數列大題訓練50題(5743)-閱讀頁
2025-04-09 02:51本頁面
【正文】 、為公差的等差數列， ∴（2）①，即②∵，又∵時，∴各項中數值最大為，∵對一切正整數，總有恒成立，因此10．依題意設（1），∴ ①又∴ ②由①、②得所以又而符合上式，∴ （2）當時，是增函數，因此為的最小項，且又，所以中最大項為，最小項為。 當n＝1005時,g（n）＝－1。綜上：bn的最大值為,最小值為－1 12．（1） 等差數列 （2）錯位相減，13．（I）由已知，得 作差，得。qn2=3 20．(1) 21．解：（1）∵當n=1時 ，a1=S1=2；當n≥2時，an=Sn －Sn－1=2n2 －2(n－1)2=4n－2.故數列{an}的通項公式an=4n－2，公差d=4.設{bn}的公比為q，則b1qd= b1，∵d=4，∴q=.∴bn=b1qn－1=2=,即數列{ bn }的通項公式bn=。41+54+343++(2n－1)4n兩式相減得3Tn=－1－2（41+42+43++4n－1）+(2n－1)4n=∴Tn=22．(1)(2) 在上 ,當時 等比且公比為,首項為 等比公比為,首項為1 ,所以的各項和為23．解：（1）由已知得：是首項為1，公差d=3的等差數列（2）由24．解法：（I）證：由，有， ?。↖I）證：， 是首項為5，以為公比的等比數列?。↖II）由（II）得，于是 當時， 當時，故25．解：（1）由已知， ，兩邊取對數得，即是公比為2的等比數列. （2）由（1）知 = 26．(1)解：設數列公差為d(d＞0) ∵a1，a3，a9成等比數列，∴，即 整理得： ∵，∴ ① ∵ ∴ ?、凇 ∮散佗诘茫?， ∴ (2) ∴ 27．(1) ①取得 ②②①得：中的奇數項是以為前項，4為公比的等比數列，偶數項是以的前項，4為公比的等比數列（2）當為偶數時，當為奇數時，28．（Ⅰ）驗證n=1時也滿足上式：（Ⅱ）29．（1） 又（2）①又② 即而30．解（1）由題意知：是等比數列（2）由（1）知數列以是a2－a1=3為首項，以2為公比的等比數列，所以故a2－a1=321，a4－a3=3（2）由，得。而當時。（3）對任意，所以，即。設等差數列的公差為，則。34．解：（Ⅰ）在直線 ∵P1為直線l與y軸的交點，∴P1（0，1） ， 又數列的公差為1 （Ⅱ） （Ⅲ） 是以2為公比，4為首項的等比數列， 35．解：（Ⅰ）由題意知， （ ） ∵，∴ ∴數列是首項，公差的等差數列，其通項為（ ）． （Ⅱ）∵,（ ）∴,于是兩式相減得 .∴ （ ）（Ⅲ） ∵ ， （ ）∴當時，當時，即∴當時，取最大值是 又對一切正整數n恒成立 ∴即得或 36．（1）∵，∴，又∵ ∴∴數列是等差數列，且（2）當時，當n=1時，不成立. ∴（3），∴.∴左邊顯然成立.37．解：（Ⅰ）當時， （1）時，當時，；當時， （2）當時，當時，；當時， 綜上所述，當或4時，；當時， （Ⅱ） 在上恒為增函數的充要條件是，解得 （Ⅲ），① 當時，即 （1）當n=1時，；當n≥2時， （2）（1）—（2）得，n≥2時，即 又為等差數列，∴ 此時 ②當時 ，即 ∴若時，則（3），將（3）代入（1）得，對一切都成立另一方面，當且僅當時成立，矛盾不符合題意，舍去. 綜合①②知，要使數列成等差數列，則 38．（I）解：由從而由的等比數列故數列 （II） 39．1176。又當x=0時，即。為奇函數。在上是奇函數， ∴，即。 （III）=。只需，即故存在正整數m，使得對，有成立。41．解（1） （2）∵，∴，
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