〈 CQ→ ， n〉 |＝ |CQ→ 黑龍江哈師大附中高二期中測(cè)試 )如圖 ， 在四棱錐 P－ ABCD 中 ， AB∥ CD， AB⊥ AD， AB＝ 4， AD＝ 2 2， CD＝ 2， PA⊥ 平面 ABCD， PA＝ 4. (1)求證 ： BD⊥ 平面 PAC； (2)點(diǎn) Q 為線段 PB 的中點(diǎn) ， 求直線 QC 與平面 PAC 所成角的正弦值 ． [解析 ] 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 A－ xyz. 則 A(0,0,0)、 D(0,2 2， 0)、 B(4,0,0)、 P(0,0,4)、 C(2,2 2， 0)、 Q(2,0,2)． (1)BD→ ＝ (－ 4,2 2， 0)， AP→ ＝ (0,0,4)， AC→ ＝ (2,2 2， 0)， ∴ BD→ 2＝ 12. ∴ 〈 n， A1B→ 〉＝ 60176。. 解法二：以 D為原點(diǎn)， DA、 DC、 DD1分別 x， y， z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1，則 A1(1， 0,1)、 C(0,1,0)． ∴ DA1→ ＝ (1,0,1)、 DC→ ＝ (0,1,0)． 設(shè)平面 A1B1CD的一個(gè)法向量為 n＝ (x， y， z)， 則????? n|FG→ |＝122m|n|BA→ ＝ (x， y， z) B． 60176。OC→ ＋ OD→ 120176。 90176。BA― →|n|即3a22 1＋ 5a
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