【正文】 r248。r248。vT182。+231。r=rvT231。246。230。u197。vv182。r232。182。G=vT=vT231。230。=FX(12)X下面推導矩陣 F 的表達式：v182。248。248。Dv247。,X=231。G0247。v247。Dr246。0I246。g式中 G=vT182。232。232。232。amp。231。231。(10)231。231。231。231。Dr230。0I246。246。式中 g(r)=197。uvvr，其中u197。182。Dvamp。182。=Dv236。在應(yīng)用雙二體模型且在地球影響球范圍內(nèi)時，對軌道運動產(chǎn)生攝動影響的各項，如月球引力攝動、太陽引力攝動、大氣阻力攝動和太陽光壓攝動等對誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。若給定各種源誤差，如發(fā)動機安裝誤差、敏感器測量誤差或發(fā)動機推力和點火時間等誤差時，便可以分析其對目標軌道誤差的影響以及對控制系統(tǒng)精度的影響，進一步對各系統(tǒng)及元部件提出適當?shù)木纫?。協(xié)方差矩陣中對角線元素是方差，非對角線元素為協(xié)方差。f（5）182。fdxi（3）i=1182。xn其中，O(x1LLxn)為x1LLxn的高階項。fDx1+L+Dxn+O(x1Lxn)（2）182。時，改進方法比最優(yōu)（a）（b）問題三 協(xié)方差分析方法的基本原理 對于如下非線性函數(shù)關(guān)系y=f(x1,x2LLxn)（1）可以使用一階泰勒級數(shù)展開對其進行線性化，有y+Dy=f+182。圖三為最優(yōu)著陸過程與其改進方法按圖2降落的次優(yōu)著陸過程的對比圖。具體地，令切換函數(shù)為式中各符號的含義如圖2所示關(guān)機點可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。一種方法是將終端高度從到達月面時實現(xiàn)軟著陸設(shè)置為離月面還有幾米時實現(xiàn)軟著陸。對于方式1）軟著陸起始點即是開機點；方式2），3）不能實現(xiàn)軟著陸；最后一種是通常情況下的最優(yōu)著陸方式，即探測器先做無制動下降，然后打開發(fā)動機軟著陸到月面。為實現(xiàn)實時制導，需求出關(guān)于狀態(tài)變量的切換函數(shù)來。由定理1，5 軟著陸最優(yōu)開關(guān)制導律不可能在任何區(qū)間上成立，故必有既沒有切換點。由性質(zhì)3）知，為常數(shù)。只要證明最多只在一個時間點成立即可。，其開關(guān)控制器的最優(yōu)推力程序（7）最多進行一次切換。2）若盾。下面再分三種情況進行分析。這與反證假設(shè)矛盾。根據(jù)反正假將（10）式兩邊對時間求導，并將（2）和（6）式代入化簡得性質(zhì)2），下面證明這兩種情形均與反證假設(shè)矛盾。證明。定理一。最優(yōu)制導問題的性質(zhì)：1）對于自治系統(tǒng)（2）的時間最優(yōu)控制問題，沿最優(yōu)軌跡其哈密頓函數(shù)滿足將其對時間求導并將（2c）和（6c）式代入，得另外，由于自由，根據(jù)橫截條件有3）根據(jù)（6a）式。如果存在一個有限區(qū)間則最優(yōu)控制u（t）取值不能由哈密頓函數(shù)確定。由此可將系統(tǒng)方程（1）化簡為要設(shè)計制導律實現(xiàn)軟著陸，就是使著陸時間對于月球軟著陸的燃耗最優(yōu)控制問題，其性能指標可表示為對于系統(tǒng)（2）的軟著陸過程，燃耗最優(yōu)問題等價于著陸時間最優(yōu)問題，性能指標為在月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中，如果存在一個推力控制程序?qū)⑻綔y器從初始條件轉(zhuǎn)移到終端條件，并使性能指標（3）或（4）式最大，則稱這個推力程序為軟著陸燃耗最優(yōu)或時間最優(yōu)制導律。令軟著陸初始條件探測器到達月面時速度減小到給定的值，故終端條件自由。假定制動發(fā)動機的最大推力與初始質(zhì)量比大于月面引力加速度，并且制動推進系統(tǒng)能夠在一定的初始條件下將探測器停止月面上。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程對于最終著陸點，假設(shè)探測器的下降軌跡在一平面內(nèi)，且月球引力場為垂直于月面XY的均勻引力場，引力加速度g沿Z，如圖1所示，制動推力方向沿探測器的本體軸z。4)初始速度的大小也直接影響到任務(wù)的可靠性，因此需要在超聲速進入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內(nèi)。2)取決于探測器初始位置和速度的關(guān)系，燃料最優(yōu)軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對應(yīng)于期望著陸點位置水平距離較大情況。因此，為了研究探測器燃料最優(yōu)軌跡特性，選取相同的探測器參數(shù)，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從8000m 到 8000m 內(nèi)取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優(yōu)精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。*圖 1 給定初始條件下火星著陸器動力下降段燃料最優(yōu)計算結(jié)果需要注意到，此燃料最優(yōu)軌跡的獲取對著陸器的實時在線計算性能提出了較高的要求，經(jīng)測試，無論使用何種優(yōu)化工具，計算給定飛行任務(wù)時間的最優(yōu)軌跡均需數(shù)秒，而全局最優(yōu)則需要數(shù)十秒甚至更長，這在實際任務(wù)中是不允許的。其推力幅值曲線呈現(xiàn)“最大最小最大”的最優(yōu)控制形式，不過為了保持發(fā)動機始終處于點火狀態(tài)，在中間段對應(yīng)最小推力約束，這與文獻中的分析結(jié)論一致。本文選用 SDPT3 進行計算，通過執(zhí)行線性搜索確定燃料最優(yōu)下降時間tf為 43s，圖 1 給出了相應(yīng)的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測器質(zhì)量變化曲線。著陸器初始位置矢量r0= [1500,600, 800] m，初始速度矢量v0= [30, 10, 40]m/s，傾角qalt=86176。0 z0dkT2e 控制下限：4數(shù)值仿真結(jié)果與分析本節(jié)以某火星著陸器為例，計算了典型初始條件下滿足各種約束的燃料最優(yōu)精確著陸軌跡。0163。v182。R,f206。R為待優(yōu)化向量，l206。0Ax+ci163。235。7(n+1)180。235。nLA+L+AB+BLA2BABBn1OOO0234。234。234。234。 234。L==234。AB+BL2234。1234。BL0249。L0249。則(15)可等價于0249。235。Ynn1234。234。AB234。Y3=234。ABY=234。Y234。B234。Y233。7233。A234。Fn4(n+1)180。pn7(n+1)180。yn234。234。MMy2A2F2p2A1111FpyA0249。F0249。p0249。y0249。esAcdsBc=DtBc+DtBc+Dt2Bc+L0026其中I3為三階單位陣。I3+DtAc+DtAc+L2DtDt112B=242。R7180。R7180。0100000249。T2ez0[1(zz0)]（10）（11）2狀態(tài)約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為TSy+cy163。d1T1ez0[1(zz0)+(zz0)2]163。0fd(t)dt（9）邊界條件：同式(3)。0u+g249。0249。0234。z30+234。0234。r249。==[uDT0249。tanqalt（6）u=a=TDm（7）d=Tmz=lnmDD等效著陸器運動方程： y=234。0fTdt(2)邊界條件：即初始條件和終端條件r(0)=r0,v(0)=v0,m(0)=m0,r(tf)=v(tf)=[000](3)控制約束：考慮發(fā)動機一旦啟動不能關(guān)閉，存在最大和最小推力約束0T1TT2(4)狀態(tài)約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個下降段位于火星地平面以上，即rh179。174。指標函數(shù)：考慮燃料消耗min(m0mf)172。優(yōu)化的性能指標為在滿足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過程中燃料消耗最少,即J=242。終端條件為實現(xiàn)軟著陸, 即rf=Rvf=0wf=0其中R為月球半徑,終端條件中對終端極角qf及終端時間tf無約束。圖 1 月球軟著陸極坐標系其動力學方程如下: r=v q=wv=(F/m)sinym/r+r2w2 w=((F/m)cosy+2vw)/rm=F/ISP在上式中r為著陸器與月心距離,v為著陸器徑向速度,q為著陸器極角,w為著陸器極角角速度,m為月球引力常數(shù),F著陸器制動發(fā)動機推力,m為著陸器質(zhì)量,y為制動發(fā)動機推力方向角,其定義為F與當?shù)厮椒较驃A角,ISP為制動發(fā)動機比沖。而且從15km左右的軌道高度軟著陸到月球表面的時間比較短,一般在幾百秒的范圍內(nèi),所以諸如月球引力非球項、日月引力攝動等影響因素均可忽略不計,所以這一過程可以在二體模型下描述。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優(yōu)化主要是針對動力下降段這一階段。y122 將(8)、(10)、(11)式聯(lián)立并將A點坐標A(0，a)代入可得A點的曲率半徑為b2RA= (12)a根據(jù)橢圓的對稱性,遠日點B的曲率半徑為b2RB=RA= (13)a 由于在A、B兩點行星運行速度方向與萬有引力方向垂直,萬有引力只改變速度方向,并不改變速度大小,故分別根據(jù)萬有引力提供向心力得GMmmvA (14) =(ac)2RAGMmmvB (15) =2(a+c)RB將(13)至(15)式聯(lián)立可得 22vA=bGMbGM，vB= acaa+ca 模型一：動力學模型典型的月球軟著陸任務(wù)中,探測器一般首先發(fā)射到100km的環(huán)月停泊軌道,然后根據(jù)所選定的著陸位置,在合適的時間給著陸器一個有限脈沖,使得著陸器轉(zhuǎn)入近月點(在著落位置附近)為15km,遠月點為100km的月球橢圓軌道,這一階段稱為霍曼轉(zhuǎn)移段。)(11) 162。162。162。y162。=0 (7) 即a2xy162。該解法的指導思想是對橢圓的軌跡方程求導,并結(jié)合一般曲線的曲率半徑通式求出近日點和遠日點的曲率半徑表達式,然后利用萬有引力提供向心力列方程求解。解法2:軌跡方程法。S運用matlab編程解得S=； 其中 ax：水平方向加速度ay：豎直方面加速度a：月球表面重力加速度a= Tx：推力的水平方向分力Ty：推力的豎直方向分力t:主減速段時間S:嫦娥三號主減速段水平位移Q:嫦娥三號發(fā)動機燃料秒消耗率根據(jù)已知資料得到嫦娥三號著陸過程中緯度改變，經(jīng)度基本不變，月球赤緯和地球緯度一樣也分為南北各90個分度,，4g 6千米。248。Qdt247。231。dt=57