變化率與導(dǎo)數(shù)教案-閱讀頁(yè)
2025-05-02 00:08本頁(yè)面
【正文】 數(shù)的導(dǎo)數(shù),商的導(dǎo)數(shù)法則()′=(v≠0)，如何綜合運(yùn)用函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法則，、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法則記住 六、課后作業(yè)：3．4．3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：知識(shí)與技能：理解掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.過(guò)程與方法：能夠結(jié)合已學(xué)過(guò)的法則、公式，進(jìn)行一些復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生善于觀察事物，善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認(rèn)識(shí)規(guī)律，掌握規(guī)律，利用規(guī)律．教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的概念與應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的導(dǎo)入與理解教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。教學(xué)過(guò)程：學(xué)生探究過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入： 1. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：；；； ?。▌t2 , 法則3 二、講解新課：: 由幾個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，叫復(fù)合函數(shù)．由函數(shù)與復(fù)合而成的函數(shù)一般形式是，其中u稱為中間變量．：方法一：；方法二：將函數(shù)看作是函數(shù)和函數(shù)復(fù)合函數(shù)，并分別求對(duì)應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下：，兩個(gè)導(dǎo)數(shù)相乘，得 ， 從而有 對(duì)于一般的復(fù)合函數(shù)，結(jié)論也成立，以后我們求y′x時(shí)，就可以轉(zhuǎn)化為求yu′和u′x的乘積，關(guān)鍵是找中間變量，隨著中間變量的不同，難易程度不同.：設(shè)函數(shù)u=(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)u′x=′(x)，函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)y′u=f′(u)，則復(fù)合函數(shù)y=f( (x))在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且 或f′x( (x))=f′(u) ′(x).證明：（教師參考不需要給學(xué)生講）設(shè)x有增量Δx，則對(duì)應(yīng)的u，y分別有增量Δu，Δy，因?yàn)閡=φ(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，所以u(píng)= (x)→0時(shí)，Δu→0.當(dāng)Δu≠0時(shí)，由. 且.∴即 (當(dāng)Δu＝0時(shí)，也成立)復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù) ：分解——求導(dǎo)——相乘——回代．三、講解范例：例1試說(shuō)明下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的？⑴； ⑵；⑶； ⑷．解：⑴函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成；⑵函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成；⑶函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成；⑷函數(shù)由函數(shù)、和復(fù)合而成．說(shuō)明：討論復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成時(shí)，“內(nèi)層”、“外層”函數(shù)一般應(yīng)是基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等．例2寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)：⑴，； ?、?，．解：⑴； ⑵．例3求的導(dǎo)數(shù)．解：設(shè)，則 ．注意：在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)后，所以在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先要弄清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個(gè)整體，然后按照復(fù)合次序從外向內(nèi)逐層求導(dǎo).例4求f(x)=sinx2的導(dǎo)數(shù).解：令y=f(x)=sinu。(x2)x′=cosu2x=2xcosx2∴f′(x)=2xcosx2例5求y=sin2(2x+)的導(dǎo)數(shù).分析: 設(shè)u=sin(2x+)時(shí)，求u′x，但此時(shí)u仍是復(fù)合函數(shù)，所以可再設(shè)v=2x+.解：令y=u2，u=sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+∴=y′u(u′vu′v(sinv)′vcosv2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)即y′x=2sin(4x+)例6求的導(dǎo)數(shù).解：令y=，u=ax2+bx+c∴=()′u(2ax+b)=(ax2+bx+c)(2ax+b)=即y′x=例7求y=的導(dǎo)數(shù).解：令∴=()′uv′x=(u2)′u()′x=2u=2sin=－+(2x2－3)(5x－3)′x=4u35=20(5x－3)3(2)令y=u5，u=2+3x∴=(u5)′u3=5(2+3x)4(2－x2)′x=3u2(2x3+x)′x=2u3x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x(先設(shè)中間變量，再求導(dǎo))(n∈N*)(1)y=sinnx (2)y=cosnx (3)y=tannx (4)y=cotnx解：(1)令y=sinu，u=nx=(sinu)′un=ncosnx(2)令y=cosu，u=nx=(cosu)′un=－nsinnx(3)令y=tanu，u=nx=(tanu)′un=sec2nx(4)令y=cotu，u=nx=(cotu)′un=n=－=－ncsc2nx五、教學(xué)反思 ：⑴復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成為較簡(jiǎn)單的函數(shù)，然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；⑵復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：分解——求導(dǎo)——相乘——回代 六、課后作業(yè)：129
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