【正文】 常會(huì)涉及到初等數(shù)學(xué)建模方法。 走路問題 人在勻速行走時(shí)，步行多大最省勁？把人行走時(shí)做的功看作是人體重心的勢(shì)能和兩腳運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和。 3m l2 由 nx=v,得 n=Mgml34 若取 M:m=4:1,代入且 近似取 l=1(米 )，可得 n≈ 5,即每秒 5 步，顯然太快了， 模型修改：是腿重集中在腳上，人行走所需動(dòng)能為腳的直線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，則有E 動(dòng)能 =21 mv2 ①按月存款和利息時(shí)，每月的利息為 121 1002 =6001 記 xk 為第 k月末時(shí)的養(yǎng)老金數(shù)，則由題意得 x1 =100 x2 =100+100（ 1+6001 ） +? +100 ? ?1)1 0 021(21 0 0 5 ?? mmm =60000? ?1)10021( 5 ?? mm （元） =60000? ?1)5011( 5 ?? mm 令 m ?? ,即得連續(xù)存款和利息時(shí)， 5 年后的養(yǎng)老金為： 5 Z=lim??m60000 ???? 1)10021( 5mm =60000(e101 1)元≈ 元 觀察這三種不同情況下復(fù)利的計(jì)算問題，可以看出，將 1 年份為 m等份，得出的計(jì)算公式⑴具有一般性。 2 微分方程建模方法 在大多賽題中，要直接找出某些量之間的關(guān)系往往比較困難，但有時(shí)考慮其微小增量或變化率與這些變量之間的關(guān)系確是容易的，這種情形下我們常常采用微分關(guān)系式去描述其關(guān)系 。不妨設(shè) t 時(shí)刻容器中溶質(zhì)質(zhì)量為 s(t)，初始值為 s0 ,t 時(shí)刻容器中溶液體積為 V（ t），初 始 值為 V0 ，則這段時(shí)間 ???? ttt, 內(nèi)有??? ?????????? tvtvV tvctvcs212211 （ 1） 6 其中 ， c1 表示單位時(shí)間內(nèi)注入溶液的濃度， c 2 表示單位時(shí)間內(nèi)流出溶液的濃度，當(dāng)△t 很小時(shí)，在 ???? ttt, 內(nèi) c2 ≈)()(tVts=tvvV ts )( )( 210 ?? （ 2） 對(duì)式（ 1）兩端同除以 t? ，令 t? → 0，則有 ???????????????00212211)0(,)0( VVssvvdtdVvcvcdtds （ 3） 此即問題的數(shù)學(xué)模型。 （ 1）按實(shí)驗(yàn)定律或規(guī)律建立的微分方程模型。 求解某些實(shí)際問題時(shí)，尋求一些微元之間的關(guān)系可以建立問題的數(shù)學(xué)模型。 在許多實(shí)際問題中，有些現(xiàn)象的規(guī)律性并非一目了然，或有所了解亦是復(fù)雜的，這類問題常用近似模擬方法來建立問題的數(shù)學(xué)模型。這些量是變量，通常這些變量為離散型變量。任取時(shí)段【 t ,t +dt 】，在此時(shí)段中的出生人數(shù)為 b )(tp dt ，死亡人數(shù)為 d )(tp dt 。 模型參數(shù)的意義和作用： t 0 為初始時(shí)刻（初始年度）， p0 為初始年度 t 0 的人口總數(shù)，a 為每年的人口凈增長(zhǎng)率， b 為人口出生率， d 為人口死亡率。 如 果（ 2）有形如 nnx ?? 的解，帶入方程中可得： 0... 1110 ????? ?? kkkk aaaa ??? （ 3） 稱方程（ 3）為方程（ 1）、（ 2）的特征方程。 例如：如果 )(),()( npnpbnb mmn? 為 n 的多項(xiàng)式，則當(dāng) b 不是特征根時(shí)，可設(shè)成形如 )(nqb mn 形式的特解，其中 )(nqm 為 m 次多項(xiàng)式；如果 b 是 r 重根時(shí)，可設(shè) 特解：rnb )(nqm ，將其代入（ 8）中確定出系數(shù)即可。然而 Lagrange 插值有很多種， 1 階， 2 階 ,? n 階。 ① 線性插值公式 )1(1L ： 設(shè)已知 0x ， 1x 及 0y =f( 0x ) , 1y =f( 1x ), )(1xL 為不超過一次多項(xiàng)式且滿足 )( 01 xL = 0y , )(11xL = 1y ,幾何上， )(1xL 為過（ 0x ， 0y ），（ 1 x ， 1y ）的直線，從而得到 )(1xL = 0y + 01 01 xxyy??（ x 0x ） . （ 2） 為了推廣到高階問題，我們將式（ 2）變成對(duì)稱式 )(1xL =0l （ x） 0y +1l (x) 1y . 其中， 0l （ x） = 101xx xx?? ,1l (x)= 010xx xx?? 。 （ 3） ② n 階 Lagrange 插值公式 )(xLn ： 設(shè)已知 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx 及 iy =f( ix )(i=0,1,.....,n), )(xLn為不超過 n 次多項(xiàng)式且滿足 iin yxL ?)( （ i=0,1,...n） . 易知 )(xLn =0l （ x） 0y +....+ )(xln ny . 其中， )(xli 均為 n 次多項(xiàng)式且滿足式（ 3）（ i,j=0,1,...,n） ,再由 jx （ j? i）為 n 次多項(xiàng)式)(xli 的 n 個(gè)根知 )(xli =c????niijjxx0.最后，由 ???? ???1)()(0nijjjiji xxcxlc=????nijjji xx0)(1,i=0,1,...,n. 12 總之， )(xLn = ini i yxl??0 )( ， )(xli =.0??? ??nijj jijxx xx式為 n 階 Lagrange 插值公式，其中， )(xli（ i=0,1,...n）稱為 n 階 Lagrange 插值的基函數(shù)。都對(duì)應(yīng)于 xy 平面上一個(gè)點(diǎn)。 在 Nm的情況下，式（ 002）成為矛盾方程組，不能直接用解方程的方法求得 m個(gè)參數(shù)值，只能用曲線擬合的方法來處理。考慮各次測(cè)量是相互獨(dú)立的，故觀測(cè)值（ y1， y2，?? cN）的似然函數(shù) ? ? ? ?? ? ?????????? ??? ??Ni iiNN CxfyL 1 2 221 。因權(quán)重因子 2/1 ii ?? ? ，故式 13 （ 003）表明，用最小二乘法來估計(jì)參數(shù)，要求各測(cè)量值 yi 的偏差的加權(quán)平方和為最小。 21 。1? （ 006） 可以證明， 2minx 服從自由度 v＝ Nm的 x2 分布，由此可對(duì)擬合結(jié)果作 x2 檢驗(yàn)。線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個(gè)重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法，研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問題的數(shù)學(xué)理論和方法。 f（ x）稱為目標(biāo)函數(shù)， gi （ x）≤ 0 稱為約束條件。 第二步：找出所有的限制，即約束條件，并用決策變量的線性方程或線性不等式來表示。 需要特別說明的是： 要使用線性規(guī)劃方法來處理一個(gè)實(shí)際問題，必須具備下面的條件： 問題的目標(biāo)有極大化或極小化的要求 ,而且能用決策變量的線性函數(shù)來表示。 為了便于研究線性規(guī)劃問題的理論與一般解法，人們需要將任意一個(gè)線性規(guī)劃問題化為標(biāo)準(zhǔn)形式。此時(shí)，相應(yīng)的模型應(yīng)為什么？ 這類問題的一般提法是：設(shè)某種原材料截取零件為 nAAA , 21 ? 的毛坯，由以往的經(jīng)驗(yàn)，在一件原材料上可以有 nBBB ?, 21 種不同的下料方式，每種下料方式可截得各 種毛坯的個(gè)數(shù)以及每種零件的需要量已經(jīng)給出。 圖論方法已經(jīng)成為數(shù)學(xué)模型中的重要方法。要說明的是，這里圖論只是解決問題的一種方法，而不是唯一的方法。我們規(guī)定連接兩個(gè)頂點(diǎn) u、 v 至多有一條邊，且一條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)不重合，這種圖稱為簡(jiǎn)單圖。圖 G 的度數(shù)之和為邊數(shù)的兩倍。 6． 一個(gè)無圈的連通圖稱為樹。生成樹一般而言數(shù)量很大。 G 的權(quán)最小的生成樹稱為 G 的最小生成樹。 基本思想：從起點(diǎn) v0 開始，逐步尋找到達(dá)各點(diǎn)的最短路，在每一步都對(duì)頂點(diǎn)記錄一個(gè)數(shù)，稱之為該點(diǎn)的標(biāo)號(hào)，它表示 v0 到該點(diǎn)的最短距離的上界，或就是 v0 到該點(diǎn)的最短距離。 (2) 對(duì) v?Si， min{l(v)， l(vi)+w(viv)}代替 l(v)；這樣找到點(diǎn) vi＋ 1 使得 l(v)取最小值，v(i＋ 1)?(Si 的余集 )。 求最小生成樹 背景：筑路選線問題 欲修筑連接 n 個(gè)城市的鐵路，已知 i 城與 j 城之間的鐵路造價(jià)為 Cij。這個(gè)問題可由克羅斯克爾 (Kruskal)算法解決。即選 e1?E，使得 w(e1)＝ min。 (3) 重復(fù)步驟 (2)，直到 T 中有 m－ 1 條邊為止。當(dāng)孤立粒子系統(tǒng)的溫度以足夠慢的速度下降時(shí)，系統(tǒng)近似處于熱力學(xué)平衡狀態(tài)，最后系統(tǒng)將達(dá)到本身的最低能量狀態(tài)，即基態(tài)，這相當(dāng)于能量函數(shù)的全局極小點(diǎn)。 應(yīng)用舉例 CMCM91B(通訊網(wǎng)絡(luò)中的極小生成樹 )是一個(gè)求 STEINER 生成樹問題 。具體算法描述如下： 步 1： 設(shè)定初始溫度 T，給定一個(gè)初始的巡視路線。 23 致 謝 四年的大學(xué)生活轉(zhuǎn)眼就要說再見了， 當(dāng)自己終于可以從考研、找工作、畢業(yè)論文的壓力下解脫出來，長(zhǎng)長(zhǎng)地吁出一口氣時(shí)，我忽然間才意識(shí)到，原來四年已經(jīng)過去，到了該告別的時(shí)候了。從開始的新奇，到后來的迷茫，再到后來的堅(jiān)定和努力。這篇畢業(yè)論文從開題、資料查找、修改到最后定稿，如果沒有她的 心血，尚不知以何等糟糕的面目出現(xiàn)。感謝所有關(guān)心、鼓勵(lì)、支持我的家人、親戚和朋友。 感謝和我共度四年美好大學(xué)生活的 2020 級(jí)數(shù)學(xué)系本科班的全體同學(xué)。我會(huì)始終帶著感恩去銘記這里，去銘記我的恩師們，你們辛苦了。