【正文】 1 ?1 22 ???? ? ??? ? 從而得到方程組 ? ?? ?? ? ? ?mkC CxfCxfy ccNi kiii , . . . ,2,10。因權(quán)重因子 2/1 ii ?? ? ，故式 13 （ 003）表明，用最小二乘法來估計參數(shù)，要求各測量值 yi 的偏差的加權(quán)平方和為最小。1122 ????Ni iii Cxfy? （ 003） 取最小值：對于 y 的分布不限于正態(tài)分布來說，式（ 003）稱為最小二乘法準則。考慮各次測量是相互獨立的，故觀測值（ y1， y2，?? cN）的似然函數(shù) ? ? ? ?? ? ?????????? ??? ??Ni iiNN CxfyL 1 2 221 。e x p2 1imiiiicccxfyyp??? , 式中 i? 是分布的標準誤差。 在 Nm的情況下，式（ 002）成為矛盾方程組，不能直接用解方程的方法求得 m個參數(shù)值，只能用曲線擬合的方法來處理。只要選取 m組測量值代入式（ 001），便得到方程組 yi＝ f（ x； c1， c2，?? cm） （ 002） 式中 i＝ 1， 2，??， m 個方程的聯(lián)立解即得 m 個參數(shù)的數(shù)值。都對應于 xy 平面上一個點。設 x 和y 的函數(shù)關系由理論公式 y＝ f（ x； c1， c2，?? cm） （ 001） 給出，其中 c1， c2，?? cm是 m個要通過實驗確定的參數(shù)。 （ 3） ② n 階 Lagrange 插值公式 )(xLn ： 設已知 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx 及 iy =f( ix )(i=0,1,.....,n), )(xLn為不超過 n 次多項式且滿足 iin yxL ?)( （ i=0,1,...n） . 易知 )(xLn =0l （ x） 0y +....+ )(xln ny . 其中， )(xli 均為 n 次多項式且滿足式（ 3）（ i,j=0,1,...,n） ,再由 jx （ j? i）為 n 次多項式)(xli 的 n 個根知 )(xli =c????niijjxx0.最后，由 ???? ???1)()(0nijjjiji xxcxlc=????nijjji xx0)(1,i=0,1,...,n. 12 總之， )(xLn = ini i yxl??0 )( ， )(xli =.0??? ??nijj jijxx xx式為 n 階 Lagrange 插值公式，其中， )(xli（ i=0,1,...n）稱為 n 階 Lagrange 插值的基函數(shù)。或 0l （ x） =0 且 1l (x)=1。 ① 線性插值公式 )1(1L ： 設已知 0x ， 1x 及 0y =f( 0x ) , 1y =f( 1x ), )(1xL 為不超過一次多項式且滿足 )( 01 xL = 0y , )(11xL = 1y ,幾何上， )(1xL 為過（ 0x ， 0y ），（ 1 x ， 1y ）的直線，從而得到 )(1xL = 0y + 01 01 xxyy??（ x 0x ） . （ 2） 為了推廣到高階問題，我們將式（ 2）變成對稱式 )(1xL =0l （ x） 0y +1l (x) 1y . 其中， 0l （ x） = 101xx xx?? ,1l (x)= 010xx xx?? 。下面我具體介紹分析一下拉格朗日插值的算法設計及應用。然而 Lagrange 插值有很多種， 1 階， 2 階 ,? n 階。與此有關的一類問題是當原始數(shù)據(jù) ),(,),(),( 1100 nn yxyxyx ?精度較高，要求確定一個初等函數(shù) )(xPy? （一般用多項式或分段多項式函數(shù)）通過已知各數(shù)據(jù)點（節(jié)點），即 nixPy ii ,1,0,)( ??? ，或要求得函數(shù)在另外一些點（插值點）處的數(shù)值，這便是插值 問題。 例如：如果 )(),()( npnpbnb mmn? 為 n 的多項式，則當 b 不是特征根時，可設成形如 )(nqb mn 形式的特解，其中 )(nqm 為 m 次多項式；如果 b 是 r 重根時，可設 特解：rnb )(nqm ，將其代入（ 8）中確定出系數(shù)即可。 基本結(jié)果如下： ① 若（ 3）有 k 個不同的實根，則（ 2）有通解： nkknnn cccx ??? ???? . . .2211 ， ② 若（ 3）有 m重根 ? ，則通解中有構(gòu)成項： nmm ncc ?)...( 121 ???? ??? ③ 若（ 3）有一對單復根 ??? i?? ，令： ??? ie?? ， ?????? a r c t a n,22 ??? ，則（ 2）的通解中有構(gòu)成項： nc nn ???? s inc o s 21 ?? ? ④ 若有 m 重復根： ??? i?? ， ??? ie?? ，則（ 2 ）的通項中有成 10 項： nncncc nmmmmnmm ???? s i n)...(c o s)...( 1221121 ??? ????? ??????? 綜上所述，由于方程（ 3）恰有 k 個根，從而構(gòu)成方程 （ 9）的通解中必有 k 個獨立的任意常數(shù)。 如 果（ 2）有形如 nnx ?? 的解，帶入方程中可得： 0... 1110 ????? ?? kkkk aaaa ??? （ 3） 稱方程（ 3）為方程（ 1）、（ 2）的特征方程。 線性差分方程的解法 方程 )(...110 nbxaxaxa nkknkn ???? ??? （ 1） 其中 kaaa ,..., 10 為常數(shù)，稱方程（ 1）為常系數(shù)線性方程。 模型參數(shù)的意義和作用： t 0 為初始時刻（初始年度）， p0 為初始年度 t 0 的人口總數(shù)，a 為每年的人口凈增長率， b 為人口出生率， d 為人口死亡率。在時段【 t ,t +dt 】中，人口增加量為 )( dttp ? )(tp ≈d )(tp ，它應等于此時段中的出生人數(shù)與死亡人數(shù)之差，即 d )(tp =b )(tp dt － d )(tp dt =a )(tp dt , 其中 a =b－ d 稱為人口的凈增長率。任取時段【 t ,t +dt 】，在此時段中的出生人數(shù)為 b )(tp dt ，死亡人數(shù)為 d )(tp dt 。對取值是離散化的經(jīng)濟變量，差分方程是研究他們之間變化規(guī)律的有效方法。這些量是變量，通常這些變量為離散型變量。近似模擬法建模思路是建立能夠近似刻畫或反映實際現(xiàn)象的數(shù)學模型， 因此在建模過程中經(jīng)常做一些較合理的模型假設使問題簡化，然后通過簡化建立近似反映實際問題的數(shù)學模型 7 人才分配問題模型 每年大學畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在學校充實教師隊伍 , 其余人員將分配到國民經(jīng)濟其他部門從事經(jīng)濟和管理工作 . 設 t 年教師人數(shù)為 ),(1tx 科學技術和管理人員數(shù)目 為 ),(2tx 又設 1 外教員每年平均培養(yǎng) ? 個畢業(yè)生 , 每年人教育、科技和經(jīng)濟管理崗位退休、死亡或調(diào)出人員的比率為 ??? ),10( ?? 表示每年大學生畢業(yè)生中從事教師職業(yè)所占比率 ),10( ??? 于是有方程 111 xxdtdx ??? ?? (1) 212 )1( xxdtdx ??? ??? (2) 方程 (1)有通解 teCx )(11 ????? (3) 若設 ,)0( 101 xx ? 則 ,101 xC? 于是得特解 texx )(101 ????? (4) 將 (4)代入 (2)方程變?yōu)? texxdtdx )(1022 )1( ?????? ???? (5) 求解方程 (5)得通解 tt exeCx )(1022 )1( ???? ?? ?? ??? (6) 若設 ,)0( 202 xx ? 則 ,1 10202 xxC ???????? ??? ??于是得特解 tt exexxx )(1010202 11 ???? ? ?? ? ?? ???????? ???????? ???????? ??? (7) (4)式和 (7)式分別表示在初始人數(shù)分別為 )0(),0( 21 xx 情況 , 對應于 ? 的取值 , 在 t 年教師隊伍的人數(shù)和科技經(jīng)濟管理人員人數(shù) . 從結(jié)果看出 , 如果取 ,1?? 即畢業(yè)生全部留在教 8 育界 , 則當 ??t 時 , 由于 ,??? 必有 ???)(1 tx 而 ,0)(2 ?tx 說明教師隊伍將迅速增加 . 而科技和經(jīng)濟管理隊伍不斷萎縮 , 勢必要影響經(jīng)濟發(fā)展 , 反過來也會影響教育的發(fā)展 . 如果將 ? 接近于零 . 則 ,0)(1 ?tx 同時也導致 ,0)(2 ?tx 說明如果不保證適當比例的畢業(yè)生充實教師選擇好比率 ? , 將關系到兩支隊伍的建設 , 以及整個國民經(jīng)濟建設的大局 . 3 差分和代數(shù)建模方法 在一些問