【導(dǎo)讀】如有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)的行為，本人。的基礎(chǔ)性學(xué)科競賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競賽。識，只需要學(xué)過高等學(xué)校的數(shù)學(xué)課程。題目有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力。實現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗、模型的改進等方面的論文。賽題一般涉及面寬--有社會，經(jīng)濟，管理，生活，環(huán)境，自然現(xiàn)象，工程技術(shù)，現(xiàn)代科學(xué)中出現(xiàn)的新問題等。較確切的現(xiàn)實問題。求解，此類模型稱之為初等數(shù)學(xué)模型。初等數(shù)學(xué)建模方法很多，有比例關(guān)系、狀態(tài)轉(zhuǎn)移、量綱分析、類比建模等。本章主要列舉了走路問題與銀行復(fù)利問題，問題中涉及到了一些。方法，通過這些知識方法的巧妙應(yīng)用，可以開拓思路，提高分析解決實際問題的能力。試在此基礎(chǔ)上，建立數(shù)學(xué)模型并對所得結(jié)果進行評價。設(shè)人體重M，腿重為m,腿長為l,步長為x，速度為v，單位時間內(nèi)步數(shù)為n.則nxv?由已知，人行走時所作的功是抬高人體重心所需勢能與兩腿運動所需動能之和。

　　

【正文】 ei?E， vj?V， ei 與 vi1， vi 關(guān)聯(lián)，稱 W 是圖 G 的一條道路。 v0 是起點， vk 是終點；各邊相異的道路叫做行跡，各頂點相異的道路叫做軌道；起點和終點重合的道路為回路；起點和終點重合的軌道為圈；包含圖中每條邊的回路稱為Euler 回路；含 Euler 回路的圖稱為 Euler 圖。 6． 一個無圈的連通圖稱為樹。樹是最簡單而最重要的一類圖。樹有下列重要性質(zhì)： 7． 如果圖 G=（ V， E）的子圖 Gt=（ Vt， Et）是一個樹，且 Vt=V，稱 G t 是 G 的生成樹。G 連通的充要條件是 G 有生成樹。生成樹一般而言數(shù)量很大。 8． 設(shè)對圖 G=（ V， E）的每一條邊 e 賦予一個實數(shù) W（ e），稱為 e 的權(quán)， G 稱為賦權(quán)圖(加權(quán)圖 )。 假設(shè) G 是連通的賦權(quán)圖，要找 G 的連通子圖 G *=（ V， E*），使得 W（ G*） =??Ee eW )(為最小。顯然 G*應(yīng)為 G 的一個生成樹。 G 的權(quán)最小的生成樹稱為 G 的最小生成樹。 18 最短軌道問題 背景：給定連接若干城市的鐵路網(wǎng)，尋求從指定城市 v0 到各城 v 去的最短道路。 數(shù)學(xué)模型：圖 G 為一賦權(quán)圖，對任給的 v?V(G)，尋求軌道 P(v0,v)，使得 W(P(v0,v))=min{W(P),P 取自所有 v0 到 v 的軌道集合 } 其中 W(P)是軌道 P 上各邊 權(quán)之和。 這一問題可用迪克斯特拉 (Dijkstra)算法解決。 基本思想：從起點 v0 開始，逐步尋找到達各點的最短路，在每一步都對頂點記錄一個數(shù)，稱之為該點的標號，它表示 v0 到該點的最短距離的上界，或就是 v0 到該點的最短距離。實際上每一步都通過把至少一個具有 T 標號的點變成 P 標號 (即把一個不是最短距離標號的頂點變成是最短距離標號的頂點 )，這樣最多經(jīng)過 |V(G)|1 步就可完成。 步驟：記 l(v)為 v0 到 v 的距離。 (1) l(v0)=0， l(v) = ?， (v?v0)； S0={v0}， i=0。 (2) 對 v?Si， min{l(v)， l(vi)+w(viv)}代替 l(v)；這樣找到點 vi＋ 1 使得 l(v)取最小值，v(i＋ 1)?(Si 的余集 )。令 S(i＋ 1)＝ Si＋ {v(i+1)}。 (3) i=|V(G)|1 時停止，否則， i+1，轉(zhuǎn)到 (2)。 實例： CMCM94A－公路選址問題。 求最小生成樹 背景：筑路選線問題 欲修筑連接 n 個城市的鐵路，已知 i 城與 j 城之間的鐵路造價為 Cij。設(shè)計一個線路圖，使總造價最低。 分析：選線問題的數(shù)學(xué)模型是在連通加權(quán)圖上求權(quán)最小的連通生成子圖。顯然，權(quán)最小的連通生成子圖是一個生 成樹，即求取連通加權(quán)圖上的權(quán)最小的生成樹， 這就歸結(jié)為最小生成樹問題 。這個問題可由克羅斯克爾 (Kruskal)算法解決。 思路：從“邊”著手選最小生成樹。 步驟：設(shè) G 為由 m個節(jié)點組成的連通賦權(quán)圖。 (1) 先把 G 中所有的邊按權(quán)值大小由小到大重新排列，并取權(quán)最小的一條邊為樹 T 中的邊。即選 e1?E，使得 w(e1)＝ min。 (2) 從剩下的邊中按 (1)中的排列取下一條邊。若該邊與前面已取進 T 中的邊構(gòu)成一個回路，則舍棄該邊，否則也把它取進 T 中。若 e1， e2，?， ei 已經(jīng)選好，則從 E－ {e1， e2，?，ei}中選取 ei＋ 1，使得 G[{e1， e2，?， ei， ei+1}]中無圈，且 w(ei+1)=min。 (3) 重復(fù)步驟 (2)，直到 T 中有 m－ 1 條邊為止。則 T 為 G 的最小生成樹。 該算法的復(fù)雜度為 O(eloge)，其中 e 是圖 G 中的邊數(shù)。 19 模擬退火法原理 模擬退火法 (Simulated annealing, SA)是模擬熱力學(xué)中經(jīng)典粒子系統(tǒng)的降溫過程，來求解極值 問題 。當孤立粒子系統(tǒng)的溫度以足夠慢的速度下降時，系統(tǒng)近似處于熱力學(xué)平衡狀態(tài)，最后系統(tǒng)將達到本身的最低能量狀態(tài)，即基態(tài)，這相當于能量函數(shù)的全局極小點。 其步驟如下 (也 稱為 Metropolis 過程 )： （ 1） 給定初始溫度 T0，及初始點，計算該點的函數(shù)值 f(x)。 （ 2） 隨機產(chǎn)生擾動 Δx，得到新點 x′=x+Δx，計算新點函數(shù)值 f(x′),及函數(shù)值差Δf=f(x′)f(x)。 （ 3） 若 Δf≤0，則接受新點，作為下一次模擬的初始點； （ 4） 若 Δf0，則計算新點接受概率： ，產(chǎn)生 ［ 0， 1］區(qū)間上均勻分布的偽隨機數(shù) r,r∈ ［ 0,1］，如果 p(Δf)≥r，則接受新點作為下一次模擬的初始點；否則放棄新點，仍取原來的點作為下一次模擬的初始點。 應(yīng)用舉例 CMCM91B(通訊網(wǎng)絡(luò)中的極小生成樹 )是一個求 STEINER 生成樹問題 。 CMCM 97A 題 97 年全國大學(xué)生數(shù)模競賽 A 題 “零件的參數(shù)設(shè)計 ”，可以歸結(jié)為非線性規(guī)劃模型，由于目標函數(shù)很復(fù)雜，且又是一個多維函數(shù)，因此求解比較困難，為應(yīng)用模擬退火法進行求解，將 7 個自變量的取值范圍進行離散化，取步長為 ， 這樣 ， 所有 7 個變量取值就組成了一個極為龐大的離散空間 , 而這個問題變成組合優(yōu)化模型。 這個問題算法 的 狀態(tài)調(diào)整規(guī)則是：每次從 7 個自變量中隨機選取 14 個，讓選取的自變量隨機移動，考慮選取的自變量在兩個方向移動組合，從中選取最佳的作為候選者，自變量移動的距離隨著溫度的降低而減少，為避免陷入局部極小，可以從多個隨機選取的初始值開始計算 ，算法的其它步驟同上 。 CMCM 98B 題 98 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 B 題 “水災(zāi)巡視問題 ”，是一個推銷員問題，本題有 53個點，所有可能性大約為 exp(53),目前沒有好 方法求出精確解，既然求不出精確解，我們使用模擬退火法求出一個較優(yōu)解 ， 將所有結(jié)點編號為 1 到 53， 1 到 53 的排列就是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) ， 結(jié)構(gòu)的變化規(guī)則是 ： 從 1 到 53 的排列中隨機選取一個子排列 ， 將其反轉(zhuǎn)或?qū)⑵湟浦亮硪惶?， 能量 E 自然是路徑總長度。具體算法描述如下： 步 1： 設(shè)定初始溫度 T，給定一個初始的巡視路線。 步 2：步 3 8 循環(huán) K 次 20 步 3：步 47 循環(huán) M 次 步 4：隨機選擇路線的一段 步 5：隨機確定將選定的路線反轉(zhuǎn)或移動，即兩種調(diào)整方式：反轉(zhuǎn)、移動。 步 6：計算代價 D，即調(diào)整前后的總路程的長度之差 步 7：按照如下 規(guī)則確定是否做調(diào)整： 如果 D0， 則調(diào)整 如果 D0， 則按照 EXP(D/T)的概率進行調(diào)整 步 8： T*T， 降溫 參考文獻 [1] 姜啟源等編著 .數(shù)學(xué)模型［ M］ .北京：高等教育出版社， 2020 [2] 徐全智 ， 楊晉浩編 著 .數(shù)學(xué)建模入門 ［ M］ .四川： 成都電子科大出版社， 1996 [3] 劉來福，曾文藝編著 .問題解決的數(shù)學(xué)模型方法 ［ M］ .北京： 北京師范大學(xué)出版社，1999 [4] 朱道元等編著 .數(shù)學(xué)建模案例精選 [M].北京：科學(xué)出版社， 2020 [5] 齊歡編著 .數(shù)學(xué)模型方法 ［ M］ .武 漢： 華中理工大學(xué)出版社， 1996 [6] 汪國強 編著 .數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀案例選編 [M].廣州： 華南理工大學(xué)出版社， 1998 21 [7] 華羅庚，王 元編著． 數(shù)學(xué)模型選談 ［ M］ ．湖南： 湖南教育出版社 ， 1991 [8] Saaty TL. The Analytic Hierarchy Process ［ M］ .Mcgraw 2 Hill,1980 [9] 楊學(xué)楨 .數(shù)學(xué)建模方法 [M].保定：河北大學(xué)出版社， 2020 [10]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松 .常微分方程 [M].北京：高等教育出版社， 1983 [11]王興宇，樊愷 .數(shù)學(xué)模型方法 [M].武漢：華中理工大學(xué)出版社， 1996 22 附 錄 論文的附錄依序編排為附錄 A，附錄 B… 。附錄中的圖 、 表 、 公式 、 參考文獻 另編排序號，與正文分開 ， 一律用阿拉伯數(shù)字編碼，但在編碼前冠以附錄序碼，如：圖 A1；表B2；式 (B3)；文獻 [A5]等 。 23 致 謝 四年的大學(xué)生活轉(zhuǎn)眼就要說再見了， 當自己終于可以從考研、找工作、畢業(yè)論文的壓力下解脫出來，長長地吁出一口氣時，我忽然間才意識到，原來四年已經(jīng)過去，到了該告別的時候了。一念至此，竟有些恍惚，所謂白駒過隙、百代過客云云，想來便是這般惆悵了。 可 是悵然之后，總要說些什么。大學(xué)四年， 雖然讀的是一所二流的大學(xué)，而且處在一個大學(xué)生泛濫的時代，我們的學(xué)歷顯得那么的微不足道，但是我依然踏踏實實的過完了這四年。從開始的新奇，到后來的迷茫，再到后來的堅定和努力。我無愧于這四年的大學(xué)生活，在即將給它畫上句號的時候，我還是會帶著微笑去回憶，這四年我成長了許多，從那么的稚嫩、懵懂變得成熟穩(wěn)重。我會始終帶著感恩去銘記這里，去銘記我的恩師們，你們辛苦了。 我在這里首先要感謝的是我的學(xué)位論文指導(dǎo) 老師 —— 閆峰 老師。這篇畢業(yè)論文從開題、資料查找、修改到最后定稿，如果沒有她的 心血，尚不知以何等糟糕的面目出現(xiàn)。我很自豪有這樣一位老師，她值得我感激和尊敬。 感謝和我共度四年美好大學(xué)生活的 2020 級數(shù)學(xué)系本科班的全體同學(xué)。感謝數(shù)學(xué)系 的所有授課老師， 以及實習(xí)學(xué)校的指導(dǎo)老師， 你們使我終身受益。感謝所有關(guān)心、鼓勵、支持我的家人、親戚和朋友。