話說微積分ppt課件(已修改)
2025-02-01 00:10 本頁面
【正文】 話說微積分 制作人：項晶菁 數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域是： ? 代數(shù)學(xué) —— 研究數(shù)的理論； ? 幾何學(xué) —— 研究形的理論； ? 分析學(xué) —— 溝通形與數(shù)且涉及極限運算的部分。 ? 舊三高 (高等分析、高等代數(shù)、高等幾何 ) ? 數(shù)學(xué)分析權(quán)威 R?柯朗所指出的， “ 微積分乃是一種震撼人心靈的智力奮斗的結(jié)晶 ” 。 ? 現(xiàn)代微積分有時作為 “ 數(shù)學(xué)分析 ” 的同義語，一般來說數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論（突變、復(fù)變、實變）、微分方程、積分方程、變分法、泛函分析、非標(biāo)準(zhǔn)分析等 。 ? 在古典意義下，微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的合稱。 （ 15世紀(jì)以前） ? （公元前）東西方 ? ? 戰(zhàn)國時代的 《 莊子 天下篇 》 中， “ 一尺之錘，日取其半，萬世不竭。 ” ， ? “ 至大無外，謂之大一；至小無內(nèi)，謂之小一， ” 惠施（約公元前 370~公元前 310） ? 《 墨經(jīng) 》 中不僅對有窮與無窮作了明確的區(qū)分，而且也有豐富的微分思想。 ? 如何求圓的面積是數(shù)學(xué)對人類智慧的一次考驗，也是極限誕生的種子。 ? 大約在公元前 400年古希臘人提出了三大幾何難題，其中之一是 “ 化圓為方 ” 即指用圓規(guī)與無刻度的直尺求與一圓等面積的正方形。直到 19世紀(jì)，它才被人們證明它為尺規(guī)作圖不能問題。 ? 公元前 5世紀(jì)的古希臘智者安提豐與布拉森分別用圓的內(nèi)接多邊形以及外切正多邊形的邊數(shù)不斷加倍的辦法來接近圓的面積，他們認(rèn)為圓的面積可以取作邊數(shù)不斷增加時他的內(nèi)接和外切正多邊形的面積的平均值。 ? 對這一思想做出重大發(fā)展的是歐多克斯（公元前 408~公元前 355），相應(yīng)的方法被后人稱為 “ 窮竭法 ” 。這一方法被歐幾里得記述在 《 幾何原本 》 第 12章中。 ? 阿基米德（公元前 287~公元前 212）對窮竭法做出了重要貢獻(xiàn)，這位 “ 數(shù)學(xué)之神 ” 證明了 7010371103 ?? ?? 還算出了球的體積和表面積、拋物線弓形的面積等。 十五世紀(jì)以前的東西方 ? 我國三國時期（公元后 3世紀(jì)）的數(shù)學(xué)家劉徽在 《 九章算術(shù) 》的注文中，第一次把 《 莊子 》 中的極限思想用于算 “ 圓天 ”和 “ 弧天 ” 的面積，創(chuàng)立了一種推求圓周率的方法，即 “ 割圓術(shù) ” 。 ? 劉徽先在圓內(nèi)作內(nèi)接正 6邊形 S6， S6的面積不難算出。再繼續(xù)算出正 12邊形，正 24邊形 ,。他指出： “ 割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣。 ” 這等同于現(xiàn)代微積分中的極限思想。他得出了徽率。 ? 古印度的數(shù)學(xué)家，對圓卻采用了類似切西瓜的方法，把圓切成許多小瓣，再把這些小瓣對接成一個長方形，用長方形的面積去代替圓面積。 （ 16世紀(jì)左右） ? （ 17世紀(jì)） 1615年出版了 《 葡萄酒桶的立體幾何 》一書，書中介紹了一種他獨創(chuàng)的求面積的新方法：把圓分割成許多小扇形，不同的是他一上來就把圓分成無窮多個小扇形，因為太小了，所以小扇形又可用小等腰三角形來代替。 利用阿基米德的 “ 窮竭法 ” 求出 387種旋轉(zhuǎn)體的體積。 開普勒 (德， 15711630) ? 意大利物理學(xué)家迦利略的學(xué)生卡瓦列里深入研究了上述求積方法，認(rèn)為這每一小扇形的面積到底等不等于零，就不好確定了。他想：開普勒為什么不再繼續(xù)分下去了呢？要是真的再細(xì)分下去，那分到什么程度為止呢？陷入深思之中的卡瓦利里從衣服的布和一本書的構(gòu)造上得了啟示，經(jīng)過反復(fù)琢磨，提出了求面積和體積的新方法“ 不可分元法 ” ，并于 1635年在意大利出版了 《 不可分量幾何學(xué) 》 一書。 （ 17世紀(jì)） 微分學(xué)主要與以下兩個問題相聯(lián)系： ； 。 ? 1650年左右，法國數(shù)學(xué)界 3巨頭：羅伯瓦爾 (Gilles Persone de Roberval,1602～ 1675)、費馬 (Pierre de Fermat,1601～ 1665)、帕斯卡 (Blaise Pascal,1623～1662)，對這兩個問題作了深入的研究。 ? 羅伯瓦爾借助合成運動速度做切線，他從運動的角度出發(fā)，將切線看作描繪這曲線的運動在這點的方向；解析幾何的焦點重合時的割線；費馬則從集合的角度出發(fā)，認(rèn)為切線是當(dāng)兩個交點重合時的割線；費馬還借助微小增量作切線，此外他對問題 2也提出了較好的方法 (即先求，再令解之即為極值點 )。 費馬 (Pierre de Fe
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