【正文】 五年末養(yǎng)老金為 x60 =10060)60011(1)60011(1???? =60000? 60)60011( ? 1? 元≈ 元 ②當(dāng)復(fù)利和存款按日計(jì)算時(shí)，記 yk 為第 k天的養(yǎng)老金數(shù)，則每天的存款額為 a= 3651200 ,每天的利率為 r=365002 .第 k+1 天的養(yǎng)老金數(shù)量與第 k天的養(yǎng)老金數(shù)量的關(guān)系為 y 1?k = 3651200+ yk (1+r)= 3651200+ yk (1+365002 ) 從第一天開始遞推為 y1 =a y2 =a+a(1+r) y3 = a+a(1+r) +a(1+r)2 ? ? ? yn = a+a(1+r) +a(1+r)2 +? + a(1+r) 1?n =a nrr)1(1 )1(1 ?? ??=ra ? nr)1( ? 1? 在 5 年末時(shí)的養(yǎng)老金數(shù)為： （ 5 年 =5 365=1825） y1825 =ra ? 1825)1( r? 1? = 3651200 236500 ? 1825)3650021( ? 1? ≈ 元 ③當(dāng)存款和復(fù)利連續(xù)計(jì)算時(shí)，將 1 年分成 m 個(gè)相等的時(shí)間區(qū)間，則在每個(gè)時(shí)間區(qū)間中，存款為 m1200，每個(gè)區(qū)間的利息為 m1002 ,記第 k個(gè)區(qū)間養(yǎng)老金的數(shù)目為 zk ,類似與前面分析，5年后養(yǎng)老金為 zm5 = m1200mmm5)10021(1)10021(1???? =m1200 ? ?1)1 0 021(21 0 0 5 ?? mmm =60000? ?1)10021( 5 ?? mm （元） =60000? ?1)5011( 5 ?? mm 令 m ?? ,即得連續(xù)存款和利息時(shí)， 5 年后的養(yǎng)老金為： 5 Z=lim??m60000 ???? 1)10021( 5mm =60000(e101 1)元≈ 元 觀察這三種不同情況下復(fù)利的計(jì)算問題，可以看出，將 1 年份為 m等份，得出的計(jì)算公式⑴具有一般性。當(dāng) m 分別取 12 和 365 時(shí)，就是前兩種情況下的計(jì)算公式。另外，mm 5)5011( ? 是 m的單調(diào)函數(shù)，所以計(jì)算間隔越小， 5 年后的養(yǎng)老金數(shù)就越多，但不會(huì)超過連續(xù)存款和計(jì)息的極限值。 由于存款和計(jì)息的間隔越小 時(shí)，收益越大，且不需要一次到銀行存較多的現(xiàn)金而是分批逐漸存入，對(duì)投資者的資金周轉(zhuǎn)有利，所以在銀行按復(fù)利計(jì)算時(shí)，建議存款者盡量采用小間隔的策略。 2 微分方程建模方法 在大多賽題中，要直接找出某些量之間的關(guān)系往往比較困難，但有時(shí)考慮其微小增量或變化率與這些變量之間的關(guān)系確是容易的，這種情形下我們常常采用微分關(guān)系式去描述其關(guān)系 。 微分方程建模原理和方法 一般來說，任何事變問題中隨時(shí)間變化發(fā)生變化的量與其它一些量之間的關(guān)系經(jīng)常以微分方程的形式來表現(xiàn)。看這樣一個(gè)問題：有一容器裝有某種濃度的溶液，以流量 v1 注入該容器濃度為 c1 的同樣溶液，假定溶液立即被攪拌均勻，并以 v2 的流量流出混合后的溶液，試建立反映容器內(nèi)濃度變化的數(shù)學(xué)模型 。 注意到 溶液濃度 =溶液體積溶質(zhì)質(zhì)量 因此，容器中溶液濃度會(huì)隨溶質(zhì)質(zhì)量和溶液體積變化而發(fā)生變化。不妨設(shè) t 時(shí)刻容器中溶質(zhì)質(zhì)量為 s(t)，初始值為 s0 ,t 時(shí)刻容器中溶液體積為 V（ t），初 始 值為 V0 ，則這段時(shí)間 ???? ttt, 內(nèi)有??? ?????????? tvtvV tvctvcs212211 （ 1） 6 其中 ， c1 表示單位時(shí)間內(nèi)注入溶液的濃度， c 2 表示單位時(shí)間內(nèi)流出溶液的濃度，當(dāng)△t 很小時(shí)，在 ???? ttt, 內(nèi) c2 ≈)()(tVts=tvvV ts )( )( 210 ?? （ 2） 對(duì)式（ 1）兩端同除以 t? ，令 t? → 0，則有 ???????????????00212211)0(,)0( VVssvvdtdVvcvcdtds （ 3） 此即問題的數(shù)學(xué)模型。它是針對(duì)液體溶液變化建立的，但它對(duì)氣體和固體濃度變化同樣適用。實(shí)際中，對(duì)面許多時(shí)變問題都可取微小的時(shí)間段 t? 去考察某些量之 間的變化規(guī)律，從而建立問題的數(shù)學(xué)模型，這是數(shù)學(xué)建模中微分建模常用手段之一。 通過對(duì)上述例子的了解，下面介紹幾種常用微分方程建模方法。 （ 1）按實(shí)驗(yàn)定律或規(guī)律建立的微分方程模型。 刺激按摩充分依賴于各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中有關(guān)實(shí)驗(yàn)定律或規(guī)律以及某些重要的已知定理。此法建模要求建模者有寬廣的知識(shí)視野才能對(duì)耨寫具體問題采用某些熟知的實(shí)驗(yàn)定律。 （ 2）分析微元變化規(guī)律建立微分方程模型。 求解某些實(shí)際問題時(shí)，尋求一些微元之間的關(guān)系可以建立問題的數(shù)學(xué)模型。如上述問題中考察時(shí)間微元 t? ，從 而建立的反應(yīng)溶液濃度隨時(shí)間變化的模型。此建模方法的出發(fā)點(diǎn)是考察某一變量的微小變化，即微元分析，找出其他一些變量與該微元間的關(guān)系式，從微分定義出發(fā)建立問題的數(shù)學(xué)模型。 （ 3）近似模擬法。 在許多實(shí)際問題中，有些現(xiàn)象的規(guī)律性并非一目了然，或有所了解亦是復(fù)雜的，這類問題常用近似模擬方法來建立問題的數(shù)學(xué)模型。一般通過一定的模型假設(shè)近似模擬實(shí)際現(xiàn)象，將問題做某些規(guī)范化處理后建立微分方程模型，然后分析，求解再與實(shí)際問題作比較，觀察模型能否近似刻畫實(shí)際現(xiàn)象。近似模擬法建模思路是建立能夠近似刻畫或反映實(shí)際現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型， 因此在建模過程中經(jīng)常做一些較合理的模型假設(shè)使問題簡化，然后通過簡化建立近似反映實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型 7 人才分配問題模型 每年大學(xué)畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在學(xué)校充實(shí)教師隊(duì)伍 , 其余人員將分配到國民經(jīng)濟(jì)其他部門從事經(jīng)濟(jì)和管理工作 . 設(shè) t 年教師人數(shù)為 ),(1tx 科學(xué)技術(shù)和管理人員數(shù)目 為 ),(2tx 又設(shè) 1 外教員每年平均培養(yǎng) ? 個(gè)畢業(yè)生 , 每年人教育、科技和經(jīng)濟(jì)管理崗位退休、死亡或調(diào)出人員的比率為 ??? ),10( ?? 表示每年大學(xué)生畢業(yè)生中從事教師職業(yè)所占比率 ),10( ??? 于是有方程 111 xxdtdx ??? ?? (1) 212 )1( xxdtdx ??? ??? (2) 方程 (1)有通解 teCx )(11 ????? (3) 若設(shè) ,)0( 101 xx ? 則 ,101 xC? 于是得特解 texx )(101 ????? (4) 將 (4)代入 (2)方程變?yōu)? texxdtdx )(1022 )1( ?????? ???? (5) 求解方程 (5)得通解 tt exeCx )(1022 )1( ???? ?? ?? ??? (6) 若設(shè) ,)0( 202 xx ? 則 ,1 10202 xxC ???????? ??? ??于是得特解 tt exexxx )(1010202 11 ???? ? ?? ? ?? ???????? ???????? ???????? ??? (7) (4)式和 (7)式分別表示在初始人數(shù)分別為 )0(),0( 21 xx 情況 , 對(duì)應(yīng)于 ? 的取值 , 在 t 年教師隊(duì)伍的人數(shù)和科技經(jīng)濟(jì)管理人員人數(shù) . 從結(jié)果看出 , 如果取 ,1?? 即畢業(yè)生全部留在教 8 育界 , 則當(dāng) ??t 時(shí) , 由于 ,??? 必有 ???)(1 tx 而 ,0)(2 ?tx 說明教師隊(duì)伍將迅速增加 . 而科技和經(jīng)濟(jì)管理隊(duì)伍不斷萎縮 , 勢(shì)必要影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展 , 反過來也會(huì)影響教育的發(fā)展 . 如果將 ? 接近于零 . 則 ,0)(1 ?tx 同時(shí)也導(dǎo)致 ,0)(2 ?tx 說明如果不保證適當(dāng)比例的畢業(yè)生充實(shí)教師選擇好比率 ? , 將關(guān)系到兩支隊(duì)伍的建設(shè) , 以及整個(gè)國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的大局 . 3 差分和代數(shù)建模方法 在一些問題中，許多數(shù)據(jù)都是以等間隔時(shí)間周期統(tǒng)計(jì)的。例如，銀行 中的定期存款是按設(shè)定的時(shí)間等間隔計(jì)息，外貿(mào)出口額按月統(tǒng)計(jì)，國民收入按年統(tǒng)計(jì)，產(chǎn)品的產(chǎn)量按月統(tǒng)計(jì)，等等。這些量是變量，通常這些變量為離散型變量。描述離散型變量之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型為離散型模型。對(duì)取值是離散化的經(jīng)濟(jì)變量，差分方程是研究他們之間變化規(guī)律的有效方法。 Malthus 人口模型 1798 年．英國人口學(xué)家和政治經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯以兩個(gè)假設(shè)為前提：第一，食物為人類生存所必須；第二，人的性本能幾乎無法限制，提出了聞名于世的人口指數(shù)增長模型，即 Malthus 人口模型： 人口總數(shù)為 )(tp ,人口的出生率為 b，死亡率為 d。任取時(shí)段【 t ,t +dt 】，在此時(shí)段中的出生人數(shù)為 b )(tp dt ，死亡人數(shù)為 d )(tp dt 。假設(shè)出生數(shù)及死亡數(shù)與 )(tp 及 dt 均成正比，而且以矩形取代了曲邊梯形的面積。在時(shí)段【 t ,t +dt 】中，人口增加量為 )( dttp ? )(tp ≈d )(tp ，它應(yīng)等于此時(shí)段中的出生人數(shù)與死亡人數(shù)之差，即 d )(tp =b )(tp dt － d )(tp dt =a )(tp dt , 其中 a =b－ d 稱為人口的凈增長率。于是 )(tp 滿足微分方程 dttdp)( =a )(tp . (1) 若已知初始時(shí)刻 t =t 0 時(shí)的人口總數(shù)為 p0，那么 )(tp 還滿足初始條件