【正文】 修正情況()()下，在地心慣性坐標(biāo)系里，初始軌道位置誤差和初始速度誤差對(duì)軌道終點(diǎn)的位置和速度誤差的影響。速度誤差：Dv=Dvx,Dvy,Dvz,Dvx,Dvy,Dvz分別是在地心慣性坐標(biāo)系 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。進(jìn)一步根據(jù)式（7），得到協(xié)方差矩陣的迭代方程：TCi+1=PCPiii（21）向月飛行軌道誤差的協(xié)方差分析引起軌道誤差的誤差源主要是導(dǎo)航誤差，包括位 置 誤 差 和 速 度 誤 差。248。247。231。=229。Fi.()i!i=0FDt取前 6 階截?cái)?，即：eFDt230。0000（16）rz(13)0r3r200249。(13)32rr3u197。rxrzr53u197。積分式（11），得到： 0003u197。rxrz234。234。rxry234。234。rx(132)F=234。02234。0234。將式（15）、（14）代入（10），得： 233。rz247。ryrz247。rxrz246。z248。231。231。(rxryrz)=231。2rr=231。vvT231。rx246。3vvT(Irr)(14)332rr230。r（13）式中 r x，r y 和 r z 是探測(cè)器在地心慣性坐標(biāo)系里的軌道位置坐標(biāo)。235。248。r248。248。r248。rr182。3I3247。231。231。231。246。230。246。230。246。230。246。230。rv233。r248。r248。vT182。+231。r=rvT231。246。230。u197。vv182。r232。182。G=vT=vT231。230。=FX(12)X下面推導(dǎo)矩陣 F 的表達(dá)式：v182。248。248。Dv247。,X=231。G0247。v247。Dr246。0I246。g式中 G=vT182。232。232。232。amp。231。231。(10)231。231。231。231。Dr230。0I246。246。式中 g(r)=197。uvvr，其中u197。182。Dvamp。182。=Dv236。在應(yīng)用雙二體模型且在地球影響球范圍內(nèi)時(shí)，對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生攝動(dòng)影響的各項(xiàng)，如月球引力攝動(dòng)、太陽(yáng)引力攝動(dòng)、大氣阻力攝動(dòng)和太陽(yáng)光壓攝動(dòng)等對(duì)誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。若給定各種源誤差，如發(fā)動(dòng)機(jī)安裝誤差、敏感器測(cè)量誤差或發(fā)動(dòng)機(jī)推力和點(diǎn)火時(shí)間等誤差時(shí)，便可以分析其對(duì)目標(biāo)軌道誤差的影響以及對(duì)控制系統(tǒng)精度的影響，進(jìn)一步對(duì)各系統(tǒng)及元部件提出適當(dāng)?shù)木纫?。協(xié)方差矩陣中對(duì)角線元素是方差，非對(duì)角線元素為協(xié)方差。f（5）182。fdxi（3）i=1182。xn其中，O(x1LLxn)為x1LLxn的高階項(xiàng)。fDx1+L+Dxn+O(x1Lxn)（2）182。時(shí)，改進(jìn)方法比最優(yōu)（a）（b）問題三 協(xié)方差分析方法的基本原理 對(duì)于如下非線性函數(shù)關(guān)系y=f(x1,x2LLxn)（1）可以使用一階泰勒級(jí)數(shù)展開對(duì)其進(jìn)行線性化，有y+Dy=f+182。圖三為最優(yōu)著陸過程與其改進(jìn)方法按圖2降落的次優(yōu)著陸過程的對(duì)比圖。具體地，令切換函數(shù)為式中各符號(hào)的含義如圖2所示關(guān)機(jī)點(diǎn)可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。一種方法是將終端高度從到達(dá)月面時(shí)實(shí)現(xiàn)軟著陸設(shè)置為離月面還有幾米時(shí)實(shí)現(xiàn)軟著陸。對(duì)于方式1）軟著陸起始點(diǎn)即是開機(jī)點(diǎn)；方式2），3）不能實(shí)現(xiàn)軟著陸；最后一種是通常情況下的最優(yōu)著陸方式，即探測(cè)器先做無制動(dòng)下降，然后打開發(fā)動(dòng)機(jī)軟著陸到月面。為實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)制導(dǎo)，需求出關(guān)于狀態(tài)變量的切換函數(shù)來。由定理1，5 軟著陸最優(yōu)開關(guān)制導(dǎo)律不可能在任何區(qū)間上成立，故必有既沒有切換點(diǎn)。由性質(zhì)3）知，為常數(shù)。只要證明最多只在一個(gè)時(shí)間點(diǎn)成立即可。，其開關(guān)控制器的最優(yōu)推力程序（7）最多進(jìn)行一次切換。2）若盾。下面再分三種情況進(jìn)行分析。這與反證假設(shè)矛盾。根據(jù)反正假將（10）式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并將（2）和（6）式代入化簡(jiǎn)得性質(zhì)2），下面證明這兩種情形均與反證假設(shè)矛盾。證明。定理一。最優(yōu)制導(dǎo)問題的性質(zhì)：1）對(duì)于自治系統(tǒng)（2）的時(shí)間最優(yōu)控制問題，沿最優(yōu)軌跡其哈密頓函數(shù)滿足將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并將（2c）和（6c）式代入，得另外，由于自由，根據(jù)橫截條件有3）根據(jù)（6a）式。如果存在一個(gè)有限區(qū)間則最優(yōu)控制u（t）取值不能由哈密頓函數(shù)確定。由此可將系統(tǒng)方程（1）化簡(jiǎn)為要設(shè)計(jì)制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)軟著陸，就是使著陸時(shí)間對(duì)于月球軟著陸的燃耗最優(yōu)控制問題，其性能指標(biāo)可表示為對(duì)于系統(tǒng)（2）的軟著陸過程，燃耗最優(yōu)問題等價(jià)于著陸時(shí)間最優(yōu)問題，性能指標(biāo)為在月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中，如果存在一個(gè)推力控制程序?qū)⑻綔y(cè)器從初始條件轉(zhuǎn)移到終端條件，并使性能指標(biāo)（3）或（4）式最大，則稱這個(gè)推力程序?yàn)檐浿懭己淖顑?yōu)或時(shí)間最優(yōu)制導(dǎo)律。令軟著陸初始條件探測(cè)器到達(dá)月面時(shí)速度減小到給定的值，故終端條件自由。假定制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)的最大推力與初始質(zhì)量比大于月面引力加速度，并且制動(dòng)推進(jìn)系統(tǒng)能夠在一定的初始條件下將探測(cè)器停止月面上。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程對(duì)于最終著陸點(diǎn)，假設(shè)探測(cè)器的下降軌跡在一平面內(nèi)，且月球引力場(chǎng)為垂直于月面XY的均勻引力場(chǎng)，引力加速度g沿Z，如圖1所示，制動(dòng)推力方向沿探測(cè)器的本體軸z。4)初始速度的大小也直接影響到任務(wù)的可靠性，因此需要在超聲速進(jìn)入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內(nèi)。2)取決于探測(cè)器初始位置和速度的關(guān)系，燃料最優(yōu)軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對(duì)應(yīng)于期望著陸點(diǎn)位置水平距離較大情況。因此，為了研究探測(cè)器燃料最優(yōu)軌跡特性，選取相同的探測(cè)器參數(shù)，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從8000m 到 8000m 內(nèi)取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優(yōu)精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。*圖 1 給定初始條件下火星著陸器動(dòng)力下降段燃料最優(yōu)計(jì)算結(jié)果需要注意到，此燃料最優(yōu)軌跡的獲取對(duì)著陸器的實(shí)時(shí)在線計(jì)算性能提出了較高的要求，經(jīng)測(cè)試，無論使用何種優(yōu)化工具，計(jì)算給定飛行任務(wù)時(shí)間的最優(yōu)軌跡均需數(shù)秒，而全局最優(yōu)則需要數(shù)十秒甚至更長(zhǎng)，這在實(shí)際任務(wù)中是不允許的。其推力幅值曲線呈現(xiàn)“最大最小最大”的最優(yōu)控制形式，不過為了保持發(fā)動(dòng)機(jī)始終處于點(diǎn)火狀態(tài)，在中間段對(duì)應(yīng)最小推力約束，這與文獻(xiàn)中的分析結(jié)論一致。本文選用 SDPT3 進(jìn)行計(jì)算，通過執(zhí)行線性搜索確定燃料最優(yōu)下降時(shí)間tf為 43s，圖 1 給出了相應(yīng)的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測(cè)器質(zhì)量變化曲線。著陸器初始位置矢量r0= [1500,600, 800] m，初始速度矢量v0= [30, 10, 40]m/s，傾角qalt=86176。0 z0dkT2e 控制下限：4數(shù)值仿真結(jié)果與分析本節(jié)以某火星著陸器為例，計(jì)算了典型初始條件下滿足各種約束的燃料最優(yōu)精確著陸軌跡。0163。v182。R,f206。R為待優(yōu)化向量，l206。0Ax+ci163。235。7(n+1)180。235。nLA+L+AB+BLA2BABBn1OOO0234。234。234。234。 234。L==234。AB+BL2234。1234。BL0249。L0249。則(15)可等價(jià)于0249。235。Ynn1234。234。AB234。Y3=234。ABY=234。Y234。B234。Y233。7233。A234。Fn4(n+1)180。pn7(n+1)180。yn234。234。MMy2A2F2p2A1111FpyA0249。F0249。p0249。y0249。esAcdsBc=DtBc+DtBc+Dt2Bc+L0026其中I3為三階單位陣。I3+DtAc+DtAc+L2DtDt112B=242。R7180。R7180。0100000249。T2ez0[1(zz0)]（10）（11）2狀態(tài)約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為TSy+cy163。d1T1ez0[1(zz0)+(zz0)2]163。0fd(t)dt（9）邊界條件：同式(3)。0u+g249。0249。0234。z30+234。0234。r249。==[uDT0249。tanqalt（6）u=a=TDm（7）d=Tmz=lnmDD等效著陸器運(yùn)動(dòng)方程： y=234。0fTdt(2)邊界條件：即初始條件和終端條件r(0)=r0,v(0)=v0,m(0)=m0,r(tf)=v(tf)=[000](3)控制約束：考慮發(fā)動(dòng)機(jī)一旦啟動(dòng)不能關(guān)閉，存在最大和最小推力約束0T1TT2(4)狀態(tài)約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個(gè)下降段位于火星地平面以上，即rh179。174。指標(biāo)函數(shù)：考慮燃料消耗min(m0mf)172。優(yōu)化的性能指標(biāo)為在滿足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過程中燃料消耗最少,即J=242。終端條件為實(shí)現(xiàn)軟著陸, 即rf=Rvf=0wf=0其中R為月球半徑,終端條件中對(duì)終端極角qf及終端時(shí)間tf無約束。圖 1 月球軟著陸極坐標(biāo)系其動(dòng)力學(xué)方程如下: r=v q=wv=(F/m)sinym/r+r2w2 w=((F/m)cosy+2vw)/rm=F/ISP在上式中r為著陸器與月心距離,v為著陸器徑向速度,q為著陸器極角,w為著陸器極角角速度,m為月球引力常數(shù),F著陸器制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力,m為著陸器質(zhì)量,y為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向角,其定義為F與當(dāng)?shù)厮椒较驃A角,ISP為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)比沖。而且從15km左右的軌道高度軟著陸到月球表面的時(shí)間比較短,一般在幾百秒的范圍內(nèi),所以諸如月球引力非球項(xiàng)、日月引力攝動(dòng)等影響因素均可忽略不計(jì),所以這一過程可以在二體模型下描述。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優(yōu)化主要是針對(duì)動(dòng)力下降段這一階段。y122 將(8)、(10)、(11)式聯(lián)立并將A點(diǎn)坐標(biāo)A(0，a)代入可得A點(diǎn)的曲率半徑為b2RA= (12)a根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,遠(yuǎn)日點(diǎn)B的曲率半徑為b2RB=RA= (13)a 由于在A、B兩點(diǎn)行星運(yùn)行速度方向與萬有引力方向垂直,萬有引力只改變速度方向,并不改變速度大小,故分別根據(jù)萬有引力提供向心力得GMmmvA (14) =(ac)2RAGMmmvB (15) =2(a+c)RB將(13)至(15)式聯(lián)立可得 22vA=bGMbGM，vB= acaa+ca 模型一：動(dòng)力學(xué)模型典型的月球軟著陸任務(wù)中,探測(cè)器一般首先發(fā)射到100km的環(huán)月停泊軌道,然后根據(jù)所選定的著陸位置,在合適的時(shí)間給著陸器一個(gè)有限脈沖,使得著陸器轉(zhuǎn)入近月點(diǎn)(在著落位置附近)為15km,遠(yuǎn)月點(diǎn)為100km的月球橢圓軌道,這一階段稱為霍曼轉(zhuǎn)移段。)(11) 162。162。162。y162。=0 (7) 即a2xy162。該解法的指導(dǎo)思想是對(duì)橢圓的軌跡方程求導(dǎo),并結(jié)合一般曲線的曲率半徑通式求出近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的曲率半徑表達(dá)式,然后利用萬有引力提供向心力列方程求解。解法2