【正文】 初始條件為: r0=rpq0=0v0=0 w0=1rpmrp(2ra)ra+rp其中rp和ra分別為霍曼轉(zhuǎn)移段的近地點半徑和遠地點半徑。優(yōu)化變量為制動發(fā)動機推力方向角y(t)。m(t)dtt0f設計主減速段制導控制律 2動力下降段燃料最優(yōu)精確著陸問題描述 燃料最優(yōu)精確著陸問題著陸器運動方程：考慮采用變推力發(fā)動機情況，有r=v.v=g+a(1)a=Tmm=aT..其中r=[rhrxry]T，v=[vhvxvy]T分別表示著陸器相對期望著陸點的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對應控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認為是常值；m為著陸器質(zhì)量，對應推力器質(zhì)量排除系數(shù)a。190。min242。0（5）進一步地，若著陸區(qū)域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿足需求時，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線約束到以著陸點為頂點的圓錐體內(nèi) 等效后燃料最優(yōu)精確著陸問題 定義等效變換變量Ttrx2+ry2rh163。v233。233。vI0234。234。235。235。7*7234。233。234。=Acy+Bc(p+g4)（8）d235。ad],g4=[gTTD0]Tt指標函數(shù)：min242?？刂萍s束：由文獻[10]可知，控制約束(4)可等效表示為u163。d163。0（12）其中233。S=234。0010000235。c=[tanqaltT000000] 等效燃料最優(yōu)精確著陸問題的離散化首先將整個飛行時間均分成 n 段（對應 n +1 個點），每段步長為Dt，離散化后的著陸器運動方程為：yk+1=Ayk+B(pk+g4)其中A206。7,B206。4分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣12A=eDtAc187。e(Dts)AcBcds=242。有系統(tǒng)性質(zhì)可知，整個控制時域內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)滿足 y3=Ay2+B(p2+g4)=A3y0+A2B(p0+g4)+AB(p1+g4)+B(p2+g4)Myn=Ayn1+B(pn1+g4)=Any0+An1B(p0+g4)+L+AB(pn2+g4)+B(pn1+g4)y1=Ay0+B(p0+g4)y2=Ay1+B(p1+g4)=A2y0+AB(p0+g4)+B(pn2+g4)+B(p1+g4)為表達方便，令233。233。233。233。234。234。234。234。234。234。234。234。 ,p=234。F=234。=234。 Y=234。234。234。234。234。MM234。234。234。234。n234。235。1235。1235。235。7(n+1)180。Y0249。0234。234。1234。234。22234。234。MM234。234。A234。235。233。233。234。234。0234。234。B0002ABB00L3A+AB+BMM234。234。234。234。4(n+1)000000Y=Fy0+Yp+Lg4分別定義如下常值矩陣：最終可得離散化后的燃料最優(yōu)化問題如下： 指標函數(shù)：式(9)可表示為邊界條件：式(3)可表示為控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為狀態(tài)約束：式(5)和式(12)分別可表示為含有 p個線性約束和 q個二階錐約束的最優(yōu)化問題的標準形式為 指標函數(shù)min(lTx)滿足約束DTx+f179。b+dinTiTi（k=1,L，n）n*pp其中x206。R，線性約束參數(shù)D206。R，二階錐約束參數(shù)維數(shù)n(Ai,bi,ci,di)由相應約束確定則式(17)～式(23)可最終轉(zhuǎn)換為如下最優(yōu)化問題： 指標函數(shù)：min(vpp)滿足：初值約束:MxΨ0p+Mx(Ψ0y0)+A0g4r0末值約束:MxΨ0p+Mx(Ψ0y0)+A0g4控制約束:Murkp163。rkp 控制上限:(vzΨk+TT[TTv0]T163。0T1vr)p+1vTz(Φky0+Akg4)+z0,z179。其中探測器各參數(shù)分別取為：m0=2000kg,g=[]ms2,c=2kms,T1=,T2=13kN.。二階錐優(yōu)化問題可以通過大量免費的優(yōu)化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。由優(yōu)化結(jié)果可以看出，探測器在給定時間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個下降過程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗證了下降傾角約束的有效性。此外，通過利用如 TOMLAB 等商業(yè)最優(yōu)控制軟件進行復核計算，也驗證了此計算結(jié)果的燃料最優(yōu)性能。因此，可行的方案是通過在地面計算大量的燃料最優(yōu)軌跡，并尋找規(guī)律，選取關鍵路徑點狀態(tài)存儲到著陸器計算機中，通過在線查表或者在利用對計算量要求較小的反饋制導律完成安全著陸任務。圖 2 各種不同初始速度對應的火星著陸器動力下降段燃料最優(yōu)軌跡簇1)對任意探測器初始位置，特定初始速度對應的燃料最優(yōu)著陸軌跡在末端必然收斂到一個固定的近似圓錐體內(nèi)。3)當探測器初始水平速度為零時，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優(yōu)軌線關于該軸線中心對稱。上述結(jié)論對上注探測器關鍵點的選取有著較強的指導意義，比如基于最優(yōu)軌線的斜率對路徑點合并、基于最優(yōu)軌線簇的對稱性對上注軌線進行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉(zhuǎn)折點作為路徑點等，這樣可以大大降低探測器自主存儲與計算需求，進而有效提升任務的可靠性。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中探測器質(zhì)心動力學方程可表示為上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m0為探測器質(zhì)量；k0為制動發(fā)動機比沖；u表示制動發(fā)動機的秒耗量可通過一定的機構加以調(diào)節(jié)，故作為軟著陸問題的控制變量。重力轉(zhuǎn)彎過程中，探測器的高度、速度和姿態(tài)角度可由雷達高度表、多普勒雷達及慣性儀表測得。軟著陸燃耗最優(yōu)問題的描述 對于最終著陸段，可假設為一小角度。根據(jù)pontryagin極大值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)及其對u的偏導數(shù)為使哈密頓函數(shù)（5）式達到極大地控制輸入u就是最優(yōu)控制，科表示為。此時如果最優(yōu)解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據(jù)極大值原理，系統(tǒng)的狀態(tài)變量和共軛變量都是時間的連續(xù)可微函數(shù)，將切換函數(shù)對時間求導，利用（2），（6）式和性質(zhì)2）得 軟著陸最優(yōu)控制中奇異條件的分析對于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸問題，最優(yōu)制導律具有兩個很好的性質(zhì)。月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸系統(tǒng)（2）的燃耗最優(yōu)制導或時間最優(yōu)制導問題不存在奇異條件。用反證法，假設存在奇異條件，則在某個閉區(qū)間設，并由（5）式得。根據(jù)式及性質(zhì)2）可知，由性質(zhì)3）必有根據(jù)是時間t的斜率非零的線性函數(shù)，）若定，根據(jù)橫截條件有在區(qū)間內(nèi)為常數(shù)。又因為不與此時由（6b）式有反證假設矛盾。3），與反證假設矛又因為因此有成立，這與此時（10）式在上根據(jù)定理一，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸的最優(yōu)制導律是一種開關（BangBang）控制，只須控制發(fā)動機開關，不需要調(diào)節(jié)推力的大小。證明。軟著陸系統(tǒng)（2）在最優(yōu)推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。根據(jù)性質(zhì)4），若嚴格單調(diào)，因而在上至多有一個零點，即至多進行一次切換；若，則上為常數(shù)。對于最優(yōu)推力控制程序（7），其切換函數(shù)中含有共軛變量，它是一個關于狀態(tài)變量的穩(wěn)式表達式。根據(jù)定理一和定理二，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸最優(yōu)控制程序沒有奇異值狀態(tài)，并且在著陸過程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開；2）全關；3）先開有關；4）先關后開。設開機時刻為到發(fā)動機工作時間為式，在區(qū)間內(nèi)積分，并考慮將（11）式中的對數(shù)按泰勒展開，忽略并令消掉T得到切換函數(shù)為由切換函數(shù)（12）式可以看出，速度、位置的誤差和制動發(fā)動機推動的將直接影響著陸的效果。另一種方法是考慮制動過程由一個主發(fā)動機和一組小推力發(fā)動機共同完成，通過調(diào)整開啟的小發(fā)動機的數(shù)量，來實現(xiàn)變推力降落。為實現(xiàn)著陸的最優(yōu)性，減速度取為其中T如（12）式中所示，m0為探測器的初始質(zhì)量。由此圖中可看出，改進方法提高了著陸的安全性，當探測器的初始質(zhì)量mo=350kg。f182。x1182。從而得到線性化方程dy=S182。xin或表示為dY=PdX(4)這里 P 是偏導數(shù)矩陣: Pi=182。xi若自變量dx1LLdxn是隨機變量，則線性化方程的函數(shù)dy的協(xié)方差矩陣為：EdYdYT=EPdXdXTPT=PEdXdXTPT(6)即 ()()()Cy=PCXPT(7)式中Cx是自變量的協(xié)方差矩陣；Cy是函數(shù)dY的協(xié)方差矩陣。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關系。計算向月飛行軌道誤差的協(xié)方差迭代方程考慮到軌道參數(shù)的誤差之相對于軌道參數(shù)的標稱值是小量，因此可以將軌道運動方程進行線性化，從而得到能夠反映軌道參數(shù)偏差量的傳播關系的誤差方程。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：vvamp。Drv239。gvv（8）237。=vDr239。rT238。為地球引力常數(shù)。3rr=rx2+ry2+rz2（9）寫成狀態(tài)方程形式：vvamp。230。230。Dr246。247。247。=vv247。Dv247。G0247。Dv247。248。248。248。v182。rv230。230。令F=231。231。247。231。（11）232。232。則式（9）變?yōu)閍mp。g182。uv246。3r247。r182。r248。230。246。u197。182。3247。3247。r232。232。182。182。u197。182。u197。182。u197。249。u197。=r234。3247。3247。3247。231。182。rr182。y232。z232。234。x232。232。則G=u197。rx2rxry230。231。247。ry247。ryrxry231。r247。rzrxrzry232。232。247。（15）2247。248。023