【正文】 6 6 圖論建模方法 .....................................................16 圖論的基本概念和簡單的圖論模型 .............................17 最短軌道問題 ...............................................18 求最小生成樹 ...............................................18 模擬退火法原理 .............................................19 應(yīng)用舉例 ...................................................19 參考文獻(xiàn) ...........................................................20 附 錄 .............................................................22 致 謝 .............................................................23 1 前 言 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽創(chuàng)辦于 1992 年，每年一屆， 目前已成為全國高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競賽。題目有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力。 賽題一般 涉及面寬 有社會(huì)，經(jīng)濟(jì)，管理，生活，環(huán)境，自然現(xiàn)象，工程技術(shù)，現(xiàn)代科學(xué)中出現(xiàn)的新問題等。 本文將主要介紹一些常用的數(shù)學(xué)建模方法，包括初等數(shù)學(xué)建模方法、微分方程建模方法、差分和代數(shù)建模方法、數(shù)據(jù)差值與擬合方法、線性規(guī)劃建模方法、圖論建模方法等。對(duì)于一些機(jī)理簡單的問題，常常應(yīng)用靜態(tài)、線性或邏輯的方法即可建立模型，使用初等數(shù)學(xué)方法或簡單的微積分知識(shí)即可求解，此類模型稱之為初等數(shù)學(xué)模型。本章主要列舉了走路問題與銀行復(fù)利問題，問題中涉及到了一些方法，通過這些知識(shí)方法的巧 妙應(yīng)用，可以開拓思路，提高分析解決實(shí)際問題的能力。試在此基礎(chǔ)上，建立數(shù)學(xué)模型并對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià) 。 ①計(jì)算人體重心升高的勢能 將人的行走簡化，設(shè)重心升高為 h,則 lllh ???? ?c os ?2sin1? ll??2241 lx? 當(dāng) lx2 較小時(shí)，取泰勒公式展開式前兩項(xiàng)，得 ??? 1(llh 228lx ?) lx82 于是單位時(shí)間內(nèi)重心升高所需勢能為 E 勢 ???? nM gMghn ?lx82 lMgxv8 ②計(jì)算腿運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能 如果將行走視為腿（均為直徑）繞腰部的轉(zhuǎn)動(dòng)，則單位時(shí)間的動(dòng)能為 E動(dòng) =21 I 2? n 其中 I 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， I=?102r dm =?102r dr? =31 ? l3 =3m l2 3 ? 為角速度， ? =lv ， m≈ l? .所以 E動(dòng) =2n 22lv =6n mv2 = xmv63 于是單位 時(shí)間行人行走所作的功為 P= E勢 + E動(dòng) = lMgxv8 + xmv63 這是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，問題轉(zhuǎn)化為欲求： x 為多大時(shí)， P最小。Mgml34。 n= xv2m3 , 其中 P= lMgxv8 + xv2m3 , 同上解得 n=Mgml34≈ 。試問此人 5 年后共積累了多少養(yǎng)老金？如果存款和復(fù)利按日計(jì)算，則他又有多少養(yǎng)老金？如果復(fù)利和存款連續(xù)計(jì)算呢？試建立數(shù)學(xué)模型并求解。（ 1+6001 ） 4 x3 =100+100（ 1+6001 ） 2 ? ? ? xn 100+100（ 1+6001 ） 1?n 五年末養(yǎng)老金為 x60 =10060)60011(1)60011(1???? =60000? 60)60011( ? 1? 元≈ 元 ②當(dāng)復(fù)利和存款按日計(jì)算時(shí)，記 yk 為第 k天的養(yǎng)老金數(shù)，則每天的存款額為 a= 3651200 ,每天的利率為 r=365002 .第 k+1 天的養(yǎng)老金數(shù)量與第 k天的養(yǎng)老金數(shù)量的關(guān)系為 y 1?k = 3651200+ yk mmm5)10021(1)10021(1???? =m1200當(dāng) m 分別取 12 和 365 時(shí)，就是前兩種情況下的計(jì)算公式。 由于存款和計(jì)息的間隔越小 時(shí)，收益越大，且不需要一次到銀行存較多的現(xiàn)金而是分批逐漸存入，對(duì)投資者的資金周轉(zhuǎn)有利，所以在銀行按復(fù)利計(jì)算時(shí)，建議存款者盡量采用小間隔的策略。 微分方程建模原理和方法 一般來說，任何事變問題中隨時(shí)間變化發(fā)生變化的量與其它一些量之間的關(guān)系經(jīng)常以微分方程的形式來表現(xiàn)。 注意到 溶液濃度 =溶液體積溶質(zhì)質(zhì)量 因此，容器中溶液濃度會(huì)隨溶質(zhì)質(zhì)量和溶液體積變化而發(fā)生變化。它是針對(duì)液體溶液變化建立的，但它對(duì)氣體和固體濃度變化同樣適用。 通過對(duì)上述例子的了解，下面介紹幾種常用微分方程建模方法。 刺激按摩充分依賴于各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中有關(guān)實(shí)驗(yàn)定律或規(guī)律以及某些重要的已知定理。 （ 2）分析微元變化規(guī)律建立微分方程模型。如上述問題中考察時(shí)間微元 t? ，從 而建立的反應(yīng)溶液濃度隨時(shí)間變化的模型。 （ 3）近似模擬法。一般通過一定的模型假設(shè)近似模擬實(shí)際現(xiàn)象，將問題做某些規(guī)范化處理后建立微分方程模型，然后分析，求解再與實(shí)際問題作比較，觀察模型能否近似刻畫實(shí)際現(xiàn)象。例如，銀行 中的定期存款是按設(shè)定的時(shí)間等間隔計(jì)息，外貿(mào)出口額按月統(tǒng)計(jì)，國民收入按年統(tǒng)計(jì)，產(chǎn)品的產(chǎn)量按月統(tǒng)計(jì)，等等。描述離散型變量之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型為離散型模型。 Malthus 人口模型 1798 年．英國人口學(xué)家和政治經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯以兩個(gè)假設(shè)為前提：第一，食物為人類生存所必須；第二，人的性本能幾乎無法限制，提出了聞名于世的人口指數(shù)增長模型，即 Malthus 人口模型： 人口總數(shù)為 )(tp ,人口的出生率為 b，死亡率為 d。假設(shè)出生數(shù)及死亡數(shù)與 )(tp 及 dt 均成正比，而且以矩形取代了曲邊梯形的面積。于是 )(tp 滿足微分方程 dttdp)( =a )(tp . (1) 若已知初始時(shí)刻 t =t 0 時(shí)的人口總數(shù)為 p0，那么 )(tp 還滿足初始條件 9 t =t 0 時(shí)， )(tp =p0. (2) 可以求得微分方程 (1)滿足初始條件 (2)的解為（設(shè) a 是常數(shù)） )(tp =p0e )0( tta ? , (3) 即人口總數(shù)按指數(shù)增長。 Malthus 人口模型所說的人口并不一定限于人，可以是認(rèn)可一個(gè)生物群體，只要滿足類似的性質(zhì)即可。 又稱方程 0...110 ???? ??? nkknkn xaxaxa （ 2） 為方程（ 1）對(duì)應(yīng)的齊次方程。 顯然，如果能求出（ 3）的根，則可以得到（ 2）的解。通解可記為： ?nx 如果能得到方程（ 1）的一個(gè)特解： *nx ，則（ 1）必有通解： ?nx ?nx + *nx （ 11） （ 1） 的特解可通過待定系數(shù)法來確定。 4 數(shù)據(jù)差值與擬合方法 在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，常常有這樣的問題：由實(shí)驗(yàn)或測量得到變量間的一批離散樣點(diǎn)，要求由此建立變量之間的函數(shù)關(guān)系或得到樣點(diǎn)之外的數(shù)據(jù)。 拉格朗日插值法 數(shù)據(jù)建模有兩大方法：一類是插值方法，另一類是擬合函數(shù)一般的說，插值法比較適合數(shù)據(jù)準(zhǔn)確或數(shù)據(jù)量小的情形。我們可以利用拉格朗日插值求方程，根據(jù)它的程序求原方程的圖像。 已知函數(shù) y=f(x)在若干點(diǎn) ix 的函數(shù)值 iy = ??ixf （ i=0,1, ?? ,n）一個(gè)差值問題就是求一“簡單”的函數(shù) p(x)： p( ix )= iy ,i=0,1, ?? ,n, (1) 11 則 p(x)為 f(x)的插值函數(shù)，而 f(x)為被插值函數(shù)會(huì)插值原函數(shù)， 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx 為插值節(jié)點(diǎn)，式（ 1）為插值條件，如果對(duì)固定點(diǎn) ?x 求 f( ?x )數(shù)值解，我們稱 ?x 為一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，f( ?x )? p(?x )稱為 ?x 點(diǎn)的插值，當(dāng) ?x ? [min( 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx )， max( 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx )]時(shí)，稱為內(nèi)插 ，否則稱為外插式外推，特別地，當(dāng) p(x)為不超過 n 次多項(xiàng)式時(shí)稱為 n 階 Lagrange插值。均為 1 次多項(xiàng)式且滿足 0l （ x） =1 且 1l (x)=0。 兩關(guān)系式可統(tǒng)一寫成 )(ii xl =??? ??ji ji01 。 最小二乘法 在兩個(gè)觀測量中，往往總有一個(gè)量精度比另一個(gè)高得多，為簡單起見把精度較高的觀測量看作沒有誤差，并把這個(gè)觀測量選作 x，而把所有的誤差只認(rèn)為是 y 的誤差。對(duì)于每組觀測數(shù)據(jù)（ xi，yi） i＝ 1， 2，??， N。若不存在測量誤差，則這些數(shù)據(jù)點(diǎn)都準(zhǔn)確落在理論曲線上。顯然 Nm 時(shí)，參數(shù)不能確定。設(shè)測量中不存 在著系統(tǒng)誤差，或者說已經(jīng)修正，則 y 的觀測值 yi 圍繞著期望值 f（ x； c1， c2，?? cm） 擺動(dòng)，其分布為正態(tài)分布，則yi 的概率密度為 ? ? ? ?? ? ?????????? ?