20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)22《空間向量的運算》-文庫吧
2025-10-13 23:22 本頁面
【正文】 。 ③ ( AB + B B1 ) + B1C1 = A B1 + B1C1 = A C1 。 ④ ( A A1 + A1B1 ) + B1C1 = A B1 + B1C1 = A C1 . 所以所給 4 個式子的運算結(jié)果都是 A C1 . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 空間向量 的數(shù)乘運算 ( 1 ) 空間向量的數(shù)乘運算是線性運算的一種 ,其實質(zhì)是空間向量的加、減運算 ,即相同向量的和或差的運算 . ( 2 ) 空間向量的數(shù)乘運算的結(jié)果仍然是一個向量 ,方向取決于 λ 的正負(fù) ,模為原向量模的 |λ |倍 . ( 3 ) 用已知向量表示未知向量 ,體現(xiàn)了向量的數(shù)乘運算 .解題時要結(jié)合具體圖形 ,利用三角形法則、平行四邊形法則 ,將目標(biāo)向量逐漸轉(zhuǎn)化為已知向量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 【典型例題 2 】 如圖所示 , 在長方體 AB C D A1B1C1D1中 , A1B1 = a , ??1??1 = b , ??1A = c , E , F , G , H , P , Q 分別是 AB , BC , CC1, C1D1, D1A1, A1A 的中點 , 求證 : ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 證明 : ∵ 在長方體 A B C D A1B1C1D1中 , E , F , G , H , P , Q 分別是 AB , BC , CC1, C1D1, D1A1, A1A 的中點 , ??1??1 = a , ??1??1 = b , ??1A = c . ∴ ?? ?? =12a +12b , ?? ?? = 12c 12a , ?? ?? = 12b +12c . ∴ ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? =12a +12b 12c 12a 12b +12c = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 名師點津 先用 a , b , c 分別表示各向量 ,再進行向量的代數(shù)運算 ,用空間向量的方法處理立體幾何問題 ,使復(fù)雜的問題代數(shù)化 .正確運用向量的運算律 ,在向量的運算中要注意向量的方向 .對向量算式的化簡或證明 ,要結(jié)合圖形 ,充分利用圖形的性質(zhì) . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 向量共線問題 ( 1 ) 共線向量定理是證明兩條直線平行的常用方法 ,但是要注意 ,向量平行與直線平行是有區(qū)別的 ,直線平行不包括共線的情形 ,如果應(yīng)用共線向量定理判斷 a , b 所 在的直線平行 ,還需說明 a ( 或 b ) 上有一點不在 b ( 或 a ) 上 . ( 2 ) 共線向量定理也是證明三點共線的常用方法 ,在利用該定理證明 ( 或判斷 ) 不同的三點 A , B , C 共線時 ,只需證明存在實數(shù) λ ,使 ?? ?? = λ ?? ?? 或 ?? ?? = λ ?? ?? 即可 . ( 3 ) 判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數(shù) x ,使 a =x b ( b ≠ 0 ) 成立 ,或充分利用空間向量的運算法則 ,結(jié)合具體的圖形 ,通過化簡、計算得出a =x b ,從而得出 a ∥ b ,即 a 與 b 共線 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 【典型例題 3 】 如圖所示 , A B C D , A B E F 都是平行四邊形 , 且不共面 , M , N 分別是 AC , BF的中點 . 判斷 ?? ?? 與 ?? ?? 是否共線 ? 分析 :要判斷 ?? ?? 與 ?? ?? 是否共線 ,由共線向量定理可判斷是否存在實數(shù)x 使 ?? ?? =x ?? ?? .若存在 ,則 ?? ?? 與 ?? ?? 共線 。否則 ?? ?? 與 ?? ?? 不共線 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 解 : ∵ M , N 分別是 AC , BF 的中點 ,而四邊形 A B C D , ABEF 都是平行四邊形 , ∴ ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? =12?? ?? + ?? ?? +12?? ?? . 又 ∵ ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? = 12?? ?? + ?? ?? ? ?? ?? ?12?? ?? , ∴12?? ?? + ?? ?? +12?? ?? = 12?? ?? +
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