20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)25《夾角的計(jì)算》(文件)
【正文】 。.令 y39。) ) CB = 0 ,?? ( 2 , 1 , 0 ) = 0 , 1 2 3 4 ∴ ?? = 2 x ,?? = 0 .令 x= 1 ,則 m = ( 1 , 2 , 0 ) . 設(shè)平面 PBC 的法向量為 n = ( x39。 1 +14+14= 63. 故平面 S C D 和平面 S A B 的夾角的余弦值為 63. 答案 : 63 1 2 3 4 4 . 已知 PA ⊥ 平面 ABC , AC ⊥ BC , P A = A C = 1 , B C = 2 , 求平面 APB 與平面 C P B夾角的余弦值 . 解 :如圖所示 ,建立空間直角坐標(biāo)系 , 則 A ( 0 , 0 , 0 ), B ( 2 , 1 , 0 ), C ( 0 , 1 , 0 ), P ( 0 , 0 , 1 ), ∴ ?? ?? = ( 0 , 0 , 1 ), ?? ?? = ( 2 , 1 , 0 ), ?? ?? = ( 2 , 0 , 0 ), ?? ?? = ( 0 , 1 , 1 ) . 設(shè)平面 PAB 的法向量為 m = ( x , y , z ), 則 ?? ?? ?? = 0 , n ??2| ??1|| ??2|= 105. 故二面角 B PC D 的余弦值為 105. 探究一 探究二 探究三 探究四 錯(cuò)因分析 :二面角的取值范圍是 [ 0 , π ], 平面間的夾角的取值范圍是 0 ,π2 ,錯(cuò)解中將兩角相混淆 ,忽略了二面角既可能是銳角、直角也可能是鈍角 ,應(yīng)仔細(xì)觀察圖形 ,避免出錯(cuò) . 正 解 :由錯(cuò)解得 co s n1, n2=??1 BC = 0 ,??1 3 a= ??2 |?? |. 探究一 探究二 探究三 探究四 設(shè) AC1與側(cè)面 AB1的夾角為 θ , ∵ s in θ =| co s ?? ??1 , n | =12, ∴ θ =π6,即 AC1與側(cè)面 AB1的夾角為π6. 反思 充分利用圖形的幾何特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 ,再用向量的有關(guān)知識(shí)求解線面角 .本題一般的解法是可先求平面法向量與斜線的夾角 ,再進(jìn)行換算 . 探究一 探究二 探究三 探究四 平面間的夾角 利用向量法求平面間的夾角 ,先分別求出兩個(gè)平面的法向量 ,再利用向量的夾角公式求出兩個(gè)法向量的夾角 ,最后根據(jù)平面間的夾角的取值范圍得出結(jié)論 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 4 】 等邊 △ ABC 的邊長(zhǎng)為 4 , CD 是 AB 邊上的高 , E , F 分別是 AC 和 BC 邊上的中點(diǎn) ( 如圖 ① ), 現(xiàn)將 △ A B C 沿 CD 翻折成直二面角A DC B ( 如圖 ② ) . 求平面 A B D 與平面 EFD 夾角的余弦值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 :由已知 CD ⊥ AD , CD ⊥ BD , ∴∠ A DB 就是直二面角 A CD B 的平面角 , ∴ AD ⊥ B D. 以 D 為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則 D ( 0 , 0 , 0 ), A ( 0 , 0 , 2 ), B ( 2 , 0 , 0 ), C ( 0 , 2 3 , 0 ), ∵ E , F 分別是 AC , BC 的中點(diǎn) , ∴ E ( 0 , 3 , 1 ), F ( 1 , 3 , 0 ), 則 ?? ?? = ( 0 , 3 , 1 ), ?? ?? = ( 1 , 3 , 0 ) .設(shè) m = ( x , y , z ) 是平面DE F 的法向量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 由 ?? ?? ?? = 0 ,且 n 另一種是利用平面 AB 1 的法向量 n = ( λ , x , y ) 求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : ( 方法一 ) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 , 則 A ( 0 , 0 , 0 ), B ( 0 , a , 0 ), A1( 0 , 0 , 2 a ), C1 32a ,??2, 2 a . 取 A1B1的中點(diǎn) M , 則 M 0 ,??2, 2 a ,連接 AM , MC1, 有 ?? ??1 = 32a , 0 , 0 , ?? ?? = ( 0 , a , 0 ), ?? ??1 = ( 0 , 0 , 2 a ) . ∴ ?? ??1 2 ??2 = 12. ∴ ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? =2 π3.
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