【正文】 題中，許多數(shù)據(jù)都是以等間隔時間周期統(tǒng)計的。 在許多實際問題中，有些現(xiàn)象的規(guī)律性并非一目了然，或有所了解亦是復(fù)雜的，這類問題常用近似模擬方法來建立問題的數(shù)學模型。此建模方法的出發(fā)點是考察某一變量的微小變化，即微元分析，找出其他一些變量與該微元間的關(guān)系式，從微分定義出發(fā)建立問題的數(shù)學模型。 求解某些實際問題時，尋求一些微元之間的關(guān)系可以建立問題的數(shù)學模型。此法建模要求建模者有寬廣的知識視野才能對耨寫具體問題采用某些熟知的實驗定律。 （ 1）按實驗定律或規(guī)律建立的微分方程模型。實際中，對面許多時變問題都可取微小的時間段 t? 去考察某些量之 間的變化規(guī)律，從而建立問題的數(shù)學模型，這是數(shù)學建模中微分建模常用手段之一。不妨設(shè) t 時刻容器中溶質(zhì)質(zhì)量為 s(t)，初始值為 s0 ,t 時刻容器中溶液體積為 V（ t），初 始 值為 V0 ，則這段時間 ???? ttt, 內(nèi)有??? ?????????? tvtvV tvctvcs212211 （ 1） 6 其中 ， c1 表示單位時間內(nèi)注入溶液的濃度， c 2 表示單位時間內(nèi)流出溶液的濃度，當△t 很小時，在 ???? ttt, 內(nèi) c2 ≈)()(tVts=tvvV ts )( )( 210 ?? （ 2） 對式（ 1）兩端同除以 t? ，令 t? → 0，則有 ???????????????00212211)0(,)0( VVssvvdtdVvcvcdtds （ 3） 此即問題的數(shù)學模型?？催@樣一個問題：有一容器裝有某種濃度的溶液，以流量 v1 注入該容器濃度為 c1 的同樣溶液，假定溶液立即被攪拌均勻，并以 v2 的流量流出混合后的溶液，試建立反映容器內(nèi)濃度變化的數(shù)學模型 。 2 微分方程建模方法 在大多賽題中，要直接找出某些量之間的關(guān)系往往比較困難，但有時考慮其微小增量或變化率與這些變量之間的關(guān)系確是容易的，這種情形下我們常常采用微分關(guān)系式去描述其關(guān)系 。另外，mm 5)5011( ? 是 m的單調(diào)函數(shù)，所以計算間隔越小， 5 年后的養(yǎng)老金數(shù)就越多，但不會超過連續(xù)存款和計息的極限值。 ? ?1)1 0 021(21 0 0 5 ?? mmm =60000? ?1)10021( 5 ?? mm （元） =60000? ?1)5011( 5 ?? mm 令 m ?? ,即得連續(xù)存款和利息時， 5 年后的養(yǎng)老金為： 5 Z=lim??m60000 ???? 1)10021( 5mm =60000(e101 1)元≈ 元 觀察這三種不同情況下復(fù)利的計算問題，可以看出，將 1 年份為 m等份，得出的計算公式⑴具有一般性。 (1+r)= 3651200+ yk (1+365002 ) 從第一天開始遞推為 y1 =a y2 =a+a(1+r) y3 = a+a(1+r) +a(1+r)2 ? ? ? yn = a+a(1+r) +a(1+r)2 +? + a(1+r) 1?n =a nrr)1(1 )1(1 ?? ??=ra ? nr)1( ? 1? 在 5 年末時的養(yǎng)老金數(shù)為： （ 5 年 =5 365=1825） y1825 =ra ? 1825)1( r? 1? = 3651200 236500 ? 1825)3650021( ? 1? ≈ 元 ③當存款和復(fù)利連續(xù)計算時，將 1 年分成 m 個相等的時間區(qū)間，則在每個時間區(qū)間中，存款為 m1200，每個區(qū)間的利息為 m1002 ,記第 k個區(qū)間養(yǎng)老金的數(shù)目為 zk ,類似與前面分析，5年后養(yǎng)老金為 zm5 = m1200（ 1+6001 ） +? +100（ 1+6001 ） +100 ①按月存款和利息時，每月的利息為 121 1002 =6001 記 xk 為第 k月末時的養(yǎng)老金數(shù)，則由題意得 x1 =100 x2 =100+100 銀行復(fù)利問題 一個人為了積累養(yǎng)老金，他每月按時到銀行存 100 元，銀行的年利率 2﹪，且可以任意分段按復(fù)利計算。由 nx=v,得 n=Mgml34 若取 M:m=4:1,代入且 近似取 l=1(米 )，可得 n≈ 5,即每秒 5 步，顯然太快了， 模型修改：是腿重集中在腳上，人行走所需動能為腳的直線運動的動能，則有E 動能 =21 mv2 在⑴中，求 P的駐點，令 dxdp =0，解得 x=v 3m l2 設(shè)人體重 M，腿重為 m ,腿長為 l ,步長為 x ，速度為 v ，單位時間內(nèi)步數(shù)為 n. 則 nxv? 由已知， 人行走時所作的功是抬高人體重心所需勢能與兩腿運動所需動能之和。 走路問題 人在勻速行走時，步行多大最省勁？把人行走時做的功看作是人體重心的勢能和兩腳運動的動能之和。初等數(shù)學建模方法很多，有比例關(guān)系、狀態(tài)轉(zhuǎn)移、量綱分析、類比建模等。 2 1 初等數(shù)學建模方法 在數(shù)學建模競賽中，常會涉及到初等數(shù)學建模方法。一般都有一個比較確切的現(xiàn)實問題 。參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、計算方法的設(shè)計和計算機實現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗、模型的改進等方面的論文。競賽題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學等方面經(jīng)過適當簡化加工的實際問題，不要求參賽者預(yù)先掌握深入的專門知識，只需要學過高等學校的數(shù)學課程。特此鄭重聲明。 邯鄲學院本科畢業(yè)論文 題 目 全國大學生數(shù)學建模競賽常用建模方法探討 鄭重聲明 本人的畢業(yè)論文（設(shè)計）是在指導教師 閆峰 的指導下獨立撰寫完成的。如有剽竊、抄襲、造假等違反學術(shù)道德、學術(shù)規(guī)范和侵權(quán)的行為，本人愿意承擔由此產(chǎn)生的各種后果，直至法律責任，并愿意通過網(wǎng)絡(luò)接受公眾的監(jiān)督。 畢業(yè)論文（設(shè)計）作者（簽名）： 年 月 日 I 全國大學生數(shù)學建模競賽常用建模方法探討 摘 要 [請單擊此處，然后輸入中文摘要內(nèi)容 ] 關(guān)鍵 詞 ： 數(shù)學建模競賽 初等方法 建模方法 微分方程 圖論 線性規(guī)劃 II Commonly used modeling method of the National Mathematical Contest in Modeling Chai yunfei Directed by Professor Yanfeng ABSTRACT [在此處輸入英文摘要內(nèi)容 ] KEY WORDS： mathematical contest elementary method modeling method differential equations graph theory linear programming 1 目 錄 全國大學生數(shù)學建模競賽常用建模方法探討 ..............................I 前 言 ..............................................................1 1 初等數(shù)學建模方法 ..................................................2 走路問題 ....................................................2 銀行復(fù)利問題 ................................................3 2 微分方程建模方法 ..................................................5 微分方程建模原理和方法 ......................................5 人才分配問題模型 ............................................7 3 差分和代數(shù)建模方法 ................................................8 Malthus 人口模型 .............................................8 線性差分方程的解法 ..........................................9 4 數(shù)據(jù)差值與擬合方法 ...............................................10 拉格朗日插值法 .............................................10 最小二乘法 .................................................12 5 線性規(guī)劃建模方法 .................................................13 線性規(guī)劃的一般理論 .........................................14 合理下料問題 ...............................................1